第26卷第2期经济数学, 200 9年6月MATHEMATICS IN Bα)NOMICS Jun. 2009 有不公开底价英式拍卖的非时齐Markov链模型懈莫晓云1，2(1.湖南师范大学数学与计算机科学学院，湖南长沙41ω81;2.湖南财经高等专科学校，湖南长沙410205)摘要对有不公开底价的英格兰式拍卖，建立了非时齐Markov链数学模型对此模型，求出了拍卖的成交概率、平均成交价、成交时应价次数和成交价的联合概率分布以及边缘分布.关键词拍卖;英格兰式;非时齐Markov链;成交;概率分布中图分类号0211. 9 ;F724. 59 文献标识码:A随着市场经济的不断深化，拍卖己进入人们的日常生活领域.如一个大公司，一大片土地的拍卖，一张邮票，一个汽车牌号的拍卖.拍卖有着极其丰富的内容和特点.有关拍卖的研究[1寸]很多，但从数学角度对拍卖建立模型，运用数学理论和方法来研究拍卖还不多.在文献[6J中已经建立了有底价的英格兰式拍卖的时齐Markov链模型，并对该模型进行了研究.然而，实际情况往往不具有时齐性.如在一场拍卖中，从应价i至下一次应价j的事件，在应价刚开始时和应价后期的概率是不相同的，因而对非时齐情形研究很有必要.本文对有不公开底价的英格兰式拍卖，建立了非时齐Markov链模型，并对建立的模型进行了研究，获得了这种拍卖的一些概率量的计算公式.1.非时齐增Markov链的转移概率设X= 1X ,n = 0，1，2，…|是定义在某个概率空间(ο，:;-，P)上的Markov链，可以是时n 齐的或非时齐的，S是链的状态空间，为有限或可数集合.对h二三O，n二三1，记( 咽'且、、‘.，，，..P~'J) P(Xk+n j I Xi)，i，jεS. k 当P(X= i) > 0时，rjj)有意义.当P(X= i) = 0时，上式右方无意义，从而pjj)不能kk确定.此时，对i，k以及任意的η，可以任取满足(2) α1 J注O，~αij1 的数αij ，jεS，然后令rjj)=町，)εS.(3) 梅收稿日期:2008-12-08 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10871064)作者简介:莫晓云(1972一)，女，湖南岳阳人，湖南财经高等专科学校讲师，硕士.E-mail: moxyun72@
一78一经济数学第26卷称hpff为链于第h步从i经n步转移到j的概率，简称n步转移概率.称矩阵hpM)=|hpjj)，i，jεSI为链于第h步的n步转移矩阵.简记hpjl)和kP(J)为kPij和kP，这样，每个Markov链X都有转移矩阵"p(n) .当P(X= i) = 0时，α，J的选取及补充定义(3)并不会影响我们今后的k推理和计算结果，因为此时链于第h步时从i实际上不可能有任何的转移.根据Kolmogorov-Chapman方程[7]链的多步转移概率可以通过一步转移概率来表述:kP(n) = "p . k+JP . . k+n一JP，(4) rij)=二点21·h+IPZIZ2…··h1Pzn11·(5) l..t l’’ 2’ "n 1 若S是数集，且链XlXn,n 0，1，2，…|满足X< X< X<…，称Markov链Xo1 2 是增的.对增Markov链，其转移概率满足:对h二三O，n注1，有hpjj)=0，j运l，且i，JεS. (6) 定理1设X是增Markov链，n二三2.则当j:;:;;:i+n-1时，有hpjj)=0.证明根据Markov链的Kolmogorov-Chapman方程，多步转移概率可用一步转移概率表-述，由式(5)和式(6)，有rif=三Jtf1·如JPii，…，故当ji n ··h+n1PZ11，< _<j i<i<"’<itllt-时，即j~二+n 1时，有kP\'])O.证毕.注若S是数集，X= 1凡，n 0，1，2，…|是Markov链，其n步转移概率为rjj).设a aSaG是一个数，记X~a X x间为+ 0 1 2 ，…1.则X是状态空, 1X ~ nla+i, , ,, n i εsl的Markov链，其于第h步由ua +经n步转移到v-a j的转移概率就是+ .有不公开底价英式拍卖的非时齐Markov链模型和文献[6J一样，做一些基本假定:①在拍卖中只有一种拍卖品，有M个竞买人，编号为1，2，…，M.②确定一个货币单位，所有报价均是单位货币的整数倍.③采用英格兰式拍卖，即增价拍卖.起拍价为整数α注O.④有底价，底价对竞买人是保密的.设底价为正整数A.当最高应价未达到底价A时，拍卖不成交，从而终止拍卖.起拍价α应低于底价A即就无意义了.，aA.否则底价< ⑤每个竞买人对拍卖品有一个可接受最高限价，但互不知晓.设竞买人t的可接受最高限价是一个正整数乱，当应价已超过Bi时，竞买人i将不会再应价.假定Bmax = 1 Bi I 1:;:;;: i运MI注A，否则，拍卖将不可能成交.⑥不考虑佣金、保证金等费用.今设给定aA:;:;;:B记拍卖的第n次应价为，Xn，n1，2，…，并记X=α.于是X=< osaXn 01 , = ，1，2，…l是取值于laa+12…，，a+，l的随机序列.对英格兰式拍卖，每次n 应价必定比前一次应价高，即X=α< XX< . (7) < o 1 2 当第n次应价Xn出来后，以前的应价X12…，Xn1不会影响以后的应价.因此随机序列X'X-'"[8]的"MarkovlXn，n二三01具有"无记忆性即概率论随机过程中性这样，X是状态空间sa为的Markov链，称为拍卖的应价链.
第2期莫晓云:有不公开底价英式拍卖的非时齐Markov链模型79 ⑦应价链X= lX，n二三01是增Markov链，可以是时齐的，也可以是非时齐的.n 满足基本假定①~⑦的拍卖模型，可以用一个状态空间为sa的增Markov链X= lX, nn注01来描述，且X=α.由式(7)，有orij)=0,i ,j Ef,1<i.(8)由定理1，当):运+n一1有kP~'J)0，应价链X的n步转移矩阵J1(n)= lkP~'J)，i，jεsa 1 有下列无穷矩阵形式口(n) 口(n) O O kP~飞)+nd~ aa+n kJ. a a+n+l 口(η)口(n) O 。O . a+l a+η+1 k~ a+l a+n+2 kP(n) 口(n) O O O 。k~ a+2 a+n+2 3. 拍卖的相关概率量 拍卖成交时的几个概率量设T是成交时的应价次数，r是取正整数值和正元穷值的随机变量.当r=+∞时表示拍卖未成交.r = 0虽也表示未成交，即整个拍卖过程元人应价，但不会出现这种情况，即P(r = 0) = 0，因为假定了a<AζB.下面求τ的概率分布P(rn),n 1,2,3, ,P(r =∞)=1-~P(r=η) 定理2拍卖成交时应价次数τ的概率分布B (9) P ( r n ) ~ 0 P ~ n/ nHiB ~ oP川. nHi ’ (n二三1)2二max(a+n，A)其中记号J't喃自飞，/QU 、、AnHiB ~ nPij 更精确些B ~川飞). nHiB n<A-a, i=A /164EA飞 ，，，--A B 、P(r=n)= A-a<n<B-a, Zop;7•nffzB 0, B-a<n. 证明事件(r= n)表示在第n次应价成交，故必定Xn<B，且按Markov链的应价规律，第n+1次应价(实际上已没有竞买人应价了)X+> B.由基本假定④，拍卖有底价A，故n1必定AζXn.于是有包含关系(r=n)C(A运X< B < X+).反之，如果右方事件发生，nn1正好说明在第n次应价成交，于是相反的包含关系成立，从而包含关系成为等式.故P(r=n)=P(AζX(12) < B < X+) = ~ ~ P(X= i,X+= j), n n1n n1 i= A j二B+1
学80 经济数第26卷其中P(Xi,X+= j) = P(Xi)P(X+= j I X= i) n n1 n n1 n P(Xa ,Xi). nPij Op~n? nPij’ o n 将上式代入式(12)得P(r = n) ~ ~ Op~n? nPij由定理1得式(9)第2等号，从而得式(11).证完.设成交概率为卢，即卢=P(τ<∞) = ~P(r = n).由应价次数r的概率分布式(9)进一步得定理3拍卖成交概率(13) = ~ ~ oP丛) nHiB + ~ ~ Op~n? nHiB’ 注意，卢未必等于1，即拍卖未必一定会成交.例如，如果对aζiζB及j>B均有nPij= 0时，就有卢=O. 定理4设τ是拍卖成交时的应价次数，X，是拍卖成交价，X，是取值于jA，A+l，A+2，..f的随机变量.则对n二三1，b二三A，成交时应价次数r与成交价X，的联合分布(。plz)."HARA~三bζB，P(r = n，Xτ= b) = ~V Uυ (14) 0, B < b. 证明类似定理2的证明，有等式P(r=n，X，=b)=P(τ= n, X= b) = P(A运X~ B < Xn+l,X= b). n nn 当B<b时，上式右方的事件是不可能事件，显然右方概率为0;当AζbζB时，上式右方等于P(B < X+,X= b) = 三=P(X= b,X+= j) = ~ P(X= b)P(Xn+l = j I Xn1n n n1 n n = b) = oP江.nHbB'得式(14).证完.定理5拍卖成交价X，的概率分布|予1nP~~) .H. RA三三bζB，P(Xτ= b) =才工1υυ.~ , (15) 0, B < b. 证明在式(14)中对n二三1求和便得式(15). 拍卖的平均成交价定理6拍卖的平均成交价是指条件数学期望Q= E(XI r <∞) .则拍卖的平均成交T 价(16) Q =t土i艺川). nHiB 依条山阵概一川?问率一<的<一定∞∞|义一一)=证明E∞三川∞11-p 2Q E VE VA /飞凡/飞B 几< 一-r一句T n 句β·叫
第2期莫晓云:有不公开底价英式拍卖的非时齐Markov链模型81 E1Xn，A~xn~豆B< xn+11 三~~ E 1 i, Xi, X+j n n1 三;二iP(Xi,X+j) 三JZt-opi飞) nPij nni ~i oP已). nHi 注若拍卖品不是价值连城的，其价格可以有一个公认的上界C.则有kPij=O，对任意tεS及j> C.因而在定理1-6中的元穷级数实际上是有限和，不赘述.参考文献[1 J ]OHN R, POST E. Information in Auctions[JJ. Review of Economic Studies, 1988,59(3) :409 -430. [2J JOHN R, WILLIAM S. Optimal Auctions[JJ. American Economic Review ,1981, (71) :381 -392. ROGER M. Optimal Auction Design[J J . Mathematics of Operations Research ,1981 , (6) : 58 -73. [3J [4J 田国强.现代经济学与金融学前沿发展[MJ北京:商务印书馆，2002.郑晓星拍卖导论[MJ上海:上海社会科学学院出版社，2001.[5J [6J 莫晓云有底价的英式拍卖的Markov链模型及成交概率[JJ湖南师范大学自然科学学报，2009,32( 1): 16 -19 [7J 王梓坤随机过程论[MJ.北京:科学出版社，1978. 钱敏平，龚光鲁.应用随机过程[MJ北京:北京大学出版社，199[8J MODEL OF NON-HOMOGENEOUS MARKOV CHAIN FOR ENGLAND AUCTION WITH NON-OPEN RESERVE PRICE 1MO Xiao-yun,2 (1. College 01 Mathematics and Com阳terScience , Hunan Normal University, Changsha 410081, China j 2. Hunan Financial and Economic College, Changsha 410205 , China ) Abstract A mathematical model of non-homogeneous Markov chain was set up for the England auction with non-open reserve price. From this model, the transaction probability, mean transaction price, the joint distri›bution and marginal distributions for the number of bid prices in transacting and transaction price were calculated. Keywords auction; English form; non-homogeneous Markov chain; transacting; probability distribution
