摘 要：本文基于结构风险最小化思想，考虑到投资者不同的风险偏好以及单个资产的集中度、资金规模、交易成
本等影响因子，建立了基于 CVaR 约束的新型金融市场指数追踪优化模型，并利用深圳成份指数历史数据进行了实
证检验。 实证结果表明本文提出的新方法能够提高样本外追踪效果，从而具有较高的理论和实用价值。
关键词：CVaR市场指数；追踪指数；投资组合
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号:1003－9031(2012)04－0036－03 DOI:
收稿日期：2012－02－03
作者简介：夏江山（1974-），男，甘肃天水人，现供职于中国人民银行天津分行。
一、引言
指数化投资组合被大多数投资者和机构所采用。 但
是， 面对市场上包含几十上百种资产的金融市场指数，
以有限的资金按照金融市场指数的构成比例购买所有
的资产， 完全复制所追踪的金融市场指数是比较困难
的。 因此，采用优化复制方法，即通过权重的优化再配置
寻找一个含有“部分”成份资产的投资组合来追踪某个
特定的金融市场指数，以使其长期收益水平接近或优于
整个市场或指定版块的收益就具有积极的现实意义。
从上世纪九十年代以来， 一些学者在此领域进行了
一些有意义的探索 ，如 Haugen 和 Baket（1990）采用均
值—方差模型对指数追踪问题进行了研究 [1]。 Worzel 和
Zeniou（1994）提出通过使用效用函数惩罚追踪误差并最
大化期望效用函数来追踪指数[2]。 Konno（1991）等在对组
合优化进行研究时，提出了一种基于平均绝对偏差的模
型，并代替传统的均值—方差模型 [3]。 陈春锋、陈伟忠
（2004）以上证 180指数为标的研究了如何构建指数复制
的数学模型，并对目前存在的几种不同的复制方法进行
了实证分析 [4]。 徐凌（2009）探讨了分层抽样中行业筛选
的问题[5]。 对指数追踪的研究尽管丰富，但研究角度都是
基于追踪偏差（即经验风险）最小，没有考虑在实际运作
中，对于投资者来说，收益率高于所追踪的金融市场指
数收益并不算是风险， 仅仅当收益率低于所追踪的金融
市场指数收益时才有风险，可能会造成损失。 Rockafellar
和 Uryasev（2000）提出了条件风险价值 CVaR[6]，回答了投
资者关心的在进行投资组合决策时， 怎样在现有的资产
因子中配置资源使得投资组合与其追踪的金融市场指数
偏差大于某个给定偏差时的平均偏差最小的问题。 本文
构建基于 CVaR约束并考虑单个资产集中度、资金规模、
交易成本等影响因子的金融市场指数追踪优化模型。 最
后， 利用深圳成份指数的历史数据对提出的模型进行检
验，结果表明该模型具有良好的泛化能力，很大程度上降
低了样本外追踪偏差，同时提高了模型的鲁棒性。
二、问题描述
金融市场指数追踪优化问题是指从 P 种资产（一般
是标的金融市场指数的成份资产） 中选出 n种资产构建
一个投资组合， 并使得该组合相对标的金融市场指数的
一些考核标准更优。 为了评价追踪组合的优劣， 选取目
标金融市场指数和备选资产的历史数据，又称测试数据
集，并将其分为样本内和样本外，即 t=1，……，T 的数据
为样本内数据，t=T+1， ……，T+L 的数据为样本外数据。
通过样本内的数据，依据模型确定最优追踪组合，利用样
本外数据评价追踪组合的追踪效果。
假定投资者的投资组合 p 由 si（i=1，……，n）种资产
基于 CVaR约束的金融市场指数追踪优化模型及实证分析
夏江山
（中国人民银行天津分行，天津 300040）
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构成，I为要追踪的标的金融市场指数。 t=1，……，T的数
据是基于历史时期的样本内数据， 来考察投资组合与标
的金融市场指数的价值变化，t=T+1 代表一个决策时点，
在该时点把当前投资组合调整为一个新的追踪组合。 x0=
（x01，……，x0n）是初始时 n 种资产持有量，x=（x1，……xn）
为决策变量 （即待求变量）， 代表 T+1 时点资产 s=（s1，
……，sn）的持有数量；Pit 代表 t（t=1，……，T）时刻资产 si
（i=1，……，n）的价格，则资产 si 在 t 时刻的对数收益率
为 rit=ln（pit/pi,t-1）；则投资组合 p 的对数收益率为 rt=∑ni=1
（ritpiTxi/∑ni=1piTxi），It为指数 I在时刻 t的点位，则指数在时
刻 t的对数收益率 Rt=ln[It/It-1]。定义 zt=Rt-tt为投资组合 p
与金融市场指数两者之间的偏差变量。 为合理度量投资
组合 p追踪金融市场指数 i的风险， 采用在一定的置信
水平下， 偏差 zt=Rt-rt超过某个给定偏差的平均值 CVaR
作为风险的度量。
CVaR可以用下面的数学表达式表示：
CVaRβ=VaRβ+E[f（x,p）-VaRβ]|[f（x，p）>VaRβ]
其中：x=（x1，……，xn）T表示 n种资产的持有量向量；
p=（p1， ……，pn）T表示引起投资组合与追踪指数发生偏
差的市场因子，如资产价格；f（x，p）表示投资组合的平均
偏差函数；β表示置信水平。通过构造一个辅助函数解决
计算问题，对任意的 α缀R，辅助函数近似表示为：
Fβ（x，α）=α+ 1T（1-β）∑
T
t=1[f（x，pt）-α]+
将其线性化，则 Fβ（x，α）可表示为：
α+ 1T（1-β）∑
T
t=1zt
zt≥f（x，p）-α，zt≥0 t=1，……T
需要考虑的其它约束条件有：
（一）组合内单个资产的集中度。 即组合内单个资产
的持有数量不得超过一定的比例， 也不能小于一定的比
例。 即 αk∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n。 其中，
αk为投资组合中资产 sk的最小持有比例；bk为投资组合
中资产 sk的最大持有比例，则有 0≤αk≤bk≤1，bk限制了
投资组合中资产 sk的风险敞口。
（二）资金规模。 即持有的投资组合市值加上交易成
本等于初始资金规模。∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v。其中，x0i
为投资组合调整之前资产 si 的持有量；c 为交易中涉及
到的佣金、印花税等费率的综合比例；∑ni=1cpiT|x0i-xi|为仓
位调整所带来的交易成本；v为初始资金规模，其值等于
每次调整前一日收盘后的投资组合市值与因仓位调整而
被调出的资产卖出而带来的交易成本的差额。
（三）交易成本。 即仓位调整所带来的交易成本不能
超过初始资金规模的一定比例。 即 0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤
qv， 其中 q为仓位调整所带来的交易成本最多不超过投
资组合总市值的比例。
三、金融市场指数追踪优化模型
投资组合能够容忍的下方追踪偏差是由投资组合的
规模和目标及其接近于零风险时的难度和成本决定的。
理想状态下， 指数化投资者会在把目标瞄向零向下追踪
偏差，期望获得最大收益率。 则均值-CVaR 金融市场指
数追踪优化模型为：
min-∑ni=1E[ri]xi
. α+ 1T（1-β）∑
T
t=1zt≤w t=1，……，T
zt≥Rt-rt-α，zt≥0 t=1，……，T
αk∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n
0≤∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v
0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv （1）
其中，w表示风险承受水平，通过对投资组合的置信
水平 β 和风险承受水平 ω取不同的值求解上面模型，可
得到指数追踪的最优投资组合中资产持有量 X*。 均值-
CVaR 金融市场指数追踪优化模型（1）反映了结构风险
最小化的思想，在最小化经验风险的同时，最大化预测能
力，最终获得两者间的平衡。 因此，它不仅能够较好地追
踪历史数据，而且能够较好地预测未来，即减小样本外追
踪组合与目标指数收益间的线性回归误差。
四、实证分析
本文根据深圳成份指数和成份股的历史成交数据并
同时考虑个股集中度、资金规模、交易成本等约束条件来
构建追踪组合，然后进行资产配置和组合模拟。
（一）样本选取及参数设定
测试数据集采集深圳成份指数与深发展 A、 招商地
产、深圳能源、云南白药、五粮液、宏源证券、中兴通讯、美
的电器、中金岭南、冀中能源 10个成份股从 2005年 5 月
到 2009年 12月周收盘历史数据， 指数和成份股的收盘
价均为 229个数据。 将前 179个数据作为本文提出的指
数追踪模型的训练集，也称为样本内，其余 50 个数据作
为测试集，也称样本外，对本文提出的均值-CVaR 金融
市场指数追踪优化模型进行实证检验， 以表明该模型的
优越性。 模型中的一些参数设定如下：（1）优化前总的投
资资产规模为 v=2000000；（2） 分散化约束系数：ai，bi=，
i=1，……，n；（3）标的股票的交易成本系数：c=；（4）
仓位调整产生的交易成本比例系数：q=；（5）置信水
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平 β=95%和 β=99%。
（二）实证结果
对于不同的 β（置信水平）和 w（风险承受水平），运
用序贯二次规划法（SQP）与 求解模型（1），所
得样本内与样本外投资组合与指数的周平均追踪偏差
见表 1：
从表 1 可以看出， 本文建立基于 CVaR 约束的金融
市场指数追踪模型在样本内外表现出很好的一致性，反
映了该模型良好的鲁棒性。 为更直观衡量不同置信水平
和风险承受水平下模型的跟踪效果，笔者分别绘制了在
β=95%和 β=99%置信水平下样本内的指数追踪图（图 1、
图 3）和样本外的指数追踪图（图 2、图 4），为考察不同风
险承受水平对追踪效果的影响，笔者在每幅图中都绘制
了 w分别为 和 情形下所对应的追踪曲线。
图 1、3 给出的是在置信水平分别为 β=95%和 β=
99%，风险承受水平 w= 和 w= 下，利用 -
月周收益率数据所确定的最优投资组合在 2008
年 1月到 2008年 12月的追踪效果。总的来看，各风险承
受水平所对应追踪曲线较好地反映了深圳成份指数的走
势， 这说明模型具有很好的实用价值。 具体到不同的风
险承受水平对应的追踪曲线， 所得期望收益率存在明显
差异。 尽管除 2008年 5月的最后一周和 10 月的最后一
周外图中所绘制的 2条追踪曲线在各个周的收益率均高
于指数收益率，但随着风险承受水平逐步减小，收益率呈
单调下降趋势， 特别是 5月份以后， 该趋势表现尤为明
显。
图 2、4 描绘的是在置信水平分别为 β=95%和 β=
99%，风险承受水平为 w= 和 w= 下，基于过去三
年半内的周收益数据在 2009年逐周滚动追踪效果，即利
用过去 178 周股票的周收益率数据来确定最优投资组
合，然后考察在未来一周的追踪效果。 由图 2、4可知，各
风险承受水平下的追踪曲线与指数的走势吻合， 这说明
模型具有相当好的稳健性， 其在样本外仍可较好地追踪
指数走势。
（下转第 82页）
0
收益率
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★ 深圳成份指数对数收益率
● w= 时投资组合对数收益率
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深圳成份指数对数收益率
图 1 周收益率追踪效果（，β=95%，w=）
图 2 最优投资组合周滚动追踪效果 178 周逐周滚动
（β=95%，w=）
表 1 在不同的置信水平和风险承受水平下基于
约束追踪指数优化模型表现
置信水平β
风险承受
水平 w
样本内追
踪偏差
样本外追
踪偏差
VaR
最大期望
收益率
95%
99%
图 3 周收益率追踪效果（，β=99%，w=）
图 4 最优投资组合周滚动追踪效果 178 周逐周滚动
（β=99%，w=）
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w= 时投资组合对数收益率
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▲ w= 时投资组合对数收益率
★ 深圳成份指数对数收益率
● w= 时投资组合对数收益率
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▲ w= 时投资组合对数收益率
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（上接第 38页）
五、结 论
与现有关于指数追踪策略研究的文献不同，本文从
描述投资者的风险偏好和股票市场数据的实际特征出
发，构建了一种新型金融市场指数追踪优化模型，采用
追踪偏差作为风险的度量来刻画投资者对追踪风险的
认识与偏好，同时解决了由于随机收益分布模糊性对优
化问题求解造成的困难。 实证表明，该模型计算产生的
追踪曲线均能较好地吻合实际指数曲线。 无论是样本内
还是样本外，投资者风险承受水平和置信水平对追踪效
果有显著的影响。 风险承受水平越大，追踪偏差越小；置
信水平越高，追踪偏差越大。 特别是,该模型具有两个明
显的优点,一是能够提高样本外的追踪效果,二是能够提
高追踪组合在样本内外表现的一致性, 即模型具有良好
的鲁棒性。 实证研究显示本文给出的指数追踪优化模型
新技术具有较高的理论意义和实用价值。 ■
（特约编辑：罗洋）
参考文献：
[1]Haugen R A,Baker N Stock Portfolios [J].
Jounal of Portfolio Management,1990,16(4):17-22.
[2]Worzel K J,Zeniou C V,Zenions S A. Integrated Simu-
lation and Optimization Models for Tracking Indices of Fixed-
income Securities [J].Operations Research,1994，42（2）:223-23
33.
[3]Konno H, Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Port-
folio Optimization Model and its Application to Tokyo Stock
Market[J].Management Science, 1991,37(5):519-531.
[4]陈春锋,陈伟忠.指数优化复制的方法、模型与实证
[J].数量经济技术经济研究，2004，（11）：30-36.
[5]徐凌.现货组合跟踪指数过程的行业筛选应用研究
[J].经济问题，2009（2）：108-117.
[6]. Rockafellar , S. Uryasev. Optimization of Condi-
tional Value-at-Risk[J]. Journal of Risk,2000(2): 21-41.
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见
为推进海域使用权抵押贷款工作、规范发展海域使
用权抵押贷款，建议由省级人民银行、金融办、渔业管理、
银监局等部门联合出台《推进海南省海域使用权抵押贷
款的实施意见》， 具体规定海域使用权抵押贷款的实施
范围、申请条件、操作流程、抵押登记、价值评估、保障措
施等方面的内容。
（三）积极搭建海域使用权市场交易平台，协调推动
海域使用权流转
牵头海洋管理部门逐步建立海域使用权交易市场，
可考虑在海口市和三亚市建立海域使用权交易中心；培
育海域使用权评估、交易中介机构，建立健全交易信息
公开制度，促进海域资产合理流转、海洋资源优化配置。
推动海洋管理部门出台《海南省海域使用权流转管理办
法》，推动并规范海域使用权转让、出租、抵押等行为，确
保依法依规有序。
（四）引导和支持金融机构拓展海域使用权抵押贷款
业务
在《海南省海域使用权抵押登记管理办法》、《推进海
南省海域使用权抵押贷款的实施意见》等制度出台后，各
相关部门要各司其职，积极支持，形成工作合力。 要加强
对商业银行的窗口指导和管理服务， 推动商业银行建立
和完善海域使用权抵押贷款管理， 积极引导和支持金融
机构拓展海域使用权抵押业务，加大对海洋经济带发展
的金融支持力度。 ■
（责任编辑：陈薇）
参考文献：
[1]兰岚，朱楠，张华明,袁丁.论海域使用权抵押的成立
和实现[J].海洋开发与管理，2007（1）.
[2]张慧铃，张文强.海域使用权抵押贷款问题探讨[J].福
建金融，2007（5）.
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工作实践 HAINAN FINANCE
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