电磁感应中求电量的策略
1. 用法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律得：
由法拉第电磁感应定律得：
所以
例 1. 放在绝缘水平面上的两条平行导轨 MN 和 PQ 之间的宽度为 L，置于磁感应强度
为 B 的匀强磁场中，B 的方向垂直于导轨平面，导轨左端接有阻值为 R 的电阻，其它部
分电阻不计。导轨右端接一电容为 C 的电容器，长为 2L 的金属棒放在导轨上，与轨导垂
直且接触良好，其 a 端放在导轨 PQ 上。现将金属棒以 a 端为轴，以角速度 沿导轨平面
顺时针旋转 ，如图 1 所示，求这个过程中通过电阻 R 的总电量是多少？（设导轨长
度比 2L 长得多）
图 1
分析：从 ab 棒开始旋转，直到 b 端脱离导轨的过程中，其感应电动势不断增大，对
C 不断充电，同时又与 R 构成回路。通过 R 的电量为：
式中 等于 ab 所扫过的三角形 的面积，如图 2 中虚线所示。
I
E
R r
E n
t
q I t
E
R r
t n
R r t
t n
R r
( )
90
q
R
B S
R
S aDb'
图 2
所以
所以
当 ab 棒运动到 b’时，电容 C 上所带电量为
此时
而
所以
当 ab 脱离导轨后，C 对 R 放电，通过 R 的电量为 q’，所以整个过程中通过 R 的总
电量为：
2. 用动量定理
在金属棒只受到安培力时，由动量定理得 ，其中安培力
所以
例 2. 如图 3 所示，长为 L，电阻 ，质量 的金属棒 CD 垂直跨搁在
位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上。两条导轨间距也是 L，棒与导轨间接触良好，
导轨电阻不计，导轨左端接有 的电阻，量程为 的电流表串接在一条导
轨上，量程为 的电压表接在电阻 R 的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过
导轨平面。现以向右恒定外力 F 使金属棒右移，当金属棒以 的速度在导轨平面
上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，问：
S L L L
1
2
3
3
2
2
q
BL
R
3
2
2
q CU C'
U EC m
E B L
v
BLm 2 2
2 2
q BL C' 2 2
q q q
BL
R
BL C BL
R
C
总
' ( )
3
2
2
3
2
2
2
2 2
F t p
安
F BIL
安
q I t
p
BL
r 0 3. m kg 01.
R 0 5. 0 3 0~ . A
0 10~ . V
v m s 2 /
图 3
（1）此满偏的电表是什么表？说明理由。
（2）拉动金属棒的外力 F 多大？
（3）此时撤去外力 F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上，求从撤去外力到
金属棒停止运动的过程中，通过电阻 R 的电量。
（99 年上海）
分析：（1）若电流表满偏，则
大于电压表量程，所以应是电压表满偏
（2）金属棒匀速滑动时，有
其中
而
得
所以
代入数据得：
（3）由电磁感应定律得：
由闭合电路欧姆定律得：
所以
代入数据得：
3. 用微积分思想
U IR A V 3 0 0 5 15. . .
F F
安
F BIL
安
U
E
R r
R
BLv
R r
R
BL
U R r
Rv
( )
F
U R r
R v
2
2
( )
F N 16.
E BLv
E I R r ( )
q
p
BL
mv
I R r
2
( )
q C 0 25.
例 3. 如图 4 所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 ，OCA 导轨
与 OA 直导轨分别在 O 点和 A 点接一阻值 和 且几何尺寸可忽略的
定值电阻，导轨 OCA 的曲线方程为：
图 4
金属棒 ab 长 ，以速度 水平向右匀速运动（b 点始终在 x 轴上）。设
金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻 和 外，其余电阻均不计，曲
线 OCA 与 x 轴之间所围面积约为 ，求：
（1）金属棒在导轨上从 x＝0 运动到 的过程中通过金属棒 ab 的电量；
（2）金属棒在导轨上从 x＝0 运动到 的过程中，外力必须做多少功？
分析：（1）将 OA 分成 n 份长度为 的小段，每一小段中金属棒的有效长度可认
为是一定的，设为 （ 1，2，3…n）。金属棒向右匀速运动，设每通过 的位移所
用的时间为 ，通过的电量为：
其中 为金属棒每通过 所扫过的有效面积，设为 ，所以
金属棒在导轨上从 运动到 的过程中，通过金属棒 ab 的电量为：
式中 S 即为曲线 OCA 与 x 轴之间所围的面积，代入数据得：
（2）因为
B T 0 40.
R1 3 0 . R2 6 0 .
y
x
m 10
3
. sin ( )
v m s 5 0. /
R1 R2
19 2. m
x m 3
x m 3
x
yi i x
t
q I t
By v
R
x
v
By x
Ri i
i i
总 总
y xi x Si q
BS
Ri
i
总
x 0 x m 3
q q
BS
R
BS
Rii
n
i
i
n
1 1 总 总
q C 0 38. e Byv
x
0 4 5
3
. sin
所以 ab 棒产生的是正弦式交变电流，且 ，由 ，得金属棒在导
轨上从 运动到 的过程中， 、 产生的热量
式中 为 OA 的长度。
由“功是能量转化的量度”有
代入数据得：
在求解电量的习题中，常常有同学利用回路中产生的热量求出电流，继而求得电量，
这种解法在电流的有效值不等于平均值的情况下是错误的。例如就不能利用本题第（2）
问中的电量和 求出电流，再用焦耳定律求产生的热量。
例 2 中的第（3）问也可以运用微积分思想解答，同学们不妨一试。
2
3
2
3
sin sin
x vt
E Vm 2 E
Em
有效
2
x 0 x m 3 R1 R2
Q
E
R
x
v
m 有效
总
2
xm
W QF
W JF 0 6.
q I t
