第二章
第四节
二维随机变量及其概率分布
一、二维随机变量的概念
二、二维离散型随机变量
三、二维连续型随机变量
本节中只讨论二维随机变量的概念及性质，至于更高维随机变量的研究方法及结果与二维随机变量完全类似，可直接由二维随机变量推广而来。
在实际问题中，有许多随机试验仅用一个随机变量来描述是不够的，需要用多个随机变量来描述。
一、二维随机变量的概念
定义 设随机试验 的样本空间为 ，而 是定义在 上的两个随机变量，则二维向量 称为二维随机向量或二维随机变量。
定义 设 是二维随机变量，对任意实数 ，称二元函数
为 的联合分布函数。
联合分布函数的几何意义表示随机点 落在以点 为顶点的左下方无穷矩形域内的概率.
由联合分布函数的几何意义很容易得出随机点
落在一个矩形区域 内的概率。
定理 二维随机变量 的联合分布函数
的性质:
（1） 关于 均是非减函数；
(2)
（3） 关于 均是右连续函数；
（4）对任意 ， 均有
注意到，二维随机变量 的分量 与 分别是一维随机变量，通过 的联合分布函数 可以求出 与 各自的分布函数 与 。
同理:
称 与 分别为二维随机变量 关于 ,关于 的边缘分布函数.
二、二维离散型随机变量
称 是二维离散型随机变量。
若二维随机变量 的全部可能取值只有有
限多对或可列无穷多对 ，则
称 为二
维离散型随机变量 的联合分布律。
显然联合分布律有如下性质
(1)
(2)
的联合分布律通常用以下表格给出：
的联合分布函数 可由上面的联合分布律求出：
其中 是对一切满足 ， 的 求和.
由 的联合分布律还可求出 与 各自的分布律.
记:
分别称为 关于 ，关于 的边缘分布律。
在联合分布律的表格中，将每行与每列相加即可得到边缘分布律。
例1.
设
在1,2,3,4中等可能取一值,
在1~X中等可能
取一整数值,求(X,Y)的联合分布列及X,Y的边缘分布列.
解:
的分布列为:
1 2 3 4
1
2
3
4
例2：设 的联合分布律如下表，试求
关于 及 的边缘分布律。
0 1 4
1
2
3
5
三、二维连续型随机变量
对任意实数 都有
定义 设 为二维随机变量 的联
合分布函数，若存在一个非负二元函数 ，使
联合概率密度函数。
则称 为二维连续型随机变量，并称 为
联合概率密度函数 具有以下性质：
(1)
；
(2)
；
(3)若 在点 连续,则
；
(4)
。
性质(4)说明在几何上， 落在某平面区域
中的概率，在数值上就是 在区域 内的二重
积分。
的联合概率密度函数 与 、 各自
的概率密度函数 、 之间的关系，
由
及
得:
同理可得：
称 为 关于 的边缘概率密度函数；
称 为 关于 的边缘概率密度函数。
例3：设 的联合概率密度函数为
2、
的边缘概率密度函数；
求:1、
及
；
3、求 的联合分布函数.
解:
1.
1
1
2.
当 或 时,
，
则
；
当 时,
；
则
。
同理:
。
3.
(i)当 或 时,
，
则
；
(ii)当 且 时,
；
(iii)当 且 时,
(iv)当 且 时,
(v)当 且 时，
；
；
；
综上：
