若统计100天,
例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？
32天没有出废品;
30天每天出一件废品;
17天每天出两件废品;
21天每天出三件废品;
可以得到这100天中
每天的平均废品数为
设X是离散型随机变量，它的分布律是:
如果级数
绝对收敛,则称
一.离散型随机变量的数学期望
为X的数学期望.
例2. 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，设他每发命中的概率是p，求平
均射击次数。
解:
例3. 设X的概率分布为：
若已知E(X)=a,求常数A,B.
解:
例4 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.
解: 设试开次数为X,
P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n
E(X)
于是
设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果
绝对收敛,则定义X的数学期望为
二.连续型随机变量的数学期望
例6. 设X的概率密度如下，求E(X).
解:
设Y是随机变量X的连续函数，Y=g(X)，则
当X为离散型时，P(X= xk)=pk ;
当X为连续型时，X的密度函数为f (x).
三.随机变量函数的数学期望
例7. 已知风速X~U(0,a),又设飞机机翼所受的正压力Y是X的函数Y=kX2(k>0),求E(Y).
解:
例8. 设X~N(0,1)，求E(|X|).
解:
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则
四.二维随机变量函数的数学期望
Y
X
0
1
0 1
1/8 1/2
1/4 1/8
例9. 设(X,Y)联合概率分布为：
求E(X2Y).
解:
例10. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。
解:
五.数学期望的性质
1. E(aX+b)=aE(X)+b;
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
3. 设X、Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
E(aX)=aE(X)
E(b)=b
例.设X,Y相互独立,其概率密度为
例.设X的概率密度为
求E(2X+1)
六.几种常见分布的数学期望
若X ~ 0-1分布，那么E(X)=p;
若X ~ B(n,p), 那么E(X)=np;
若X ~ P(λ), 那么E(X)=λ;
若X ~ E(λ), 那么E(X)=1/λ;
若X ~ U[a,b], 那么E(X)=(a+b)/2;
若X ~ N(μ,σ2)，那么E(X) =μ.
例9. 将n个球放入M个盒子中，设每个球落
入各个盒子是等可能的，求有球的盒
子数X的数学期望。
解:
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
乙仪器测量结果
甲仪器测量结果
较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
中心
中心
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
方差
方 差
D(X) =
标准差
一.方差的定义
若X的取值比较分散，则方差较大 .
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .
若X的取值比较集中，则方差较小；
D(X)=E[X-E(X)]2
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
二.方差的计算
计算方差的一个简化公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
展开
证：D(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2
利用期望
性质
请自己用此公式计算常见分布的方差.
例1. 已知随机变量X的分布列为
求X的方差和标准差。
X
2 3 4
Pk
解:
例2. 设随机变量X的概率密度为
求D（X）
例3. 已知随机变量X的分布函数如下,求D(X)。
三.方差的性质
1. D(aX+b)=a2D(X) ;
D(aX)=a2D(X)
D(b)=0
D(-X)= D(X)
方差的性质
2. 若X、Y相互独立,D(X+Y) = D(X)+D(Y);
一般地，
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
例4. 设(X,Y)的联合概率密度为
(1) 试求X、Y的边缘密度，并问X与Y
是否相互独立？
(2) 求E(2X+3Y), D(2X+3Y).
例5.设X的概率密度为
3. 切比雪夫不等式
设随机变量X有数学期望μ和方差σ2，则对于任给ε>0,有
方差的性质
证:
推论：D(X)=0 P(X=E(X))=1
例7. 设X为随机变量,已知E(X)=μ,
D(X)=σ2 ,试用切比雪夫不等式估计
P(|X-μ|≥3σ).
解:
例8. 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。
解:由切比雪夫不等式
令
例9. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X
依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400)
=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 .
例10. 若X ~ G(p)，求D(X).
解:
E(X)=1/p
若X ~ 0-1分布，那么D(X)=p(1-p);
若X ~ B(n,p), 那么D(X)= np(1-p);
若X ~ P(λ), 那么D(X)=λ;
若X ~ G(p)， 那么D(X)=(1-p)/p2.
若X ~ E(λ), 那么D(X)=1/λ2;
若X ~ U[a,b], 那么D(X)=(b-a)2/12;
若X ~ N(μ,σ2)，那么D(X) =σ2.
名称
概率分布
期望
方差
0-1分布
二项分布
泊松分布
几何分布
名称
概率分布
期望
方差
均匀分布
指数分布
正态分布
——X的标准化随机变量
E(X*)=0, D(X*)=1
E(Xk)——X的k阶原点矩
E{[(X-E(X)]k}——X的k阶中心矩
E(X)——X的1阶原点矩
D(X)—— X的2阶中心矩
数学期望
方 差
单个变量的数字特征
多个变量间联系的数字特征
协 方 差
相关系数
设(X,Y)为二维随机变量，若
E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
存在，则称其为X和Y的协方差，记为cov(X,Y)。
协方差
cov(X,Y)=0
E(XY)= E(X)E(Y)
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY) -E(X)E(Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)
cov(X,Y)=0
X与Y相互独立
cov(X,Y)= 0
cov(X,Y)= 0
X与Y相互独立
⑶ cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y)
⑴ cov(X,Y)= cov(Y,X)
⑵ cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) a,b是常数
协方差的性质
例 设随机变量XB（12,),Y N(0,1),
COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y与W=-2X+4Y
的方差与协方差
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
为随机变量X和Y的相关系数
设D(X)>0, D(Y)>0,称
相关系数
例 设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数
D
1
x=y
解
存在常数a,b(a≠0），
使P(Y=aX+b)=1，
相关系数的性质
3. X与Y相互独立
X与Y不相关
例1.
相关系数ρXY 是刻划X和Y间线性关系程度的数字特征，| ρXY|越大， X和Y间线性关系越明显。当ρXY >0时， Y有随着X增加而增大的趋势；当ρXY <0时， Y有随着X增加而减小的趋势.
随机变量不相关只说明两个随机变量之间没有线性关系，但还可能有某种别的函数关系；
随机变量相互独立说明两个随机变量之间没有任何关系，既无线性关系，也无非线性关系。
所以相互独立必然不相关，反之不一定成立。
相互独立和不相关
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而
Y=cos X,
（请课下自行验证）
因而 =0，
即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
不难求得，
Cov(X,Y)=0，
例2. (X,Y)~ N(μ1 ,μ2,σ12,σ22,ρ) ，
对二维正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。
(1)求E(X)和D(X).
(2)求cov(X,|X|),并判断X与|X|是否相关.
(3)判断X与|X|是否独立.
例3. 设随机变量X的概率密度为
(1)求E(Z)和D(Z).
(2) 求ρXY,判断X与Z是否不相关.
(3)判断X与Z是否独立.
例4. 设X~N(1,9),Y~N(1,16)，
例5. 将一枚均匀硬币重复掷n次，以X和
Y分别表示正面向上和反面向上的次
数，求X和Y的相关系数ρXY。
对于任意两事件A和B,
若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则称
为事件A和B的相关系数。
例6.证明:
(1)事件A和B独立的充要条件是ρ=0；
(2) |ρ|≤1.
