第二章 随机变量及其分布
§ 随机变量的数学期望
1、数学期望的概念(均值、平均数)
例 分赌本问题(推断胜负情况)
2、数学期望的定义
定义设离散随机变量X的分布列为
如果
则称 为X的数学期望。
第二章 随机变量及其分布
定义设连续随机变量X的密度函数为p(x)，如果
则称
为X的数学期望。
例、例、
例、例
第二章 随机变量及其分布
3、数学期望的性质
随机变量X函数的数学期望
例
定理若随机变量X的分布用分布列p(x)或用密度函数p(x)表示，则X的某一函数g(X)的数学期望为
第二章 随机变量及其分布
性质若c是常数，则E(c)=c.
性质对任意常数a,有
E(aX)=aE(X).
性质对任意的两个函数g1(X)和g2(X),有
例
作业
习题
4、8、12
第二章 随机变量及其分布
§ 随机变量的方差与标准差
数学期望E(X)反映随机变量X的平均取值水平，是一种位置特征数；说明X的取值总在E(X)的周围波动，为度量这种波动幅度的大小，引入随机变量X的方差等概念。
1/3
1/3
1/3
P
1/3
1/3
1/3
P
10
0
-10
Y
1
0
-1
X
第二章 随机变量及其分布
1、方差与标准差的定义
定义 若随机变量X2的数学期望E(X2)存在，则称偏差平方(X-EX)2的数学期望E(X-EX)2为随机变量X的方差，记
即
第二章 随机变量及其分布
称方差的算术平方根 为随机变量X的标准差，记为σ(X)，或σX 。
例
例
2、方差的性质
性质 Var(X)=E(X2)-[E(X)]2
性质 Var(c)=0
性质 Var(aX+b)=a2Var(X)
例
第二章 随机变量及其分布
3、 切比雪夫不等式
定理(切比雪夫不等式) 设随机变量X的数学期望和方差都有存在，则对任意常数ε>0，有
或
第二章 随机变量及其分布
定理 若随机变量X的方差存在，则
Var(X)=0的充要条件是：X几乎处处为某个常数a，即P(X=a)=1。
作业
习题
3、6、9
第二章 随机变量及其分布
§ 常用离散分布
1、二项分布
⑴什么是二项分布
如果记X为n重伯努利试验中成功(事件A)的次数，则X的可能取值为0,1,…,n。记p为每次试验A发生的概率，即P(A)=p.有
这个分布称为二项分布,记X~b(n,p) 。
第二章 随机变量及其分布
二项分布是一种常用的离散分布
例、例
⑵二点分布(0-1分布)
考虑b(1,p)即n=1的二项分布，其分布列
p
1-p
P
1
0
X
第二章 随机变量及其分布
若X服从二项分布b(n,p)，它可以分解为n个两点分布X1,X2,…,Xn的和，其中Xi~b(1,p)。即 X=X1+X2+…+Xn
⑶二项分布的数学期望和方差
E(X)= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=np
Var(X)= Var(X1)+Var(X2)+…+Var(Xn)=npq
其中q=1-p.
例
第二章 随机变量及其分布
2、泊松分布
⑴什么是泊松分布
其中λ>0,记X~P(λ).
⑵泊松分布的数学期望和方差
E(X)= λ，Var(X)= λ.
图、例、例
