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第四章 概率、概率
分布与抽样分布
厦门大学经济学院计统系
游家兴
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例1：掷铜板
当你掷铜板的时候，结果只有两种可能，正面或者
反面。下图显示掷铜板1000次的结果。
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掷铜板的人
法国自然主义者布方伯爵（Count Buffon，
1707-1788）把铜板掷了4040次，结果：2048个
正面，或者说正面比例是2048/4040=。
大约1900年时，英国统计学家皮尔逊（Karl
Pearson，1857-1936）很神勇地掷一个铜板
24000次。结果：12012次正面，比例。
南非数学家柯瑞屈（John Kerrich）在第二次
世界大战被德国人关在牢里的时候，掷了铜板
10000次。结果：5067次正面，比例。
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例2：中两次头彩
1986年时，亚当斯（Adams）第二度赢得新泽
西州彩券，前一次亚当斯赢到了累积奖金390
万美元，这次又赢得了150万美元。
《纽约时报》（1986年2月14日）宣称：同一
个赢得两次大奖的机会，差不是每170亿次中
有一次。
两星期后，《纽约时报》刊登了两位统计学家
的来信，说这是胡说八道。
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亚当斯在一生中赢两次大奖的机会诚然很小，
但是几乎可以确定：在美国几百万经常买彩券
的人当中，会有人赢得两次头奖。
两位统计学家估计：7年内再有人赢到两次大
奖的机会是一半一半。
果其不然，在1988年5月，汉弗莱斯（Humphri
-es）赢得了他的第二个宾州彩券累积奖金
（总计680万美元）。
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本章我们首先学习：
什么是概率？
什么是概率分布？
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第一节 随机事件与概率
一、随机事件与概率
（一）随机试验与事件
随机现象的特点是：
在条件不变的情况下，一系列的试验或
观测会得到不同的结果；
在试验或观测前不能预见何种结果将出
现。
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对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必
须满足以下的性质：
（1）每次试验的可能结果不是唯一的；
（2）每次试验之前不能确定何种结果会出
现；
（3）试验可在相同条件下重复进行。
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在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，
称之为随机事件，简称事件。
试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一
个复杂事件。
简单事件就是不可以再分解的事件，又称
为基本事件。
复杂事件是由简单事件组合而成的事件。
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基本事件还可称为样本点，设试验有n个基
本事件，分别记为 (i=1,2,…，n)。
集合Ω={ω1 ,ω2 , … ,ωn}称为样本空
间，Ω中的元素就是样本点。
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例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数
有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结
果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果
了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的
样本空间。
“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，
它是由基本事件{1}，{3}和{5}组合而成的。
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我们通常用大写字母A，B，C，…来表示随机
事件，例如，设A表示“出现点数是奇数”，
则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”
，则B={2，4，6}。
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（二）概率
1.概率的定义
概率是指随机事件发生的可能性，或称为
机率，是对随机事件发生可能性的度量。
概率的古典定义：假设事件A在等可能的n
种方式中可以以m种方式发生，则事件发
生的概率表示为：
p=p(A)=m/n
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古典概率有两个特点：
1、结果有限，即基本空间中只含有限个元
素。如掷铜板，只能出现“正面朝上”和
“反面朝上”两种结果。
2、各个结果出现的可能性被认为是相同的。
如掷铜板，出现正面或反面的机会被认为
是相等的。
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概率的古典定义有所缺陷，“等可能”这一词
模糊不清。事实上，这一词看上去与“等概率
”是同义的，那么我们实质上是用概率来定义
自己，形成循环定义。
概率的统计定义：在相同条件下随机试验n次，
某事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的
频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数p上
下波动，且波动的幅度逐渐减小，趋于稳定，
这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为：
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例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。
(1)从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概
率有多大？
解：摸出的任何1只球形成一个基本事件，样本
点总数为n=5。
用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点
组成，即A={白球，白球}，有利场合数m=2。
因此，刚好摸出白球的概率为:
P(A)=m/n=2/5=
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(2) 从中随机摸出2只球，一问2只球都是白球
的概率有多大? 二问2只球一白一黑的概率有
多大? 三问2只球都是黑球的概率有多大?
解：由于摸出2只球才成一个基本事件，所以
样本点总数为 ，故
P(A)=P(2只球都是白球)=1/ =1/10
P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10
P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10
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2. 概率的基本性质
性质1 1≥P(A)≥0。
性质2 P(Ω)=1。
性质3 若事件A与事件B互不相容，即
AB=Ф，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
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例，从一副纸牌中抽牌一次（抽完放回），
如果E1为事件“抽到A”，E2为事件“抽到
K”，则：
P（E1）=4/52=1/13
P（E2）=4/52=1/13
因为不可能同时抽到A和K，所以它们是互
不相容的，则抽到A或K的概率为：
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重新定义，E1为事件“抽到A”，E2为事件
“抽到黑桃”，因为有可能抽到黑桃A，所
以E1和E2不是互不相容的，那么抽到A或黑
桃的概率为：
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推论1：不可能事件的概率为0，即：
P(Ф)=0
推论2 ：P( )=1-P(A), 表示A的对立事件，
即它们二者必有一事件发生但又不能同时
发生。
3. 事件的独立性
定义：对事件A与B，若p(AB)=p(A)p(B)，则称
它们是统计独立的，简称相互独立，即两个事
件中不论哪一个事件发生与否都不影响另一个
事件发生的概率。
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例：已知袋中有6只红球, 4只白球。从袋中有
放回地取两次球,每次都取1球。设 表示第i
次取到红球。那么，
因为
也就是说，B1,B2相互独立。
题目将有放回改为无放回，则B1和B2相互独立
吗？
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第二节 随机变量及概率分布
随机变量是指随机事件的量的表现。
例如：投掷骰子，点数1、2、3、4、5、6
是可能出现的随机变量。
随机变量的概率分布是一个函数，它把随机变
量的每一个值与一个实数（概率）相对应。
概率分布反映了随机变量的取值或随机事
件中各种结果的分布状况和分布特征。
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离散型随机变量
当随机变量所有可能取值的集合只包含有限个
元素时，就称为离散型随机变量。
设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2，
…,xn, …，相应的概率为p(x1)，p(x2),…, p
(xn),…。用表格统一表示出来是：
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如：
骰子各个点数的概率分布表
27
离散型概率分布的性质
(1) 0≤p(xi)≤1 (i=1,2, …)
(2)
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随机变量的期望值
随机变量的期望值（E）也称为平均值，是随
机变量分布的集中趋势，即分布的中心位置。
离散型随机变量的期望值:
性质:
其中X1，X2都是随机变量，α，β是任意常数。
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有这样的一个投资项目（如下表），试问它的
预期回报是多少？
该投资项目的期望收益率是%。
例题
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随机变量的方差
定义:离散型随机变量X的方差为
方差的平方根σ称为标准差。
方差σ2或标准差σ反映随机变量X相对其期望值
的离散程度，σ2或σ越小, 说明期望值的代表性
越好；σ2或σ越大，说明期望值的代表性越差。
性质：对于任意常数a，σ2(ax)=a2σ2(x)成立。
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二项分布
二项分布是离散型随机变量的一个重要的概率
分布。
在一些问题中，我们只对试验中某事件A是否
出现感兴趣，如调查消费者对某种品牌是否喜
欢，调查某地区住户是否脱贫等等。
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这些例子所具有的共同性质概括如下：
试验包含了n个相同的试验；
每个试验只有两个可能的结果；
每一次试验出现“是”或“否”的概率是相
同的。
试验是互相独立的。
通常称具有上述特征的n次重复试验为n次贝努
里试验，简称贝努里试验（Bernoulli trials）。
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以Bk表示n重贝努里试验中事件A正好出现k次
这一事件，则：
(k=0,1,2,…，n)
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连续型随机变量
当一个随机变量可能取值的集合为无穷不可数
集合时，就称为连续型随机变量。
由于连续型随机变量可以取某一区间或整个实
数轴上的任意一个值，无法一一列举。一般用
概率密度函数来表示连续型随机变量的概率分
布。
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概率密度函数反映概率分布在某一区间的密集
程度。
它不直接给出随机变量取某一特定值的概率值，
而通过密度函数图下相应给定区间的面积表示
连续型随机变量在那一区间取值的概率。
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概率密度函数
设p(x)为概率密度函数，它是分布函数的导数，
满足下述两个条件：
(1) p(x)≥0
(2)
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连续型随机变量的概率是计算随机变量落在某
区域的可能性，也即通过对密度函数进行积分
获得相应的概率值。
如计算随机变量X落在[a, b]区间内的概率:
a b
x
P(a≤x≤b)
概率密度曲线
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如：
a b
x
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例子
一个连续型随机变量只在[0, 4]范围内取值，
其概率密度函数为 ，a是常数。
计算a；
求p（1<X<2）
解：根据 ，可知 ，
进一步， 求积分：
40
0 1 2 3 4
1/4
1/2
3/4
1
P(X)
X
意味着整个三角形的面积为1
p（1<X<2），求点X落入1至2区间的概
率，即求梯形（阴影部分）的面积：
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课堂练习
设随机变量X的概率密度函数服从：
（1）已知P（X>1）=7/8，求θ 的值；
（2）求随机变量落入[，1]区间的概率。
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随机变量的期望值与方差
定义: 连续型随机变
量X的期望值为
方差为
性质:
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离散型与连续型随机变量的区别
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正态分布
正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布。
如果连续型随机变量X的密度函数为：
则称该变量X服从均值为μ，方差为σ2的正态分布，记为X~N(μ
，σ22)。
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如果一个正态分布的μ=0，σ=1，则称该正态分
布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准
正态随机变量，用Z表示，即Z~N(0，1)，相应
的分布密度函数为
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一般正态分布与标准正态分布的关系:
若随机变量X服从正态分布N (μ，σ2)，则随机
变量
Z =
服从标准正态分布，即Z~N(0，1)。
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-3-3
%
%
%
00-1-1 11-2-2 22 33
z z值值 概率 概率
例：p(-1<Z<1)表示变量Z落入(-1,1)的概率，等于
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3σ准则
3σ准则在产品质量控制中有着重要的应用。由
标准正态分布表可求得：
当 时，有：
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3，3]
区间内，超过这个范围的可能不到%。
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这些结论推广到一般正态分布，即
，
有：
显然， 的概率很小，因此可以认为X
的值几乎一定落在区间 内，这在
统计学上称做“3σ准则”。
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例题：课本P85第17题
解题步骤：
1、算出均值；
2、算出标准差；
3、计算两个标准差的变动区间：
[[均值均值-2-2个标准差，均值个标准差，均值+2+2个标准差个标准差]]
4、判断。
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学会查正态分布概率表 P305 ；
学会运用正态分布的对称性进行分割计算;
学会将正态分布化为标准正态分布，再计算其
概率。
例如：求p(1<Z<)？
解：原式=×[p(<Z<)-p(-1<Z<1)]
=×()
=
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例1：某大学英语考试成绩服从正态分布，已
知平均成绩为70分，标准差为10分。求该大学
英语成绩在60—75分的概率。
计算步骤：1、先转化为标准正态分布；
2、查表计算。
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例2：高考标准分计算
第一步，标准化获得Z值：
Z＝（原始分－原始分的平均分）／原始分
的标准差
第二步，将Z值转化为标准分：
标准分T＝500＋100×Z
如，某省高考人数100000人，一考生高考标准
分为800，那他在全省能排第几？
THANKS
