中国科技论文在线
两周期下顾客退货再销售的供应链协调
研究#
安诗群，张玉林*
基金项目：国家自然科学基金项目（71171046）
作者简介：安诗群，（1989-），女，硕士研究生，研究方向：供应链协调管理。E-mail: string0219@
通信联系人：张玉林，（1964-），男，教授，博士生导师，主要研究方向：供应链管理，收益管理，管理
信息系统与决策支持系统。
（东南大学经济管理学院，南京 211189） 5
摘要：研究由一个制造商和一个零售商组成的两周期供应链的协调决策问题。建立了顾客退
货再销售模型，并确定了集中式和分散式决策模式下，商品的最优销售价格、最优订货量以
及最优批发价策略。将两种情形下的最优决策结果进行比较，结果表明分散决策下存在双重
边际化效应。利用二部定价契约来协调供应链，其中固定费用可以实现供应链利润的任意分
配，且制造商利润占供应链总利润的比例在一定范围内供应链的协调才有效。最后通过数值10
算例验证了上述结论，并分析了顾客退货率和折扣率对于零售商相关决策变量和供应链总利
润的影响。
关键词：供应链协调管理；两周期；顾客退货再销售；二部定价契约
中图分类号：C93；F274
15
Supply chain coordination on resale of consumer returns
under two periods
An Shiqun, Zhang Yulin
(School of Economics and Management, Southeast University, NanJing 211189)
Abstract: Consider the coordination problem of a two periods supply chain including one 20
manufacturer and one retailer. A resale of consumer returns model is formulated. The optimal
price, ordering quantities and wholesale price are given under the centralized decision-making
model and the decentralized decision-making model. Then optimal decision-making results of
decentralized decision and centralized decision are compared. The results show that double
marginalization effect exists in decentralized decision. Two-part tariff contract is utilized to 25
coordinate the supply chain. The profit of total supply chain can be divided by the manufacturer
through unchanged fee and a certain range must be satisfied by the proportion that manufacturer
gains from the total profit of supply chain to make the coordination of the supply chain effective.
Finally the above results are verified by numerical example and the effect of the rate of consumer
returns and discount rate of consumer returns on the decision variables of retailer and the total 30
profit of supply chain is analyzed.
Keywords: Supply chain Coordination management; Two periods; Resale of consumer returns;
Two-part tariff contract
0 引言 35
随着可选产品的日益丰富，顾客对所购不满意产品的退货也越来越普遍。例如电子产品
的退货的比例约为 11%-20%，而时装退货比例达到 35% [1]，据美国零售商协会报告，2008
年，美国顾客退给零售商的商品高达 2190 亿美元[2]。为应对竞争，吸引顾客，越来越多的
商家承诺，即使产品不存在功能或者外观缺陷，消费者若对购买商品不满意，也可以在一定
的时间内退货，由此产生了无缺陷退货物流[3]。例如,惠普接受的顾客退回的喷墨打印机中,80 40
%属于无缺陷退货[4]。在美国，每年从消费者手中退回的商品价值高达 1000 亿美元以上，
而其中仅有 5%的商品是因质量缺陷而退货[5]。
- 2 -
中国科技论文在线
由此可见，顾客退货广泛地存在于企业实践中。对于零售商或者制造商来说，提供顾客退
货政策虽然增加了库存和处理成本，但是可以保持顾客的忠诚度和满意度，吸引更多的顾客
购买商品，增加收益。随着市场竞争的日益激烈和顾客退货的增加，顾客退货对于供应链 45
的定价和库存决策的影响，以及存在顾客退货下供应链的协调问题已成为供应链管理的一个
热点问题。
Chen and Bell 分别研究了确定和不确定需求条件下的顾客退货模型，分析了顾客退货对
于定价和库存策略的影响，得出如何确定最优的价格和订货数量以减少顾客退货带来的负面
效益【6】。之后 Chen and Bell 考虑了市场需求与价格相关的情况下，存在顾客退货的供应链50
协调问题，证明了差别回购契约策略能够协调供应链以及制造商和零售商的利润如何分享
【7】。Xiao 等在他们研究的基础上进一步研究了需求不确定下存在顾客退货的供应链的协调
性问题，得到了与 Chen and Bell 类似的结论，并进一步研究了退货量对于供应链利润的影
响【8】。曹细玉等在零售商的退货价格不仅对产品的需求有影响，而且对顾客的退货率也产
生影响的情形下，研究了易逝品供应链的协调性问题，证明了简单的回购策略不能实现供应55
链的协调，而基于回馈与惩罚策略的制造商回收策略能够实现供应链的协调【9】。Su 等将顾
客行为引入供应链系统中，研究了需求不确定和顾客估值不确定情形下的顾客退货模型，分
析了全额退货和部分退货政策对于供应链绩效的影响，并提出了几种契约来协调供应链【10】。
申成霖等对 Su 的模型进行了拓展，在服务水平约束下建立了顾客策略性退货模型，设计了
一般的回购契约、基于差别定价的回购契约和销售回扣契约对供应链进行协调【11】。薛顺利60
【12】申成霖【13】等在电子商务环境下研究了顾客退货政策对于供应链最优定价和利润的影响。
孙浩，达庆利[14]研究了两周期再制造闭环供应链的定价与协调。主要考虑了在第一周期的
废旧物品回收再制造后，在第二周期以比新产品较低的价格进行再销售。研究制造商的最优
批发价格和回购价格、零售商对新产品和再制造产品的差异定价以及双方的利润。
以上大多数文献都是研究存在顾客退货行为下的单周期的供应链，并没有考虑将顾客退65
货的产品进行再销售。而实践中，有许多商家会在季末将顾客退回的产品以及未销售出去的
产品进行打折出售。比如，图书出版公司 Barnes & Noble 会在销售期末，将退货产品（包括
顾客退货和未销售出去的产品）重新在二级折扣市场上进行销售[15]。因此，本文主要受文
献[14]的启发，考虑了两周期下，第一期零售商允许顾客无缺陷退货并提供全额退货政策，
第二期再将其打折销售，以集中式供应链和零售商的最大期望利润为目标，研究由单个制造70
商和单个零售商组成的供应链的协调性问题。
1 问题描述
集中模式下，将制造商和零售商作为一个决策主体，如图 1 所示。顾客退货给零售商的
分散决策模式下，零售商打折销售第一周期的退货产品，如图 2 所示。
- 3 -
中国科技论文在线
75
图 1集中决策 图 2分散决策-顾客退货给零售商
假设在两周期供应链中，制造商和零售商都是风险中性的；制造商为 Stackelberg 博弈
的领导者；零售商允许顾客无缺陷退货，并提供全额退货政策
第一期销售季节开始，制造商的生产量为新产品的需求量。制造商的单位生产成本为c，80
第一周期新产品的批发价和零售价分别为 1w 和 1p 。产品在第一周期的需求为 1 1φ= −d p ，
φ代表市场容量且在一定的时间内保持不变。消费者对商品不满意时可以无条件全额退货，
根据 Vlachos 和 Dekker[15]的假设：顾客退货量为销售量的固定比例，因此假设退货比例为θ，
顾客退货数量则为 1dθ 。顾客退货产品的单位库存成本为k 。第二周期中，顾客退货产品的
销售价为 2p ，且 2 1p pλ= ，其中λ 为折扣率，零售商打折销售退货产品的数量为q。产品85
在第二周期的需求为 2 1φ β= −d p ，其中 1β ≤ ，是因为产品的打折销售使得产品的平均价
格下降，从而刺激了产品的需求。
2 集中决策模型
将制造商和零售商作为一个决策主体考虑，此时供应链的利润为
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 2 1 11 [ ]( , ) d cd p d q p q c d q k d sp q p d qπ θ λ θ θ− − + − + − − − + −= 90
其中 1 1d pφ= − ， 2 1d pφ β= − 。
供应链的最优决策为
( )
( ) ( )
1
1 1 1,
1111 1
1 )( , ) ( ( )
( ) ([ ) ])(
θ
λ θ
π φ
β φθφ φ
− −
+ −
= −
− −− + − −+ −
p q
Max p q p p
p p p
c
p c q p q k s q
1
1
1
(
.
,
)
0
≤⎧⎪ ≤
−
−⎨⎪ ≥⎩
q
q
p q
p
p
φ
φ β
θ
命题 1 集中式供应链的最优决策为 95
*
1
(1 ) (2 ( 2 ))
2(1 ( 2 ))
+ − + + + − += + + − +
c kp β θ θ θ λ φβ θ λ （1）
- 4 -
中国科技论文在线
* ( ( 1 ) (2 ( 2 )) )
2(1 ( 2 ))
− + − − + + + − += + + − +
k cq θ θ β θ β θ λ φβ θ λ （2）
（证明见附录）
由命题 1 可知：
*
1
2 (2 (2 )) (( 2)(1 2 ) ) ( (4 ) 2(1 ))( )
2(1 ( 2))
λ θ λ φ λ β θ λθ θ λ βλ β θ λ
− − + − + − − + − − +− + = + + −
c kp k c100
因为2 ( 2 ) 0θ λ+ − + > ，市场容量足够大，所以 *1 ( ) 0p k cλ − + > 。由此可见，顾客退货在
第二周期再打折销售对于整个供应链是有利可图的。
推论 1 供应链在第一期和第二期新产品的最优生产量分别为
* *
1 1
( 1 ) (2 ( 2 ))-
2(1 ( 2 ))
d k cp θ β θ β θ λ φφ β θ λ
− + − − + + + − += = + + − +
* *
2
2
*
1
(2(1 ) (2 )) ( )(
2(1 ( 2 ))
(1 ) )
φ β
β θ λ
θ θλ β θ φ β θ β θ θ
−
− + − − − − +
= − −
= + + − +
− +
d q
c k
p q
105
3 分散决策模型
顾客退货给零售商是最常见的一种退货方式。
由于制造商为 Stackelberg 博弈的领导者，所以决策顺序为制造商首先决定批发价格
1w ，零售商决定新产品的销售价格 1p 和顾客退货再销售的打折销售量q，该问题可用逆向
归纳法求解。 110
对于零售商来说
( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
1
1 1
,
1
1( , ) 1 )( )
[( ) ( ) ( ) ]
( θπ φ
φ β λ θ φ θ φ
− − −
+ − − − + − −
=
+ − −
rp q
Max p q w p
p w p q p q k p p
p
s q
1
1
. ( )
, 0
≤⎧⎪ ≤⎨ −
≥⎩
−
⎪
q
q
p q
p
p
φ β
φθ
则分散式供应链中零售商的最优决策为
1
1
(1 ) (2 ( 2 ))
2(1 ( 2 ))
+ − + + + − += + + − +
D w kp β θ θ θ λ φβ θ λ （3） 115
1( ( 1 ) (2 ( 2 )) )
2(1 ( 2 ))
− + − − + + + − += + + − +
D k wq θ θ β θ β θ λ φβ θ λ （4）
对于制造商来说
1
1 1 2 1 1ax ( )( ) ( )(2 (1 ) )
D D
mw
M w c d d q w c p qπ φ β= − + − = − − + −
可得制造商的最优批发价格为 120
1 2
2(1 ( 3 ) ) ( 3 ) (1 ) ( )
2(1 ) 2(1 )
D c c kw β θ θ θ β θ λ β θφβ θ β θ
+ + − + − − + + + − += ++ − + − （5）
将 1Dw 带入 1Dp 和 Dq 中，可得定理 2。
- 5 -
中国科技论文在线
命题 2 分散式供应链中零售商的最优决策分别为
1
1
(1 ) (2 ( 2 ))
2(1 ( 2 ))
+ − + + + − += + + − +
D
Dw kp β θ θ θ λ φβ θ λ
1( ( 1 ) (2 ( 2 )) )
2(1 ( 2 ))
− + − − + + + − += + + − +
D
D k wq θ θ β θ β θ λ φβ θ λ 125
制造商的最优批发价格决策为：
1 2
2(1 ( 3 ) ) ( 3 ) (1 ) ( )
2(1 ) 2(1 )
D c c kw β θ θ θ β θ λ β θφβ θ β θ
+ + − + − − + + + − += ++ − + −
推论 2 零售商在第一期和第二期对新产品的最优订货量分别为：
1
1 1
( 1 ) (2 ( 2 ))-
2(1 ( 2 ))
D
D
D k wd p θ β θ β θ λ φφ β θ λ
− + − − + + + − += = + + − +
2 1
2
1(2(1 ) (2 )) ( )( (1 ) )
2(1 ( 2 ))
D
DD D D w kq qd p θ θλ β θ φ β θ βφ β β θ λ
θ θ= − = − + − − − − + −+ + − +
+− −130
命题 3 集中决策下的均衡价格和产量及利润与分散决策的情形比较，可得如下关系
*
1 1
Dp p> ， *1 1Dd d< ， *2 2Dd d<
r mπ π π+ <
命题 3说明分散决策下的供应链存在双重边际化效应，系统效益非最优。因此有必要设135
计有效的协调机制来改善系统的效益和各成员的利润。
4 供应链的契约协调-二部定价契约
自从 Oi[16]进行了二部定价契约（w，F）的开创性研究之后，在分析各种定价契约形式
时，相关文献会研究两部定价契约的形式，本文使用两部定价契约来协调供应链是出于以下
原因：两部定价契约由批发价格和固定费用两部分组成，其中的固定费用有利于实现供应链140
利润的任意分配，为解决批发价格契约下的利润分配问题提供了可能性，能协调供应链上下
游企业的运作[17]。
用 U 表示集中决策下的供应链的最优利润，t表示制造商的利润占整个供应链的利润比
例。
命题 4 顾客退货给零售商时要使得整个供应链协调，即使得分散决策达到集中决策下145
的供应链的利润水平时参数满足的条件
*
1 =w c
1* 1( ) ( , )U 1
D D D
m rF t w p qt
U U
π π≤ ≤ −= （其中 ）
证明：零售商要解决的问题为
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1 1 1 1, 1 1
1 )( ) [( ) ( ) ) ]( (
p q
w p p w p q p q k p s p qx p FMa θ φ φ β λ θ φ θ φ− − − + − − − + − − + − − −
150
- 6 -
中国科技论文在线
1
1
. ( )
, 0
≤⎧⎪ ≤⎨ −
≥⎩
−
⎪
q
q
p q
p
p
φ β
φθ
同样可求得最优解为：
1
1
(1 ) (2 ( 2 ))
2(1 ( 2 ))
D w kp β θ θ θ λ φβ θ λ
+ − + + + − += + + − +
1( ( 1 ) (2 ( 2 )) )
2(1 ( 2 ))
D k wq θ θ β θ β θ λ φβ θ λ
− + − − + + + − += + + − +
将其和集中决策下的最优值相比较 * *1 1 ,D Dp p q q= = 可得 *1 =w c 155
对于制造商来说
1
1 1 2 1 1ax[( )( ) ] ( )(2 (1 ) )wM w c d d q F w c p q Fφ β− + − + = − − + − +
1
* *
1 1 1,
* *
1 1
{ , } arg( ( , ) ) { , }
. .
( , ) ( , )
⎧ = − =⎪⎨⎪ − ≥⎩
rp q
D D
r r
p q Max p q F p q
s t
p q F p q
π
π π
所以 160
* *
1 1( , ) ( , ) (1 )
D D
r rF p q p q U t U tUπ π= − = − − =
此时制造商的最优利润为S tU= ，零售商的最优利润为 (1 )R t U= − 。对于零售商和
制造商来说，要使得二部定价契约协调有效，则 1 1(1 ) ( , ), ( )D D Dr mt U p q tU wπ π− ≥ ≥ ，即
1 1( ) ( , )1
D D D
m rw p qt
U U
π π≤ ≤ −
由命题 4 可以看出，当制造商和零售商之间订立二部定价契约时，制造商通过将批发价165
设定在等于产品的边际生产成本，以此来刺激零售商增加新产品的订货量，且一定程度上降
低了零售商的销售价格，提高了产品的销售数量从而提高了供应链的总利润；通过调整参数
t 可以实现供应链利润的任意分配，当 t 满足定理 3 的条件时，二部定价契约可完美协调供
应链，即分散决策模式下的收益之和等于集中模式下的收益，且双方收益较无契约时的收益
均有所增加。 170
5 算例分析
当参数设置为 2000φ = ， β = ， 120c = ， 20k = ， 10s = ，θ = ，
λ = 时，根据命题 1，2，4 以及推论 1,2 计算得到集中式决策、分散式无契约、以及
分散式有契约时的最优定价、生产决策和最优利润，计算结果如表一所示。
175
180
- 7 -
中国科技论文在线
表 1有无契约下的供应链的最优决策 185
变量 集中式决策 分散式决策（无契约） 供应链协调（二部定价契
约）
w — 120
1p
q
1d
2d q−
rπ —— （1-t）
mπ —— π
从表 1 可以看出，分散式决策下的供应链的系统收益小于集中决策的，当制造商与零售
商之间订立二部定价契约时，能够有效刺激零售商降低产品销售价格，这些举措在一定程度
上能刺激消费，提高两周期的产品销售数量从而提高了整个供应链的利润。要使得分散决策
下的供应链达到集中决策下的利润水平，需使
*
1 =w c， * U,(0 t 1)= < <F t 。对于零售商和190
制造商来说，要使得二部定价契约协调有效，则 0,0)1( ≥−≥−− mr tUUt ππ ，即
≤≤ t 。
进一步分析协调机制下顾客退货率θ和折扣率λ 的变化对于零售商相关决策变量和供
应链总利润的影响，其余参数值不变，根据命题 1 可得如图 3,4,5 的结果。
195
图 3集中决策下 1p 随θ 和λ 的变化趋势 图 4 集中决策下q随θ 和λ 的变化趋势
图 5 集中决策下供应链总利润随θ 和λ 的变化趋势
200
由图 3 可见，第一期销售价格 1p 随着顾客退货率θ的增大而增大， 1p 随着折扣率λ 的
减小而增大。这是因为顾客退货率θ增大，顾客退货数量增加，第二期打折数量相应增加，
所以供应链需要提高价格来弥补产品打折带来的损失；而顾客退货再销售产品折扣越大，新
产品的需求将减少，所以供应链需要提高价格来弥补新产品销售量减少的损失。由图 4 可知
- 8 -
中国科技论文在线
顾客退货在第二期打折销售量q随着顾客退货率θ的增加而增加，随着折扣率λ 的增加而增205
加。由图 5 可以看出顾客退货率增加，供应链的总利润减少，由此可知顾客退货会对供应链
利润产生消极影响，供应链成员应采取一定的措施来降低顾客退货率，比如零售商向顾客详
细介绍产品功能和特性，增加顾客了解并接受产品的程度或者增加顾客体验。
6 结语
本文针对基于顾客退货再销售的两周期供应链，研究了集中式决策和分散式决策 2 种情210
形下的最优定价策略，零售商的最优订货策略，制造商的最优生产策略以及双方的利润，证
明了顾客退货再销售对供应链是有利可图的。然后将两种情形下的最优决策结果进行了比
较，结果表明，在分散决策情形下存在双重边际化效应。利用二部定价契约来协调供应链，
制造商应该把两部定价契约中的批发价设定在等于制造商的边际生产成本，两部定价契约中
的固定费用可以实现供应链内部利润的任意分配，有利于供应链达到整体绩效最优，而利润215
分配比例需要满足一定的范围时，二部定价契约协调才有效。最后通过数值算例验证了上述
结论并进一步得出：当顾客退货率增加时，零售商的销售价格增加，顾客再销售产品的数量
也增加，而供应链的总利润减少；顾客再销售产品的折扣率增加，零售商的销售价格减少，
顾客再销售产品的数量增加。本文的模型中的需求假设是线型的，而实际中需求可能是随机
的，随机需求下顾客退货再销售的供应链是进一步研究的方向。 220
[参考文献] (References)
[1] Xuanming Su. Consumer Returns Policies and Supply Chain Performance [J]. Manufacturing & Service
Operations Management, 2009, 11 (4):595-612.
[2] Jing Chen，Peter Bell. The impact of customer returns on decisions in a newsvendor problem with and 225
without buyback policies [J].International Transactions in Operational Research, 2010, 18: 473-491.
[3] 杨鹏，陈秋双，孙俊清.无缺陷退货问题的建模与供应链协作[J].计算机集成制造系统，2007,13（6）：
1071-1075.
[4] FERGUSON,MARKEG, DANIEL R. Supply chain coordination for false failure returns [ EB/ OL ] .
(2005-12-20) [ 2005-12-20] . http :/ / smartech. gatech. edu/ bitstream/ 1853/ 7430/ 1/FGS + False + Failure 230
+ Returns + .
[5] Stock, J. Speh, T. Shear, H .Many happy (product) returns [J] . Harvard Business Review, 2002, 80(7): 17-
17.
[6] Chen Jing, Bell Peter. The impact of customer returns on pricing and order decisions [J].European Journal of
Operational Research, 2009, 195: 280-295. 235
[7] Chen Jing, Bell Peter .Coordinating a decentralized supply chain with customer returns and price dependent
stochastic demand using a buyback policy[J].European Journal of Operational Research,2011:293-300.
[8] Xiao Tiaojun, Shi Kuiran, Yang Danqin. Coordination of a supply chain with consumer return under demand
uncertainty [J].Int. J. Production Economics, 2010: 171-180.
[9] 曹细玉,宁宣.考虑退货价格的易逝品供应链协调性研究[J]. 管理科学,2007,20（2）: 31-35. 240
[10] Su Xuanming. Consumer Returns Policies and Supply Chain Performance [J]. Manufacturing & Service
Operations Management, 2009, 11 (4): 595-612.
[11] 申成霖,张新鑫.服务水平约束下基于顾客策略性退货的供应链契约协调研究[ J].中国管理科学，2010，
18(4):56- 64.
[12] 薛顺利,徐渝等. 电子商务环境下定价与退货策略整合优化研究[J].运筹与管理,2006,15(5):133-137. 245
[13] 申成霖,张新鑫.电子商务环境下无缺陷退货政策[J]. 工业工程,2011,14（3）：55-59.
[14] 孙浩，达庆利.基于产品差异的再制造闭环供应链定价与协调研究[J].管理学报，2010,7（5）：733-738.
[15] Vlachos, D., Dekker, R., 2003. Return handling options and order quantities for single period products.
European Journal of Operational Research 151 (1), 38–52.
[16] OI W Y. A Disneyland dilemma: two part tariffs for a Mickey Mouse monopoly [J].Quarterly Journal of 250
Economics, 1971, 85(1):77- 96.
[17] 齐二石，杨道箭，刘亮. 基于顾客战略行为的供应链两部定价契约[J]. 计算机集成制造系统，2010，
16（4）：828- 833.
- 9 -
中国科技论文在线
附录 255
证明：构造拉格朗日函数
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1 )( ) [( ) ( ) ( ) ]
( ) ( )
( − − − + − − − + − − + − −
+ − −
=
+ − −
c p p c p q p q k p s p q
x p q y p
L p
q
θ φ φ β λ θ φ θ φ
θ φ φ β
K-T条件为
1
1
L 2(1 ) (2 ) ( 1) (1 ) ( ) 0p q c k s x y
p
β θ θ φ λ β θ θ β∂ = − + − + − + − + + + − − − =∂
1
L ( 1) 0∂ = − + − − − =∂ p c s x yq λ 260
( )1( ) 0x p qθ φ − − =
( )1 0y p qφ β− − =
1 , , , 0≥p q x y
下面根据拉格朗日乘子的取值分三种情况
1） 0, 0> =x y ；联立
1
L 0∂ =∂p ，
L 0∂ =∂q ， ( )1( ) 0x p qθ φ − − = 可得 *1p 和 *q 265
2） 0, 0= >x y ；联立
1
L 0∂ =∂p ，
L 0∂ =∂q ， ( )1 0y p qφ β− − = 可得到
1 2 2 2
β θ θ φ θφ λφ
θ βλ
+ + − + − += − +
c s k sp
( ( ) )
2( 1 )
β β θ θ φ θφ λφφ θ βλ
+ − + + − += + − + −
c s kq
而此时
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )1
2 3 1 2
0
2 1
− − + − + + + − + + + − + + −− = <− + −
c s k
d q
β θ β θ θ θ θ λ β θ λ θλ φθ θ βλ270
与约束条件矛盾，舍去。
3） 0, 0> >x y ；
1
L 0∂ =∂p ，
L 0∂ =∂q ， ( )1( ) 0x p qθ φ − − = ， ( )1 0y p qφ β− − = 可
得
1
φ θφ
β θ
−= −p
( 1 )β θφ
β θ
− += −q 275
显然 1p 和q中必有一个是大于零，一个是小于零的，与约束条件中变量都大于零矛盾，
舍去。
再考虑边界解的情况： )( 11 pdq −== φθθ ，此时最优化问题为：
- 10 -
中国科技论文在线
( ) ( ) ( )
1
11 1 1 1 1 11 1max 1 )( ) ( ) ( ) ( )(p p c p p p p p c p q pp kθ φ θ φ λ φ φ β θ φπ φ β θ= −− − − + − − + − − − − − −280
目标函数关于 1p 的一阶和二阶倒数为
1
1
(2 ( 2)) 2(1 ( 2)) (1 )π θ λ φ β θ λ β θ θ∂ = + − − + + − + + − +∂ p c kp
2
2
1
2(1 ( 2))
p
π β θ λ∂ = − + + −∂
因为
2
2
1
2(1 ( 2)) 0
p
π β θ λ∂ = − + + − <∂ ，所以利润函数π 是 1p 的凹函数，由 1 0p
π∂ =∂ 得
*
1
(1 ) (2 ( 2 ))
2(1 ( 2 ))
+ − + + + − += + + − +
c kp β θ θ θ λ φβ θ λ
285
所以由拉格朗日函数根据 K-T 条件求得的最优解和由考虑边界解的情况下求得的最优
解相等。命题 1得证。
