第１８卷第１期 计算机集成制造系统 Ｖｏｌ．１８Ｎｏ．１
２ ０ １ ２年１月 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊａｎ．２ ０ １ ２
文章编号：１００６－５９１１（２０１２）０１－０１６３－０６
收稿日期：２０１０－１２－２８；修订日期：２０１１－０５－３０。Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ２８Ｄｅｃ．２０１０；ａｃｃｅｐｔｅｄ ３０Ｍａｙ ２０１１．
基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０９７１１２４）。Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｐｒｏｊｅｃｔ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，Ｃｈｉｎａ
（Ｎｏ．７０９７１１２４）．
联合定价的提前订货折扣策略
梅晚霞１，于本海２，马士华３
（１．苏州大学 政治与公共管理学院，江苏 苏州 ２１５１００；２．山东工商学院 工程学院，山东 烟台 ２６４００５；
３．华中科技大学 管理学院，湖北 武汉 ４３００７４）
摘 要：为解决订货过程中的相关决策问题，提出以价格作为决策变量的提前订货折扣策略，构建了以价格、
折扣率和订货量作为决策变量的联合定价和库存决策的数学模型。通过对模型进行分析，得到关于模型最优解的
属性、模型最优解的存在唯一性及其表达式。数值实验结果显示了利润函数对各参数的敏感度，特别是对价格的
敏感度相对较高，说明将价格作为决策变量是合理的，同时也在一定程度上验证了前人关于折扣率可行范围的相
关研究结果。最后由数值分析的结果，找到一种简单易行的估算决策变量最优值的方法，进一步验证了该估算方
法的准确度。
关键词：提前订货折扣；需求预测；定价；多变量决策；供应链
中图分类号：Ｆ２７０ 文献标志码：Ａ
Ａｄｖａｎｃｅ ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｐｏｌｉｃｙ ｗｉｔｈ ｊｏｉｎｔ ｐｒｉｃｉｎｇ
ＭＥＩ Ｗａｎ－ｘｉａ１，ＹＵ Ｂｅｎ－ｈａｉ２，ＭＡ Ｓｈｉ－ｈｕａ３
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｏｌｉｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｕｂｌｉｃ Ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ，Ｓｏｏｃｈｏｗ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ ２１５１００，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙａｎｔａｉ ２６４００５，Ｃｈｉｎａ；
３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓ，ａｎ ａｄｖａｎｃｅ ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｃｏｕｎｔ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｉｃｅ ａｓ
ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｊｏｉｎｔ ｐｒｉｃｉｎｇ ａｎｄ ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｐｒｉｃｅ，ｄｉｓ－
ｃｏｕｎｔ ｒａｔｅ ａｎｄ ｏｒｄｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ａｓ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｗａｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ａｎｄ
ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍａｌ ｍｏｄｅｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｒｅｖｅａｌｅｄ
ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｐｒｏｆｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｖａｒｉｏｕｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｉｃｅ ｗａｓ ｍｕｃｈ ｈｉｇｈｅｒ．Ｉｔ ｉｍｐｌｉｅｄ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ
ｏｆ ｔａｋｉｎｇ ｐｒｉｃｅ ａｓ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ａ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔ ｆｏｒ ｐｒｉｃｅ ｄｉｓｃｏｕｎｔｓ ｗｈｉｃｈ
ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｂｙ ｏｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ ｗａｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．Ａ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｐ－
ｔｉｍａｌ ｖａｌｕｅｓ ｗａｓ ｆｏｕｎｄ，ａｎｄ ｉｔｓ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗａｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｖｅｒｉｆｉｅｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｄｖａｎｃｅ ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｃｏｕｎｔ；ｄｅｍａｎｄ ｆｏｒｅｃａｓｔ；ｐｒｉｃｉｎｇ；ｍｕｌｔｉ－ｖａｒｉａｂｌｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇ；ｓｕｐｐｌｙ ｃｈａｉｎｓ
０ 引言
在全球激烈竞争的市场环境下，产品的更新越
来越快，企业对产品的需求预测越来越困难，而需求
的预测对企业乃至整个供应链的库存水平都具有重
要影响。若预测的订货量超过实际需求，公司将不
得不对产品进行降价销售［１］。Ｆｉｓｈｅｒ（１９９６）等提出
了精确反应策略，通过多次订货使零售商对需求预
测的准确性得到加强。同时Ｆｉｓｈｅｒ又提出一种根
据早期销售信息更准确地预测产品销售的方法［２］。
在此基础上，人们提出了提前订货折扣策略（Ａｄ－
ｖａｎｃｅ Ｂｏｏｋｉｎｇ Ｄｉｓｃｏｕｎｔ，ＡＢＤ），即在销售期之前增
加一个提前订货阶段，对提前订货的顾客提供一定
的价格折扣，通过提前订货的数量来对销售期内原
计算机集成制造系统 第１８卷
有预测的需求进行更新［１］。例如，香港 Ｍａｘｉｍ面包
店以其品质和信誉一统烘烤食品的天下，对中秋月
饼的销售采用ＡＢＤ策略已长达６０余年。月饼是中
国中秋节的传统食品，Ｍａｘｉｍ在中秋节的前一个月
内，给提前订货的顾客提供２５％的折扣，顾客下订
单的同时支付货款，在中秋节的前一周内就可保证
对其供货。还有其他的很多产品，如音乐ＣＤ、流行
电影、潮流服装等不少企业均采用了这种供货策略。
采用ＡＢＤ策略不但拉长了销售期，而且由于提前
下单，也为更准确地预测销售期内的需求提供了更
好的需求信息，同时由于折扣价格下资金的提前支
付，还降低了企业的财务风险等［１］。因此，ＡＢＤ这
种策略的应用前景是相当广阔的。
国内外关于ＡＢＤ策略已有一些相关研究：Ｔａｎｇ
提出了ＡＢＤ的概念，并对已经实施ＡＢＤ和没有实施
ＡＢＤ策略下的收益进行了比较，得出了实施ＡＢＤ策
略能给企业带来好处［１］的结论。ＭｃＣａｒｄｌｅ（２００４）则
从两个竞争的零售商的角度分析了ＡＢＤ策略，分别
考虑两个零售商都采用ＡＢＤ、都不采用ＡＢＤ和其中
之一采用ＡＢＤ策略的情形，得出了在这些情形下两
者的最优收益、最优折扣率以及他们收益之间的关
系［３］。Ｃａｃｈｏｎ（２００４）的研究表明，提前订购策略可以
提高整个供应链的性能，进一步可以用来协调整个供
应链［４］。ＣＶＳＡ等（２００２）探讨了在两级供应链中，假
设每个购买商只有一次订购机会的情况下，单供应商
面对两个购买商时，提前订购策略对供应链性能以及
供应链竞争结构的影响［５］。蔡建湖等（２００７）指出，相
对于传统的即时订购策略，人们通过以较低的批发价
提供一个提前订购的机会，给予购买商两次订货机
会，供应商和购买商的利益可以实现Ｐａｒｅｔｏ改进［６］；
浦徐进等（２００５）研究认为制造商和零售商在市场需
求存在波动时，提前订货会给零售商带来一定的风
险，但提前订货的零售商具有率先进入市场的优
势［７］；陈旭（２００３）研究了顾客需求信息更新的易逝品
的零售商订货策略，认为制造商通过为零售商提供两
次订货机会，可以实现制造商和零售商的共赢［８］。
本文在以上研究的基础上对ＡＢＤ策略进行了更
深入的研究。与以前关于ＡＢＤ策略研究不同的是，
本文将通常视为常量的价格也作为决策变量，考虑顾
客需求为价格敏感型的情形，构建了以价格、折扣率
和订货量为决策变量的联合定价和库存决策的数学
模型。文中通过数值试验，得到了利润函数关于各参
数的敏感度，特别是对价格较高的敏感度，说明将价
格作为决策变量是很有意义的研究工作。同时还得
到了最优折扣率的平均值为０．６８，方差为０．０１，这一
结果在一定程度上验证了 Ｄｅｌｌａ Ｂｉｔｔａ ＆ Ｍｏｎｒｏｅ
（１９８０）［９］和Ｇｕｐｔａ ＆Ｃｏｏｐｅｒ（１９９２）［１０］关于折扣率的
可行范围的结论。最后找到了一种用来简易估算最
优价格和折扣率的方法，并验证了该方法的准确度，
从而为实施ＡＢＤ工作提供了很好的理论指导。
１ 问题的描述与相应模型的建立
考虑一个供应商在一个较短销售期内供应一种
产品。在销售期内，下游顾客的需求服从一定的随
机分布，而且假定顾客需求对价格是敏感的，即顾客
对产品的成本结构不太了解或者较多地考虑他们的
购买能力等。供应商为了满足下游顾客的需求，在
该销售期来临之前有一次订货机会。假设订货提前
期为０，产品的单位订货成本为ｃ，若产品未销售完，
则其单位残值为ｓ，而且要求ｃ＞ｓ。供应商在销售
期来临时，需要合理地确定该产品的订货量和价格。
假设供应商准备采用提前订货折扣策略来降低
其订货风险。在提前订货期开始的阶段，供应商给下
游客户提供了一个相对较低的折扣价。在提前订货
期内，顾客只对产品进行订购，产品获得还是在销售
期内，即供应商在提前订货期内没有任何产品的库
存。因为提前订货期内的需求订单中已明确，而实际
供货只是在第二阶段，所以实际上需要作决策的只是
第二阶段销售期内的需求量。现假设（ｉ＝１，２）：
ｐ（ｐ＞ｃ）为产品在销售期内的正常售价；
ｘｐ（０＜ｘ＜１）为提前订货期内的折扣价；
Ｑ为供应商满足第二阶段内需求的订货量；
Ｄｉ为两阶段内需求的各自分布，是一个随机
变量；
μｉ为两阶段内需求分布的均值；
σｉ为两阶段内需求分布的标准差；
ｆ（ｙ，ｚ）为两期内需求分布的联合密度函数；
ｆＤ１（ｙ）为提前订货阶段需求分布的边际密度
函数；
ｆＤ２（ｚ）为销售阶段需求分布的边际密度函数；
ρ为两阶段内需求的相关系数，－１≤ρ≤１；
（·）表示标准正态分布的密度函数；
Φ（·）表示标准正态分布的分布函数；
Φ－１（·）表示Φ（·）的逆函数。
现假设两阶段内的需求Ｄｉ 服从双正态分布。
采用提前订货折扣策略之后，由于受价格及折扣的
影响，两阶段的需求分布Ｄ１ 变为ｒ１（ｐ，ｘ）Ｄ１，Ｄ２ 变
为ｒ２（ｐ）Ｄ２（其中ｒ１（ｐ，ｘ）和ｒ２（ｐ）为相应参数的非
负减函数）。假设此时
ｒ１（ｐ，ｘ）＝ （１－ｘ）（α－τｐ），ｒ２（ｐ）＝α－τｐ。
由ｒ１（ｐ，ｘ），ｒ２（ｐ）的非负性，得到价格的可行
４６１
第１期 梅晚霞 等：联合定价的提前订货折扣策略
域为０≤ｐ≤ατ
。同时又由前文ｐ＞ｃ，得到ｐｍｉｎ≥ｃ。
综合上述符号意义及模型描述，可以得到供应
商所面临的决策问题在于寻找下述问题的最优解：
ｍａｘ
Ｑ，ｐ，ｘ
Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）＝ｍａｘ
Ｑ，ｐ，ｘ
ＥＤ１｛（ｘｐ－ｃ）
ｒ１（ｐ，ｘ）Ｄ１－ｃＱ＋ＥＤ２｜Ｄ１
［ｐｍｉｎ（Ｑ，ｒ２（ｐ）Ｄ２）＋ｓ（Ｑ－ｒ２（ｐ）Ｄ２）＋］｝。（１）
２ 模型分析
为便于分析，先对模型进行简化：
ｍａｘ
Ｑ，ｐ，ｘ
Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）＝ｍａｘ
Ｑ，ｐ，ｘ
ＥＤ１｛（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）·
Ｄ１－ｃＱ＋ＥＤ２｜Ｄ１［ｐＱ＋（ｓ－ｐ）（Ｑ－ｒ２（ｐ）Ｄ２）
＋］｝
＝ｍａｘ
Ｑ，ｐ，ｘ
｛μ１（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）－ＥＤ１｛（ｐ－ｃ）Ｑ＋
（ｓ－ｐ）ＥＤ２｜Ｄ１［（Ｑ－ｒ２（ｐ）Ｄ２）
＋］｝。 （２）
观察式（２），该模型中包含Ｑ，ｐ和ｘ三个变量，
为找到模型的最优解，需要先对模型决策变量的属
性进行挖掘，然后再设法找到模型的最优解。
２．１ 决策变量的属性分析
对利润函数Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）作如下化简：
Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）＝μ１（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）＋（ｐ－ｃ）·
Ｑ＋（ｓ－ｐ）∫
＋∞
－∞
ｆＤ１（ｙ）∫
Ｑ／ｒ２（ｐ）
－∞
［Ｑ－ｒ２（ｐ）ｚ］ｆ（ｚ｜ｙ）
ｄｚｄｙ＝μ１（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）＋（ｐ－ｃ）Ｑ＋
（ｓ－ｐ）∫
Ｑ／ｒ２（ｐ）
－∞
∫
＋∞
－∞
［Ｑ－ｒ２（ｐ）ｚ］ｆ（ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＝
μ１（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）＋（ｐ－ｃ）Ｑ＋（ｓ－ｐ）
∫
Ｑ／ｒ２（ｐ）
－∞
［Ｑ－ｒ２（ｐ）ｚ］ｆＤ２（ｚ）ｄｚ。 （３）
令Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
ｘ ＝０
，得到
μ１ｐｒ１（ｐ，ｘ）＋μ１（ｘｐ－ｃ）
ｒ１（ｐ，ｘ）
ｘ ＝
０
ｐ（１－ｘ）（α－τｐ）－（ｘｐ－ｃ）（α－τｐ）＝０
ｘ＝ １２＋
ｃ
２ｐ
。 （４）
结论１ 最优折扣率ｘ＊满足ｘ＊（ｐ）＝１２＋
ｃ
２ｐ
，
它是价格ｐ的减函数，与需求分布无关。
由最优折扣率的表达式可以得到，最优折扣价
ｘ＊满足ｘ＊（ｐ）ｐ＝ｐ＋ｃ２
，即最优折扣价是单位销售
价格和单位采购成本的增函数。对于提前定购阶段
的边际利润，有ｘ＊（ｐ）ｐ－ｃ＝ｐ－ｃ２
，即该阶段的边
际利润是产品销售阶段边际利润的一半。
２．２ 决策变量的优化求解
对Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）求二阶导，得到
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
ｘ２ ＝－
２μ１ｐ（α－τｐ）。 （５）
考察式（５），同时结合价格的可行域：０≤ｐ≤
α
τ
，可知只要α≠τｐ，式（５）恒小于零。因此，当α≠
τｐ时，Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）是ｘ的严格凸函数，则关于ｘ存在
唯一最优解。
现对Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）关于Ｑ求偏导，得到
Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
Ｑ ＝
（ｐ－ｃ）＋（ｓ－ｐ）ＦＤ２
Ｑ
ｒ２（ｐ（ ））。（６）
令Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
Ｑ ＝０
Ｑ＊（ｐ）＝ｒ２（ｐ）μ２＋σ２Φ－
１ ｐ－ｃ
ｐ－（ ）［ ］ｓ 。 （７）
继续对Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）关于Ｑ求二阶导：
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
Ｑ２ ＝
ｓ－ｐ
ｒ２（ｐ）ｆＤ２
Ｑ
ｒ２（ｐ（ ））＜０。 （８）
由上述
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
ｘ２
和
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
Ｑ２
的符号判
断以及
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
Ｑｘ ＝
２Ω（Ｑ，ｐ，ｘ）
ｘＱ ＝
０， （９）
可知对于给定的ｐ，模型的唯一最优解为
（ｘ＊（ｐ），Ｑ＊（ｐ））＝ １２＋
ｃ
２ｐ（ ，
ｒ２（ｐ）μ２＋σ２Φ－
１ ｐ－ｃ
ｐ－（ ）［ ］）ｓ 。
结论２ 给定模型中的ｐ值，模型（１）存在唯一
最优解
（ｘ＊（ｐ），Ｑ＊（ｐ））＝ １２＋
ｃ
２ｐ（ ，
ｒ２（ｐ）μ２＋σ２Φ－
１ ｐ－ｃ
ｐ－（ ）［ ］）ｓ 。
由于需求为正态分布，且Ｑ＊ （ｐ）＝ｒ２（ｐ）·
μ２＋σ２Φ
－１ ｐ－ｃ
ｐ－（ ）［ ］ｓ ，当ｐ－ｃｐ－ｓ＜１２时，Ｑ＊（ｐ）有可能
为负，这种情况下令Ｑ＊（ｐ）＝０。此时的利润表达
式Ω（０，ｐ，ｘ（ｐ））＝μ１（ｘｐ－ｃ）ｒ１（ｐ，ｘ）＝μ１·
ｐ
４－
ｃ
２＋
ｃ２
４（ ）ｐ （α－τｐ）。对其进行简单分析可以得
到：当Ｑ＝０时，最优价格满足
ｐ＊ ＜ατ
，ｐ＊ ＝α＋ α
２＋８ατ槡 ｃ
４τ
。
若将ｘ＊（ｐ），Ｑ＊（ｐ）代入利润表达式（２），可以
得到
Ω（Ｑ＊（ｐ），ｐ，ｘ＊（ｐ））＝μ１
１
２＋
ｃ
２（ ）ｐｐ－［ ］ｃ
５６１
计算机集成制造系统 第１８卷
１－１２－
ｃ
２（ ）ｐ （α－τｐ）＋（α－τｐ）（ｐ－ｓ）
∫
μ２＋σ２Φ
－１ ｐ－ｃ
ｐ－（ ）ｓ
－∞
ｚｆＤ２（ｚ）ｄｚ＝μ１
ｐ
４－
ｃ
２－
ｃ２
４（ ）ｐ ·
（α－τｐ）＋（α－τｐ）（ｐ－ｓ）∫
Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）ｓ
－∞
１
２槡π
·
（μ２＋σ２ｚ）ｅ－
ｚ２
２ｄｚ＝μ１
ｐ
４－
ｃ
２－
ｃ２
４（ ）ｐ ·
（α－τｐ）＋μ２（ｐ－ｃ）（α－τｐ）＋
σ２（ｐ－ｓ）（α－τｐ）Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）（ ）ｓ 。 （１０）
为考 察 式 （１０）的 复 杂 性，令 Ψ （ｐ）＝
Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）（ ）ｓ 。对Ψ（ｐ）关于ｐ求导：
Ψ（ｐ）
ｐ ＝Ψ
（ｐ）（－１）Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）ｓ ２槡π
ｅ－
（ｐ－ｃ
ｐ－ｓ
）２
２
ｓ－ｃ
（ｐ－ｓ）２
＝ ２槡πΨ（ｐ）Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）ｓ （ｃ－ｓ）（ｐ－ｓ）２ｅ
（ｐ－ｃ
ｐ－ｓ
）２
２ 。（１１）
观察 式 （１０）和 式 （１１）可 以 看 出，由 于
Φ－１ ｐ－ｃｐ－（ ）（ ）ｓ 的存在，使得直接求出模型（１）的精
确最优解变成一项比较复杂的工作。因此，为了找
到模型（１）的最优解，后文将在数值分析部分采用一
种近似的方法来求解。给出上述Ω（Ｑ（ｐ），ｐ，ｘ（ｐ））
关于最优价格ｐ＊的表达式之后，可以找到问题的最
优决策Ω（Ｑ＊（ｐ），ｐ＊，ｘ＊（ｐ））。
３ 数值分析
３．１ 参数敏感性分析
模型中共有７个参数，假设μ１＝５０，每个参数
值设定３个不同的水平，则共需要考虑３６＝７２９种
情形（如表１）。
表１ 参数及决策变量的取值水平
参数
设置
水平
系统参数 决策变量的取值
ｃ ｓ α τ μ１ μ２ σ２ ｐ ｘ Ｑ
１ １０ １０％ｃ ０．６ ０．００５ ５０ ５０ １０％μ２ ９５％ｐ＊９５％ｘ＊９５％Ｑ＊
２ ３０ ５０％ｃ １．２ ０．００８ ５０ １００ ２０％μ２ ９７％ｐ＊９７％ｘ＊９７％Ｑ＊
３ ５０ ９０％ｃ １．６ ０．０１０ ５０ ２００ ３０％μ２ ９９％ｐ＊９９％ｘ＊９９％Ｑ＊
这里将所有的数值试验分为５组：
第１组数值试验主要考察不同参数情况下的最
优解ｐ＊和ｘ＊的变化；第２组数值试验用来考察利
润函数对决策变量ｐ，ｘ，Ｑ的敏感度；第３组数值试
验类似于第２组，不同的是这里的订货量Ｑ是由ｐ
决定的，通过这些数据来观察，如果产品供应商能和
顾客一起分享两个阶段所获得的利润，将会有什么
样的结果；第４组数值试验用来观察利润函数对折
扣率的敏感度，主要考察若已经采取了折扣策略，是
否还可以采取进一步的价格折扣；第５组数值试验
用来观察利润函数对价格的敏感度。
在第１组数据中，最优价格ｐ＊与所有参数值都
有关系。前文已经要求价格不低于成本，因此这里不
是直接对最优价格ｐ＊的变化进行统计数据分析，而
是用（ｐ＊－ｃ）／ｃ来代替ｐ＊，（ｐ＊－ｃ）／ｃ可以解释为单
位成本的边际利润率，而它也可以看作ｐ＊的一个线
性函数。通过数据显示，ｃ，α，τ对最优价格ｐ＊的影响
相对显著（当精度设为０．０５时），而ｓ，μ２，σ２ 则影响不
明显，这一结果为后文对最优价格的估算提供了一定
的数据参考。因此，在近似估算时只需重点考虑ｃ，α，
τ对最优价格ｐ＊的影响。同时，数据显示其他几个参
数对ｘ＊的影响还是比较明显的。
表２中对角线以上的数据表示最优折扣率在参
数不同水平下的均值，对角线以下则表示单位成本
的边际利润在参数不同水平下的均值。从表中可以
看出，当τ值比较大时（或者α比较小时），最优价格
将更接近产品成本ｃ；而当ｃ增加时，最优价格和产
品成本ｃ的差额将减小。表中所有的最优折扣率的
平均值为０．６８，这一结果进一步验证了文献［９－１０］
的调查结论。
第２组和第３组数据显示了３个决策变量Ｑ＊，
ｘ＊，ｐ＊对系统的利润的影响都很明显，因此在对这
些变量进行决策时需要格外谨慎。当价格为９９％
ｐ＊时，期望利润与最优利润的差别较小（如表３）。
因此，产品供应商折扣的增多对其更具有吸引力，这
也更促使人们继续进行第３组数值试验。
期望利润对折扣率的敏感度在表４的左侧很好
地展示出来。这些数据结果更加鼓励供应商，在各
种情况下努力采取所谓的让利策略，即折扣后再折
扣。因为从表中的数据可以看出，折扣越多，所获得
的利润反而更大，当然这里的折后再折率在９１％～
９９％范围之内。
第５组数据让人们对利润函数关于价格的敏感
度有了更深刻的认识。表４中左右两侧数据比较后
可以看出，利润函数对价格的敏感度要大于对折扣
率的敏感度。因此在诸因素中，商家对价格的决策
相当重要。
从表１～表４的数据结果可以看出，所有参数
中价格的决策对于商家来说是最关键的。而从表４
的结果可以看出，当最优价格的精确度提高时，商
家所取得的利润就更接近利润的最大值。如当ｐ
６６１
第１期 梅晚霞 等：联合定价的提前订货折扣策略
表２ 用来考察价格和折扣率最优值关于各参数敏感度的第１组数值
第１组
数据
价格参数ｐ＊－ｃ／ｃ×１００％ 折扣率ｘ＊
均值 方差 最大值 最小值 均值 方差 最大值 最小值
数值 ３３１．０２ １１４ ６６６．２０ １ ４７９．３０ ９．５４ ０．６８ ０．０１ ０．９６ ０．５３
ｐ＊－ｃ／ｃ
ｘ＊
ｃ α τ
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
ｃ
１ ０．５８ ０．６９ ０．７８ ０．６１ ０．５７ ０．５５ ０．５５ ０．５８ ０．６０
２ － － － ０．７７ ０．６８ ０．６３ ０．６４ ０．７０ ０．７４
３ ６９２ ２００ １００ ０．８８ ０．７７ ０．７０ ０．７１ ０．７９ ０．８４
α
１ ３８４ ９６ ３７ ０．７５ ０．６７ ０．６２ ０．６９ ０．７６ ０．８１
２ ６６９ １９２ ９６ － － － ０．６３ ０．６８ ０．７１
３ １ ０２４ ３１２ １６８ １７２ ３１９ ５０２ ０．５９ ０．６３ ０．６６
τ
１ ９９５ ３０２ １６２ ２６３ ４６９ ７２７ ０．６３ ０．６９ ０．７３
２ ６０６ １７１ ８３ １４６ ２７６ ４３７ － － －
３ ４７６ １２７ ５６ １０７ ２１１ ３４１ ４８７ ２８７ ２２０
表３ 期望利润关于最优值的敏感度（（Ω＊－Ω）／Ω＊×１００％）
第２组数据 样本数 均值 方差 最大值 第３组数据 样本数 均值 方差 最大值
９５％Ｑ＊ ６ ５６１ ２．６４ ４０．８６ ６３．８５
９９％Ｑ＊ ６ ５６１ ２．７１ ４１．０２ ６３．８５
１０５％Ｑ＊ ６ ５６１ １．４５ ２５．０４ ６３．８７
９５％ｘ＊ ６ ５６１ ２．２６ ４０．５０ ６３．８７ ９５％ｘ＊ ２ １８７ １．４６ ２４．０９ ６３．８７
９７％ｘ＊ ６ ５６１ ２．０６ ３５．２１ ５７．０６ ９７％ｘ＊ ２ １８７ １．２７ １９．８１ ５６．６５
９９％ｘ＊ ６ ５６１ １．９５ ３１．８７ ５３．０２ ９９％ｘ＊ ２ １８７ １．１６ １７．２１ ５１．８８
９５％ｐ＊ ６ ５６１ ３．９７ ８０．０６ ６３．８７ ９５％ｐ＊ ２ １８７ ２．４７ ４６．７４ ６３．８７
９７％ｐ＊ ６ ５６１ １．８３ ２０．１８ ３３．９２ ９７％ｐ＊ ２ １８７ １．１０ １１．０５ ３２．９７
９９％ｐ＊ ６ ５６１ ０．４６ １．１３ １０．２１ ９９％ｐ＊ ２ １８７ ０．３２ １．００ １０．２１
表４ 期望利润关于最优折扣率和最优价格的敏感度（Ω＊－Ω）／Ω＊×１００％
第４组数据 样本数 均值 方差 最大值 第５组数据 样本数 均值 方差 最大值
９１％ｘ＊ ７０２ ２．６４ ４０．８６ ６３．８５ ９１％ｐ＊ ７２６ ６．２２ ２５０．８７ ９７．４７
９２％ｘ＊ ７０２ ２．７１ ４１．０２ ６３．８５ ９２％ｐ＊ ７２６ ５．３６ １９７．４０ ９３．３７
９３％ｘ＊ ７０２ １．４５ ２５．０４ ６３．８７ ９３％ｐ＊ ７２６ ４．１７ １２３．８６ ７８．４７
９４％ｘ＊ ７０２ ２．２６ ４０．５０ ６３．８７ ９４％ｐ＊ ７２６ ３．１１ ７１．６９ ６３．７３
９５％ｘ＊ ７０２ ２．０６ ３５．２１ ５７．０６ ９５％ｐ＊ ７２６ ２．１８ ３６．９２ ４９．１３
９６％ｘ＊ ７０２ １．９５ ３１．８７ ５３．０２ ９６％ｐ＊ ７２６ １．４３ １７．００ ３７．５６
９７％ｘ＊ ７０２ ３．９７ ８０．０６ ６３．８７ ９７％ｐ＊ ７２６ ０．９１ ７．９９ ２４．９５
９８％ｘ＊ ７０２ １．８３ ２０．１８ ３３．９２ ９８％ｐ＊ ７２６ ０．５０ ２．７１ １６．４５
９９％ｘ＊ ７０２ ０．４６ １．１３ １０．２１ ９９％ｐ＊ ７２６ ０．２０ ０．５０ ６．２３
＝９９％ｐ＊时，所获得的利润接近最大利润，这也激
励人们采用合理的方法对最优价格进行近似估算。
３．２ 决策变量的近似估算
前文提到，ｓ，μ２，σ２ 三个因子对最优价格没有明
显的影响。因此这里提出一个对最优价格进行近似
估算的方法。若用珟ｐ表示最优价格的近似值，则从
需求方程（１０）中，可以得到
Ω（Ｑ（ｐ），ｐ，ｘ（ｐ））
ｐ ＝
０ １
μ２
·
Ω（Ｑ（ｐ），ｐ，ｘ（ｐ））
ｐ ＝
０ ｌｉｍ
μ２→＋∞
１
μ２
·
Ω（Ｑ（ｐ），ｐ，ｘ（ｐ））
ｐ ＝
０
（α－τｐ）－τ（ｐ－ｃ）＝０，
从而可以得到近似最优价格
珟ｐ＝ １２
α
τ ＋（ ）ｃ 。 （１２）
按照上述表达式进行最优价格的近似估算，得
到表５数值检验结果。
表５的数据表示近似最优价格与真实值之间的
差额。可以看出，这些差值都比较小。这就表示，可
以通过在一定范围内对近似价格进行微调，使其找到
最优价格真实值。这里微调的范围在［珘ｐ－５％珘ｐ，珘ｐ＋
７６１
计算机集成制造系统 第１８卷
５％珘ｐ］，幅度为［－０．１％珘ｐ，０．１％珘ｐ］，即通过不超过
１０１次的微调就可以找到最优的价格。为了证实该
近似估算方法是否可行，这里进行了随机试验，每组
取５００个数据。表５的数值显示，在没有对近似值进
行微调时，（Ω＊－Ω
－
）／Ω＊×１００％最大也只有０．０５％。
微调之后，（Ω＊－Ω
－
）／Ω＊×１００％的值基本为０了，因
此采用上述的近似估算是可行的。
表５ 近似估算的数值检验
各项相对误差水平 均值 方差 最大值 最小值
按第１组数据
设置参数
（ｐ
～
－ｐ＊）／ｐ＊×１００％ －１．８１ ０．９９ ０．６３ －４．６９
随机情形
（ｐ
～
－ｐ＊）／ｐ＊×１００％ －１．８６ ０．５１ －０．４７－４．２６
（Ω＊－Ω
－
）／Ω＊×１００％ ０．０９ ０．０１ ０．５２ ０．００
微调后情形
（ｐ
～
－ｐ＊）／ｐ＊×１００％ －０．０２ ０．００ ０．０５ －０．４３
（Ω＊－Ω
－
）／Ω＊×１００％ ０．００ ０．００ ０．００ ０．００
结合式（１２），可以得到最优折扣率的估算公式：
ｘ（ｐ
～
）＝ １２＋
ｃ
α／τ＋ｃ
。
从上述关于最优价格和最优折扣率的估算公式
可以看出，它们的数值与需求分布的均值和方差都没
有任何关系。从表达式可见，最优价格和折扣率只与
需求对价格影响函数表达式中的因子α，τ等有关。
从前文可以看出，虽然由于需求分布和影响函数均未
知，实施ＡＢＤ策略看似非常困难，但是若最优价格和
最优折扣率只与影响函数中的几个因子有关，实际上
在实施ＡＢＤ时只需关注这几个关键因子，则决策实
施的难度将大大降低。
４ 结束语
ＡＢＤ是一个已被人们广泛接纳和应用的策略，
通常情况下，ＡＢＤ策略中的价格是一个给定的常
数。本文将价格作为决策变量引入 ＡＢＤ策略，通
过分析所建模型，得到了一些关于模型最优解的属
性以及最优解的具体求解过程，并通过数值方法得
到了决策变量的近似估算。本文所得到的关于折扣
率的一些数据结果，进一步显示了价格作为决策变
量的重要性，也进一步证实了前人有关的调查结论。
文中设计的详尽数值试验，在研究了模型各参数敏
感度的同时，还得到了准确性相当高的近似估算模
型最优解的表达式，为 ＡＢＤ策略的实际实施工作
提供了一种行之有效的途径。
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作者简介：
梅晚霞（１９８０－），女，湖北黄梅人，讲师，博士，研究方向：供应链与物流管理，Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｅｉｗａｎｘｉａ＠１６３．ｃｏｍ；
于本海（１９６８－），男，蒙古族，内蒙古赤峰人，教授，博士后，研究方向：管理信息系统、软件项目管理、人工智能理论与应用等；
马士华（１９５６－），男，天津人，教授，博士生导师，研究方向：供应链与物流管理。
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