一、函数、极限、连续
三、多元函数微分学
二、导数与微分
微分学
四、微分学应用
一、 函数、极限、连续
1. 一元函数
显函数
定义域：使表达式有意义的实
数全体或由实际意义确定。
隐函数
参数方程所表示的函数
函数的特性函数的特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
复合函数(构造新函数的重要方法)
初等函数
由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次
复合而成且能用一个式子表示的函数.
例如例如. . 函数函数
基本初等函数:
常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函
数和反三角函数
2 2 极限极限
极限定义的等价形式 (以 为例 )
极限运算法则
无穷小无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
两个重要极限
～ ～ ～
～ ～ ～
～ ～ ～
等价无穷小代换
存在 (或为 )
定理
(洛必达法则)
说明: 定理中 换为
之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
洛必达法则
3. 3. 连续与间断连续与间断
函数连续的定义
函数间断点
第一类（左右
极限存在）
第二类（左右
极限至少有一
个不存在）
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点
振荡间断点
重要结论：初等函数在定义区间内连续
例1. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .
提示:
例2. 若 ，求a与b的值。
二、 导数和微分
导数 定义:
当 时,为右导数
当 时,为左导数
微分 :
关系 : 可导 可微
导数几何意义:切线斜率
1. 有关概念
例例.设设 在 处连续,且
求
解:
2.导数和微分的求法
正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）
高阶导数的求法(逐次求一阶导数）
例例4. 4. 求函数求函数 的导数
解：
例5. 求函数 在x处的微分
解：
三、多元函数微分法
1. 多元显函数求偏导和高阶偏导
2. 复合函数求偏导
注意正确使用求导符号
3. 隐函数求偏导
将其余变量固定，对该变量求导。
4. 全微分
5. 重要关系: 函数可导
函数可微
偏导数连续
函数连续
例例. 已知已知
解:
为正常数），求
解：设
则
例例7. 7. 设设
四、 导数与微分的应用
1.导数的几何意义
例8.求曲线 上切线平行于x轴的点。
解：由 解得
得代入
所求点为：
函数单调性的判定及极值求法函数单调性的判定及极值求法
若定理 1. 设函数
则 在 I 内单调递增 (递减) .
在开区间 I 内可导,
2. 函数的性态:
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数
为 0 或不存在的点.
极值第一判别法极值第一判别法
且在空心邻域
内有导数,
(1) “左正右负”
,(2) “左负右正”
,
极值第二判别法极值第二判别法
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
例例. 求函数求函数 的极值 .
解: 1) 求导数
2) 求驻点
令 得驻点
3) 判别
因 故 为极小值 ;
又 故需用第一判别法判别.
定理定理.((凹凸判定法凹凸判定法))
(1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
设函数 在区间I 上有二阶导数
凹弧凸弧的分界点为拐点
例例. 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求
2) 求拐点可疑点坐标
令 得 对应
3) 列表判别
故该曲线在 及 上向上凹,
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点.
凹 凹凸
的连续性及导函数
例例10. 10. 填空题填空题
(1) 设函数
其导数图形如图所示,
单调减区间为 ;
极小值点为 ;
极大值点为 .
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
单调增区间为 ;
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
极值必要条件极值必要条件 函数
偏导数,
但驻点不一定是极值点.
且在该点取得极值 , 则有
存在
多元函数极值与最值问题
极值的必要条件与充分条件
时, 具有极值
极值充分条件极值充分条件
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
2) 当
3) 当
时, 没有极值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
若函数
极值问题
无条件极值:
条 件 极 值 :
条件极值的求法:
方法1 代入法.
求一元函数 的无条件极值问题
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
例如 ,
转
化
引入辅助函数
则极值点满足:
方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法..
解该方程组，得极值点。
