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定义[1]:设总体分布含有一未知参数 θ若由样本确定的两
统计量θ
^
1(X1,X2,⋯,Xn)及θ
^
2(X1,X2,⋯,Xn)对于事先给定的一个
α(0<α<1),使得
Pθ
^
1(X1,X2,⋯,Xn)<θ<θ
^
2(X1,X2,⋯,Xn! ")=1-α
则称随即区间 θ
^
1,θ
^
2
# $是 θ的置信区间。θ
^
1及θ
^
2成为置信
区间的下上限,1-α 成为置信度,α 成为显著性水平。
一、σ2已知时，总体均值 μ 得区间估计
(1)设X1,X2,⋯,Xn为服从总体N(μ,σ2)的一样本。已知X=
1
n
n
i=1
%Xi
是 μ的无偏估计,且统计量 u= X-μ
σ/ n&
N(0,1),因此,对于给
定的显著性水平 α,可从附表中确定 u的双侧 α 临界值 u
1-α
2
,使得
P u <u1-α
2
# $=1-α 成立,即
PX-u
1-α
2
· σ
n&
<μ<X+u
1-α
2
· σ
n&
# $=1-α
于是总体均值 μ得置信度为 1-α的置信区间为:
X-u
1-α
2
· σ
n&
,X+u
1-α
2
· σ
n&
# $
例 1调查了 144名吸烟量的平均值为 12(支),假设吸烟人
中的吸烟量服从正态分布 Nμ,4# $2 ,试估计总体均值 μ的置信
度为 99%的置信区间。
解:本例是在已知总体方差的情况下对总体均值 μ的估
计。利用上式可得。
n=144,x=12,σ=,α=
× 4
144&
,12+× 4
144&
# $即 置 信 区 间 为
(,)。
(2)对一般总体若已知总体方差在大样本情况下仍可用公
式对总体均值 μ做区间估计,依中心极限定理可知,不是正态
分布的一般分布,当 n充分大时,n个相互独立的随机变量的和
是一个服从正态分布的随机变量,而由这些独立的随机变量组
成的样本,其样本的平均值也是一个服从正态分布的随机变
量。
例 2已知男性婴儿头围的标准差 σ=(cm),今抽取 152
名男性婴儿测得平均头围为 (cm),试以置信度 估计总
体均数 μ的置信区间。
解:本例是在一般总体,若已知总体方差且在大样本的情
况下对总体均值 μ的区间估计。利用上式可得
×
52&
,+×
52&
# $即 置 信 区 间 为
(,)。
二、σ2未知时，总体均值 μ 得区间估计
(1)设 X1,X2,⋯,Xn为服从总体 N(μ,σ2)的一样本,因为 σ
2未
知,所以用上式估计 μ得不到结果,此种情形下可用样本方差
S2估计总体方差 σ2,由于统计量 t=X-μ
s/ n&
t(n-1)。因此,对于
给定的显著性水平 α,可据附表确定u的双侧 α临界值 t
1-α
2
(n-1),
使P
X-μ
S/ n&
<t
1-α
2
# $=1-α成立,PX-t1-α
2
· S
n&
<μ<X+t
1-α
2
· S
n&
# $
=1-α,于 是 总 体 均 值 μ得 置 信 度 为 1-α 的 置 信 区 间 为:
X-t
1-α
2
· S
n&
,X+t
1-α
2
· S
n&
# $。
例 3在一批中药片剂中随机抽取 25片检查称得片重为
,标准差为 ,已知片剂的重量服从正态分布,试求此中
药平均片重的置信度为 99%的置信区间。
解:本例是在已知总体方差的情况下对总体均值 μ的估
计。利用上式可得。
n=25,x=,s=,α=
×
25&
,+×
25&
# $
即所求的置信区间为:(,)。
(2)对于一般总体在大样本情形下,总体方差未知,可用 S2
来代替,由中心极限定理知, X-μ
S/ n&
近似服从标准正态分布。
因此对于给定的样本值 X1,X2,⋯,Xn总体均值 μ得置信度为 1-α
得置信区间为:
X-u
1-α
2
· S
n&
,X+u
1-α
2
· S
n&
# $
例 4今调查了 350名健康成年女性的血红蛋白含量 (g%)
的其均值为 (g%),标准差为 (g%),试估计健康成年女性
的总体均值 μ的置信度为 99%的置信区间。
解:本例是在总体方差未知的情况下对总体均值 μ的估
计。
n=350,x=,s=,α=,代入上式可得置信区间:
×
350&
,+×
350&
# $
即(,)。
三、总体率的区间估计[2]
(1)比率的抽样分布是二项分布,当 p=q,无论 n的大小,二
项分布呈对称形;当 p<q且 np≥5,或 p>q且 np≥5时,二项
分布已开始接近正态分布。若 n次独立重复试验中某事件发
生了 x0次,则我们用频率 p=
x0
n
来估计该事件发生的概率 P,这
种估计只是点估计,因此人们希望能对 P估计一个范围,即对
给定的置信度 1-α 作出 p的置信区间。n次独立重复试验中某
事件出现的次数 X服从二项分布,由中心极限定理知,当 n充分
大时,二项分布以正态分布为极限,即总体 X近似服从 N(np,
npq)。
因此样本率 p=X
n
便近似服从正态分布 N(p,pq/n)。令 u=
p-P
p(1-p)/n&
则 u服从标准正态分布 N(0,1)。
对于给定的显著性水平 α,可从附表中确定 u
1-α
2
(n-1),
使得 P
p-P
p(1-p)/n&
<u
1-α
2
# $=1-α',
样本容量对参数区间估计的影响
山东万杰医学院数学教研室 兰景涛
［摘 要］在参数区间估计当中,样本容量的作用是不容忽视的。本文从三个方面讨论了样本容量的大小对参数区
间估计的影响。
［关键词］置信区间 显著性水平 中心极限定理
(下转第 439页)
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通过以上的实例可以看到,VHDL语言是一种高级描述语
言,有良好的电路行为描述能力和系统描述能力,他可以多层
次描述数字系统的结构、行为、功能和结构。他所能涵盖的范
围相当广,能适用于各种不同阶层的设计工程师的需求,所以
他毫无疑问的成为硬件设计工程师的必备工具,同时也是电
类院校学生应该掌握的一门语言。
参考文献
[1]阎石.数字电子技术基础[M].北京:高等教育出版社,
2000.
[2]卢毅,赖杰.VHDL与数字电路设计[M].北京:科学出版
社,2002.
[3]刘丽华.专用集成电路设计方法[M].北京:北京邮电大
学出版社,2000.
(上接第 436页)
d3
'
=
lnS
G
+r(r-ρ)T+1
2
σ2T2H
σTH
,d4
'
=d3
'
-σTH。
参考文献
[1]张艳,孙彤.关于欧式缺口期权定价模型的研究[J].徐州
师范大学学报,2006,24(12):44-47.
[2]DucanTE,HuY,
fractionalBrownianmotion[J].SIAM ,2000,38:
582-612.
[3]HuY,Φ-
tiontoFinance[J].InfiniteDimensionalAnalysis,QuantumProba-
,6:1-32.
[4]
MotionEnvironment[R/L]Preprint,AcademyofEconomicStudies
Bucharest,Romania,
[5]刘韶跃,杨向群.分数布朗运动环境中标的资产有红利
支付的欧式期权定价[J].经济数学,2002,19(4):35-39.
(上接第 435页)
即Pp-u1-α
2
· p(1-p)/n! <μ<p+u
1-α
2
· p(1-p)/n!" #=1-α
于是总体均值 μ得置信度为 1-α的置信区间为:
p-u
1-α
2
· p(1-p)/n! ,p+u
1-α
2
· p(1-p)/n!" $。
例 5为了检查某药品降胆固醇的作用,作了 150例临床观察,
结果 11例有效,试求总体有效率的置信度为 99%的置信区间。
解:n=150,x0=11样本率p=
11
150
=,α=查表得,u
1-α
2
=2.
58代入上式得:
× ()/150! ,+× ()/150!% $
得总体有效率的置信区间为(,)。
(2)上式仅适用于大样本的情形,当 n不够大时,二项分布
不近似服从正态分布,由此当样本容量 n不够大时,不能用上
式估计总体率的置信区间,这里用另一种方法查表法,只要根据
n,x0便可以查表求出总体率 p的置信度为 1-α 的置信区间。
例 6从一大批产品中随机抽取 30个,得一级品 8个,求这
批产品的一级品率的置信度为 95%的置信区间。
解:本例为小样本事件,故上式不能用,这里通过查表法。
n=30,k=x0=8,α=通过查表得,置信区间为(,)。
四、结论
样本容量对参数区间估计有重要的影响,特别是对不是正
态分布的一般分布,当样本容量足够大时利用中心极限定理,
可化为正态分布来处理,进而求出参数的置信区间。
参考文献
[1]林士美.应用数理统计[M].北京:中国医药科技出版社,
1996.
[2]王孝玲.教育统计学[M].上海:华东师范大学出版社,
1993.
(上接第 437页)
st(1)=p(3);
st(2)=p(4);
st(3)=p(2);
fori=1:3
forj=1:3
stiff(ft(i),ft(j))=stiff(ft(i),ft(j))+ta(i,j);
stiff(st(i),st(j))=stiff(st(i),st(j))+ta(i,j);
mass(ft(i),ft(j))=mass(ft(i),ft(j))+tb(i,j);
mass(st(i),st(j))=mass(st(i),st(j))+tb(i,j);
end
end
end
prod=1;
fork=1:nodesnum
if(mod(k-1,n+1)==0)|(mod(k,n+1)==0)
bound(prod)=k;
prod=prod+1;
else
forj=2:n
ifmod(k-j,n*(n+1))==0
bound(prod)=k;
prod=prod+1;
end
end
end
end
j=0;
fori=1:bnodenum
stiff(bound(i)-j,:)=[];
stiff(:,bound(i)-j)=[];
mass(bound(i)-j,:)=[];
mass(:,bound(i)-j)=[];
j=j+1;
%dlg=sprintf('bnode:%d',bound(i));
%disp(dlg);
end
d=sort(eig(stiff,mass));
d(1:min(6,size(d,1)))
fid=fopen('result\','a');
fprintf(fid,'n=%2d\n',n);
fori=1:min(6,size(d,1))
fprintf(fid,'%\n',d(i));
end
fclose(fid);
toc;
从这个算例可以看出应用 Matlab去求解特征值,特征值
接近真解,从而进一步说明了在 Matlab语言环境下实现有限
元法的灵活性、准确性。
参考文献
[1]林群,严宁宁.高效有限元构造与分析[M].保定:河北大
学出版社,1996
[2]朱起定,林群.有限元超收敛理论[M].长沙:湖南科技
出版社,1989
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