第六章 因子模型和套利
定价理论（）
4为了得到投资者的最优投资组合，要求
知道：
4回报率均值向量
4回报率方差-协方差矩阵
4无风险利率
4估计量和计算量随着证券种类的增加以
指数级增加
4引入可以大大简化计算量
4由于因子模型的引入，使得估计有效集
的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
4因子模型还给我们提供关于证券回报率
生成过程的一种新视点
4更准确
4与
4建立在均值—方差分析基础上的是一种
理论上相当完美的模型，它解释了为什
么不同的证券会有不同的回报率。除理
论外，另一种重要的定价理论是由 在70
年代中期建立的套利定价理论()。在某
种意义上来说，它是一种比简单的理论。
4最优投资组合理论+市场均衡
4因子模型+无套利
• 是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，
这些假设包括 建立均值-方差模型时所作的假
设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无
差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准
差之上。
• 相反，所作的假设少得多。的基本假设之一是，
当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报
率的机会时，每个人都会利用这个机会，即，
个体是非满足的。另外一个重要的假设是，证
券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立。
1. 因子模型 ( )
4实际中，所有的投资者都会明显或者不
明显地应用因子模型。
4例子：市场模型
4这里
4 =在给定的时间区间，证券 i 的回
报率
4 =在同一时间区间，市场指标 I 的
回报率
4 =截矩项
4 =斜率项
4 =随机误差项，
4例子：公司股票的下一个月回报率
4这里
4 表示实际月回报率
4 表示期望回报率
4 表示回报率的非期望部分
4期望回报率是市场中投资者预期到的回
报率，依赖于投资者现在获得地关于该
种股票的所有信息，以及投资者对何种
因素影响回报率地全部了解。
• 回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导
致，例如
• ’
• ()
•
• a ’s
• ’
• A
• ’
4 = +
4 .
4 .
4 , , .
4 .
4这里
4
4 由于系统原因导致的回报率的非期望
部分
4 由于非系统原因导致的回报率的非期
望部分
4经济系统中的某些共同因素影响几乎所
有的公司
4商业周期、利率、增长率、技术进步、
劳动和原材料的成本、通货膨胀率
4这些变量不可预期的变化将导致整个证
券市场回报率的不可预期变化
4定义1：因子模型（或者指标模型）是一
种假设证券的回报率只与不同的因子或
者指标的运动有关的经济模型。
4市场模型是一种单因子模型——以市场
指标的回报率作为因子。
4由于在实际中，证券的回报率往往不只
受市场指标变动的影响，所以，在估计
证券的期望回报率、方差以及协方差的
准确度方面，多因子模型比市场模型更
有效。
4 作为一种回报率产生过程，因子模型具
有以下几个特点。
4第一，因子模型中的因子应该是系统影
响所有证券价格的经济因素。
4第二，在构造因子模型中，我们假设两
个证券的回报率相关——一起运动——
仅仅是因为它们对因子运动的共同反应
导致的。
4第三，证券回报率中不能由因子模型解
释的部分是该证券所独有的，从而与别
的证券回报率的特有部分无关，也与因
子的运动无关。
4因子模型在证券组合管理中的应用
4在证券组合选择过程中，减少估计量和
计算量
4刻画证券组合对因子的敏感度
4如果假设证券回报率满足因子模型，那
么证券分析的基本目标就是，辨别这些
因子以及证券回报率对这些因子的敏感
度。
2.单因子模型
4把经济系统中的所有相关因素作为一个
总的宏观经济指标，假设它对整个证券
市场产生影响，并进一步假设其余的不
确定性是公司所特有的。
4例如，国内生产总值的预期增长率是影
响证券回报率的主要因素。
–表6-1 因子模型数据
–年份 增长率 A
股票回报率
– 1 % %
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
44%
–图6-1中，横轴表示的预期增长率，纵轴表
示证券A的回报率。图上的每一点表示表6-1
中，在给定的年份，A的回报率与增长率的
关系。通过线性回归分析，我们得到一条符
合这些点的直线。这条直线的斜率为2，说
明A的回报率与增长率有正的关系。增长率
越大，A的回报率越高。
–写成方程的形式，A的回报率与预期增长率
之间的关系可以表示如下
–
–
()
–这里
– 在 t 时的回报率,
– 在 t 时的预期增长率,
– 在 t 时的回报率的特有部分,
– 对的预期增长率的敏感度,
– =有关的零因子。
– 在图6-1中，零因子是4%，这是的预期增长
率为零时，A的回报率。A的回报率对增长
率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这
个值表明，高的的预期增长率一定伴随着高
的A的回报率。如果的预期增长率是5%，则
A的回报率为14%。如果的预期增长率增加
1%——为6%时，则A的回报率增加2%，或
者为16%。
–在这个例子里，第六年的的预期增长率为
%，A的实际回报率是13%。因此，A的
回报率的特有部分（由 给出）为
%。给定的预期增长率为%，从A的实
际回报率13%中减去A的期望回报率%，
就得到A的回报率的特有部分%。
–从这个例子可以看出，A在任何一期的回报
率包含了三种成份：
– 1．在任何一期都相同的部分（ ）
– 2．依赖于的预期增长率，每一期都不相同
的部分
–（ ）
– 3．属于特定一期的特殊部分（ ）。
4通过分析上面这个例子，可归纳出单因
子模型的最一般形式：对时间 t 的任
何证券 i 有
4
4
()
–这里， 是因子在时间 t 的因子的值，对
在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。
是证券 i 对因子 的敏感度，对证券 i
而言， 不随时间的变化而变化。 是
证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分。这是
一个均值为0，标准差为 ，且与因子
无关的随机变量，我们以后简称为随机项。
–为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子
模型，从而省掉角标，从而()式变为
–
– ()
–并且假设：
– 1．任意证券 i 的随机项 与因子不相关;
– 2．任意证券 i 与证券 j 的随机项 与
不相关。
–假设1说明，因子具体取什么值对随机项没
有影响。而假设2说明，一种证券的随机项
对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，
两种证券之所以相关，是由于因子对它们的
共同影响导致的。如果任何假设不成立，则
单因子模型不准确，应该考虑不同的因子模
型。
4 对于证券 i 而言，其回报率的均值
4
()
4例子
– 与公司股票回报率例子比较
4 对于证券 i 而言，其回报率的方差为
4
()
4例子
–定义2： 我们称()式中的 为因子风
险； 为非因子风险。
–对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为
–
()
4单因子模型具有两个重要的性质。
4第一个性质，单因子模型能够大大简化
我们在均值-方差分析中的估计量和计算
量。
4第二个性质与风险的分散化有关。
4 分散化导致因子风险的平均化。
4 分散化缩小非因子风险。
3 多因子模型
4经济是否健康发展影响绝大多数公司的
前景，因此，对将来经济预期的变化会
对大多数证券的回报率产生深远的影响。
但是，经济并不是一个简单的单一体，
用单一的因子来刻画整个经济显然是不
准确的。
4一般来说，下面的几种因素会对整个经
济产生普遍的影响。
41．的增长率
42．短期国库券的利率水平
43． 长短期国债的收益率之差
44. 公司债与国债的收益率之差
45. 通货膨胀率
46. 石油价格
47. 技术进步
两因子模型，即，回报率生成过程包
括两个因子。
4在 t 时的两因子模型方程为：
4
4 ()
4这里 和 是影响证券回报率的主
要因素， 和 是证券 i 对两因子的敏
感度。 是随机项，而 是零因子回
报率。
4例子
4表6-2 因子模型数据
4年份 增长率
通货膨胀率 A股票回报率
41 % % %
42
43
44
45
46
– 证券B的回报率受的增长率和通货膨胀率预期值的
影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B
的回报率、的增长率和通货膨胀率之间的关系。通
过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符
合这个平面。这个平面的方程为
• 平面在增长率方向的斜率（=）表示证券B的回报率对
增长率变化的敏感度。
• 平面在通货膨胀率方向的斜率（=）表示证券B的回报
率对通货膨胀率变化的敏感度。
• 敏感度符号说明，当预期增长率或者通货膨胀率增加时，
证券B的回报率相应地增加或者减少。
• 平面的截距表示B的零因子回报率为%。
• B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部
分。例如，B在第六年的随机项为3%。
4 和单因子模型一样，我们只考虑一期的
模型，所以省掉时间的角标。两因子模
型方程如下：
4 ()
4并且假设：
41．证券的随机项与因子不相关，
42．证券 i 与证券 j 的随机项 与
不相关。
4期望回报率
4方差
4协方差
4 两因子模型具有单因子模型的重要性质。
41．有关证券组合前沿的估计量和计算量
大大减少。
42．分散化导致因子风险的平均化。
43．分散化缩小非因子风险。
多因子模型
4一般形式
4不同形式
4其中
4例子
44 套利机会
4何谓套利机会？最简单的说法是，不花
钱就能挣到钱。具体地说，有两种类型
的套利机会。
4如果一种投资能够立即产生正的收益而
在将来不需要有任何支付（不管是正的
还是负的），我们称这种投资为第一类
的套利机会。
4如果一种投资有非正的成本，但在将来，
获得正的收益的概率为正，而获得负的
收益（或者说正的支出）的概率为零，
我们称这种投资为第二类的套利机会。
4任何一个均衡的市场，都不会存在这两
种套利机会。如果存在这样的套利机会，
人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。
所以我们假设市场上不存在任何套利机
会。
4套利活动是现代有效证券市场的一个关
键原因。
4每个投资者都会充分利用套利机会
4只需要少数投资者的套利活动就能消除
套利机会
4近似的套利机会（ )
4性质
4首先，证券的定价满足线性性质。
4其次，有零的终端支付的证券组合，其
价格一定为零。
4 最后，证券的定价满足占优性质。
4例子：
4假设经济环境由四个状态和两种证券构
成，证券组合甲由11份证券1构成。相关
的信息特征如下表所示。
4状态
证券组合甲
4 1 5 3
55
4 2 5 6
55
4 3 10 3
110
4 4 10 3
110
4假设事件的概率为P({1})=，P({2})=
，P({34})=。两种证券的价格为 P1=4
，P2=2，证券组合甲的价格为 P甲=40。
4在这个经济中是否存在套利机会。
4第一，P甲=4011 P1=44，这属于第一类套利
机会。
4第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构
造新的证券组合乙：卖空11份证券1，买入1份
证券3。则证券组合乙的价格为
411（4）+1（40）0
• 证券组合乙在期末的支付为
• 状态 证券组合乙 概率
• 1 0
• 2 0
• 3、4 0
•
• 因此，P(证券组合乙的支付=0)=1，这是第一类的套利机会。
– 第三，定义证券组合丙：卖空10份证券1，买入一
份 证 券 3。 则 证 券 组 合 丙 的 价 格 为
10（4）+1（40）=0。证券组合丙在期末的支付为
– 状态 证券组合 概率
– 1 5
– 2 5
– 3、4 10
–
– 因此，P(证券组合丙的支付0)=1且P(证券组合丙的
支付0)=10。这是第二类套利机会。
45 套利定价理论()
4假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。
4假设2：投资者是非满足的：当投资者具
有套利机会时，他们会构造套利证券组
合来增加自己的财富。
4假设3：所有投资者有相同的预期：任何
证券 i 的回报率满足因子模型：
•
• ()
• 这里，
• =证券 i 的随机回报率，
• =证券 i 对第 j 个因子的敏感度，
• =均值为零的第 j 个因子，
• =证券 i 的随机项。
–假设4： ， 与所有因子不相关且
–假设5：市场上的证券的种类远远大于因子
的数目 k 。
–因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证
券或者证券组合，除非因子风险外，其行为
是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的
证券或者证券组合的期望回报率（或者说价
格）是一样的。否则，就存在第二类套利机
会，投资者就会利用它们，直到消除这些套
利机会。这就是的实质。
4定义：如果一个证券组合满足下列三个
条件：
41．初始成本为零；
42．对因子的敏感度为零：
43．期望回报率为正。
4我们称这种证券组合为套利证券组合。
4 注：严格的说，套利证券组合应该具有
零的非因子风险。但是，假设通过分散
化，这种风险非常小，以至可以忽略。
例子：（单因子模型）假如市场上存
在三种股票，每个投资者都认为它们满
足因子模型，且具有以下的期望回报率
和敏感度：
4 i
4股票1 15%
4股票2 21%
4股票3 12%
4假设某投资者投资在每种股票上的财富
为4000元，投资者现在总的投资财富为
12000元。
–首先，我们看看这个证券市场是否存在套利
证券组合。 显然，一个套利证券
组合 是下面三个方程的解：
–初始成本为零：
–
()
–对因子的敏感度为零：
–
()
–期望回报率为正：
• 满 足 这 三 个 条 件 的 解 有 无 穷 多 个 。 例 如 ，
=(,,)就是一个套利证券组合。
• 这时候，投资者如何调整自己的初始财富12000元
–总之，对于任何只关心更高回报率而忽略非
因子风险的投资者而言，这种套利证券组合
是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有
因子风险，却具有正的期望回报率。
4套利证券组合如何影响投资者的头寸
– 在上面的例子，因为(,,)
是一个套利证券组合，所以，每个投资者
都会利用它。从而，每个投资者都会购买
证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资
者都采用这样的策略，必将影响证券的价
格，相应地，也将影响证券的回报率。特
别地，由于购买压力的增加，证券1和2的
价格将上升，而这又导致证券1和2的回报
率下降。相反，由于销售压力的增加，证
券3的价格将下降，这又使得证券3的回报
率上升。
–这种价格和回报率的调整过程一直持续到所
有的套利机会消失为止。此时，证券市场处
于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不
需要成本、没有因子风险的证券组合，其期
望回报率必为零。
–无套利时，三种证券的期望回报率 和因子
敏感度 满足，对任意组合 ，如
果
–则必有
–
()
–
–根据引理，必存在常数 和 ，使得下面的
式子成立
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%
， =4%。这将导致证券1、2、3的均衡回报
率为%, %, %.
–图6-3说明了套利定价关系()。在均衡
时，所有的证券都落在套利定价线上。常数
的一个自然解释是，它表示均衡时因子的风
险酬金。而 表示无风险利率。
4如何求
例子：（ 二因子模型）假如市场上存
在四种股票，每个投资者都认为它们满
足因子模型，且具有以下的期望回报率
和敏感度：
4 i
4股票1 15%
4股票2 21%
4股票3 12%
4股票4 8%
4假设某投资者投资在每种股票上的财富
为5000元，投资者现在总的投资财富为
20000元。
–首先，我们看看这个证券市场是否存在套利
证券组合。 显然，一个套利证券
组合 是下面四个方
程的解：
–初始成本为零：
–
()
–对因子的敏感度为零：
–
()
–期望回报率为正：
• 满足这四个条件的解有无穷多个。例如，=(, ,
, )就是一个套利证券组合。
• 这时候，投资者如何调整自己的初始财富20000元
–因为，(, , , )是一个套
利证券组合，所以，每个投资者都会利用
它。从而，每个投资者都会购买证券1和2
，而卖空证券3和4。由于每个投资者都采
用这样的策略，必将影响证券的价格，相
应地，也将影响证券的回报率。特别地，
由于购买压力的增加，证券1和2的价格将
上升，而这又导致证券1和2的回报率下降。
相反，由于销售压力的增加，证券3和4的
价格将下降，这又使得证券3和4的回报率
上升。
–这种价格和回报率的调整过程一直持续到所
有的套利机会消失为止。此时，证券市场处
于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不
需要成本、没有因子风险的证券组合，其期
望回报率必为零。
–无套利时，四种证券的期望回报率 和因子
敏感度 ，对任意组合
， 如果
–则必有
–
()
–
–根据引理，必存在常数 ， ， 使得下
面的式子成立
– 刻画均衡状态的常数一组可能值为 =8%
， =4%， 2% 。这将导致证券1、2、
3、 4的均衡回报率为 %, 17%, %,
%.
4如何求 ，
一般情形
4 选择证券组合 ，使其成本
为0
4回报率为
–为了得到无风险的证券组合，我们必须消除
因子风险和非因子风险。满足下面三个条件
的证券组合符合这一要求：
– 1）所选的每个权充分小；
– 2）所包括的证券种类尽量多；
– 3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感
度为零。
– 用数学式子表示，这些条件是
–
– 是一个很大的数
–对每个因子而言，
–
–
–因为随机项是独立的，由大数定律，当
越来越大时，随机项的加权和趋向于零。换
言之，通过分散化，不需要花任何成本就能
消去非因子风险。因此，我们得到
–
–在形式上看起来，这是一个随机量。但是，
由()式，证券组合的每个因子敏感度为
零，所以，所有的因子风险为零。由于我们
选择的权消除了所有的风险，最后，证券组
合的回报率变成了一个常数。()式变成
了
– ()
–在我们构造的证券组合的过程中，投资者既
不需要成本，也不承担风险，如果构造的证
券组合的回报率不为零，它就是一个套利证
券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。
因此，满足条件()-()的证券组合，
其回报率一定为零，即，
– ()
4 证券市场无套利时，证券的期望回报率和因子敏感度
满足下列性质：
4 对任何向量 ，
4 如果它既垂直于单位常向量，
4 又垂直于每个因子敏感度向量，
4 则它一定垂直于期望回报率向量，
4 由引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量
和因子敏感度向量的线性组合，即，存在个 1 常数，
使得
4
4
()
6 在投资组合策略中的应用
4投资组合构建的决策
4套利定价理论对系统风险进行了细分，
使得投资者容易接受，而且又能够测量
每项资产对各种系统因素的敏感系数，
因而可以使得投资组合的选择更准确，
对实际的组合策略更具有指导意义。
4投资组合的构建策略，首要的是选择一
个自己最愿意接受的风险水平，其次是
通过恰当的交易，使得组合达到预定的
位置。
例子
4假设影响证券收益的系统因素是通货膨
胀的意外发生和工业生产率的意外发生。
4投资组合的策略分析
4投资基金是一种典型的投资组合。对投
资基金管理者而言，选择最佳的风险模
式，就是选择最佳的因素敏感系数的组
合。为此，我们必须了解基金发起者和
收益者的经济状况和特征，而这又取决
于他们所处的市场环境。
7 与的区别和联系
4区别
4假设
4利用的经济学原理
4结论
4因子模型与的区别
4因子模型不是均衡模型
4在中，值相同的证券回报率相同
4在因子模型中， 相同的证券回报率不
一定相同
4例子：
4如果和假设均成立
4因子是市场证券组合
–因子不是市场证券组合
8 因子的识别
4要利用来定价，首先必须辨别市场中重
要的因子的类别。经验证明，这些因子
具有以下特征：
4（1）它们应该包含表明总的经济行为的
指标；
4（2）它们应该包含通货膨胀；
4（3）它们应该包含某种利率。
4直观上来说，因为股票的价格应视为将
来红利的折现值，而将来的红利与总的
经济行为有关，折现率与通货膨胀率和
利率有关，所以，重要的因子应该包含
这几个要素。
43到5个因子
4例子：
4工业生产的增长率
4通货膨胀率
4长短期利率差
4优劣债券回报率之差
4例子
4增长率
4利率
4石油价格变化率
4国防开支增长率
4宏观经济学，微观经济学，产业组织，
基础分析
9 因子模型的估计
4时间序列方法( )
4最直观的方法
4假设投资者事先知道影响证券回报率的
因子
4准确度量因子值是关键
4因子体现的是没有预测到的变化
4横截面方法( )
4先估计敏感度，再估计因子的值
4与时间序列方法的区别
4经验因子、基本因子
4因子分析方法( )
4既不知道因子的值，也不知道对因子的
敏感度
10 对套利模型的实证研究
4验证影响证券收益的因素是否只有一个；
4到底是哪些因素影响证券的收益。
4公司规模，股票帐面价值于市场价值之
比，市场超额收益
4
4 . a .
–
– a ()
– ()
谢 谢
三月-
2209:41:5009:4109:
41三月-22三月-
2209:41
09:4109:41:5
0三月-22三
月-
2209:41:50
2022/3/24 9:41:50
