培优点7 概率与统计的创新问题
专题五 概率与统计
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性
增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知
数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件
间的关系，建立相应的数学模型求解.
考点一 概率和数列的综合
考点二 概率和函数的综合
专题强化练
内容索引
概率和数列的综合
考点一
某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐
所有的产品就可以赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系
列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩
偶B1，B2中的一个.
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；
事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶.求概率P(E5)及P
(F4)；
例1
若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2
，A3玩偶，则有两种情况：
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两
个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各
多少个.
即购买甲系列盲盒的人数的均值为40，
所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.
本题的关键是通过审题，找到第n次购买与前一次购
买之间的联系，从而找到数列的递推关系.
规律方法
跟踪演练1 (2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和
红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一
轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则该轮记为成功，否则记为失败.
在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个
红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止
抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和均值；
由题知，X的取值可能为1,2,3，
所以X的分布列为
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有1 000名数学爱好者独立地进
行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，
部分统计数据如下：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
所以估计t＝6时，y≈11；
估计t＝7时，y≈4；
估计t≥8时，y<0，
预测成功的总人数为450＋11＋4＝465.
由题知，在前n轮就成功的概率为
又因为在前n轮没有成功的概率为
概率和函数的综合
考点二
(2022·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录.
为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比
赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30
分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获
得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛.
某同学经历多次模拟训练，从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品
各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测
该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
例2
由题可知，所有可能的情况如下，
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的
概率.经对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率
共提高了 ，以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能
否进入决赛？
设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为
＝3p1p2－3(p1p2)2，
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B(5，P)，
构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐
含条件对变量范围的限制.
醒
跟踪演练2 (2022·新余模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人
对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下：一天内参与“双人对战
”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与
“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获
胜得2分，失败均得1分.已知加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概
率为 ；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的
概率分别为p， .一到天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动
(每天两局)，各局比赛互不影响.
(1)求5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；
X可取5,6,7,8,9,10，
分布列为
(2)设这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分
的概率为f(p).求p为何值时，f(p)取得最大值.
设一天得分不低于3分为事件A，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率
专题强化练
1 2
1.(2022·某省市联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以
3∶2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中
国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将度扑出日本队员
的点球，表现神勇.
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球
门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、
中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能性
扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点
球的个数X的分布列和均值；
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则X的分布列为
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(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员
在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人
中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此
不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的
概率为pn，p1＝1，p2＝0.
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第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，
则当n≥2时，第(n－1)次传球之前，球在甲脚下的概率为pn－1，
第(n－1)次传球之前，球不在甲脚下的概率为1－pn－1，
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②设第n次传球之前，球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.
2.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优
惠活动，深受广大消费者喜爱.
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：
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年份 2018 2019 2020 2021 2022
成交额
(百亿元)
9 12 17 21 27
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2018年为x＝1,2019年为x＝2，…依此
类推)的线性回归方程，并预测2023年该平台“双十一”购物节当天的成
交额(百亿元)；
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所以预测2023年该平台“双十一”购物节当天的成交额为百亿元.
(2)在2023年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购
物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸
爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的
爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
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由题意知，X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝(1－p)(1－q)＝1－p－q＋pq，
P(X＝1)＝(1－p)q＋(1－q)p＝p＋q－2pq，
P(X＝2)＝pq，
所以X的分布列为
E(X)＝p＋q－2pq＋2pq＝p＋q.
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因为Y＝kX，所以E(Y)＝kE(X)＝k(p＋q)
设f(t)＝2sin πt－πt，则E(Y)＝f(t)，
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所以E(Y)取最大值时，k的值为3.
