数量经济技术经济研究》2004年第4期
服从多种形式跳过程的
期权定价模型
刘国买 、2 邹捷中2 陈 超3
(1．福建工程学院；2．中南大学数学科学与计算技术学院；
3．广东证券有限责任公司)
【摘要】 股票价格过程包含跳跃和扩散两种随机运动，其中跳跃是重
大信息到达对股票价格的冲击。本文将引起股票价格跳跃的重大信息按照相
对重要程度分为 类，建立了多种形式跳的股票价格过程，运用无风险证
券、股票和期权复制其他期权的方法，推导出期权价值方程和欧式期权定价
公式，给出了引起股票价格跳跃的不可观测参数的确定方法。
关键词 跳一扩散过程 信息 期权定价
中图分类号 24．0 文献标识码 A
在众多的期权定价模型中，一般都假设在重大信息到达时股票价格的相对跳跃高度
是独立同分布的随机变量或是时间的函数，如Merton(1976)、Aase(1988)、Scott
(1997)、Jones(1984)、陈超 (2001)等。但是，这些假设与实际情况有较大偏差。股
票价格的相对跳跃高度与引起跳跃的重大信息相对重要程度有关，信息的相对重要程度
越高，股票价格的相对跳跃高度越大。本文将引起股票价格跳跃的重大信息按照相对重
要程度分为 类，建立了多种形式跳的股票价格过程，运用无风险证券、股票和期权复
制其他期权的方法，推导出期权价值方程和欧式期权定价公式，给出了引起股票价格跳
跃的不可观测参数的确定方法。
一
、 金融市场描述
考虑一金融市场存在两种可连续交易的证券，其中一种为无风险证券，称为债券，
其价格过程B(t)满足微分方程：
=砌 t3(0)=1 (1)
式中r为瞬时无风险利率。另一种为风险证券，称为股票，其价格过程S(t)满
足随机微分方程：
而as(t)= + )+耋 ) (2)
湖南省科技计划一般项目 (编号：01 jzy 2007)。
·---— — 110 ·---——
式中z(t)为一维标准布朗运动； (t)(i=1，2，⋯， )为参数为 的Pos—
sion过程，即P( 丌 =1)=2idt，P( 丌 =0)=1—2,dt； 为股票的期望收益率；
为没有跳跃发生时，股票收益率的方差；k (i=1，2，⋯， )为第 i类信息到达
时引起股票价格跳跃的相对跳跃高度。
假设1 期权与其标的资产有相同种类的风险。
设F，(J=1，2，⋯， )为标的资产为股票的 个期权，由假设1有：
警 = f+ z(f)+∑kjid~r ) J=1，2，⋯，z (3)
J＼。， i=1
其中 ，(J=1，2，⋯， )为期权F，的期望收益率； (J=1，2，⋯，z)为没
有跳跃发生时，期权F，的收益率方差；k， ( ，J=1，2，⋯， )为第i类信息到达时
引起期权Ff跳跃的相对跳跃高度。
将方程 (2)和 (3)写成矩阵的形式为：
记
S
S
l
Fl
aft
F【
D
kl
O"1 kll
● ●
： ：
O"l ktl
kl
O"1 k11
● ●
： ：
ktl
二、期权价值方程
dz
dz1
●
：
一
dzt
(4)
假设2 方程组 (4)中的系数是股票价格S、期权价格FJ( =1，2，⋯，z)和
时间t的函数，且D是非奇异矩阵。
设F是标的资产为股票S和期权F，(J=1，2，⋯， )的期权，其中期权F ( =
1，2，⋯， )在期权F到期日前没有到期，则期权 F的价格是股票价格S、期权
(J=1，2，⋯， )和距到期日r的函数，即F=F(S，Fl，⋯， ，r)。
由Merton(1976)的结果，期权F满足下面的随机微分方程：
=pFdt+ z(f)+∑kvd~r ) (5)
其中
三(∑(F)+ 5 OF+ ．jFj aF
．
一
-~)／F
∑(F 三 1 s 02F+高1 2F 2 c~ 2F +砉 蠢+吉 蚤l≠ 粥
一 】】1 一
● ● ● ● ● _
；
印 三 OF+骞 篝)／F
是R三(F(S(1+ki)，F1(1+kl )，⋯，Ff(1+k )，r)一F／F
i： 1，2，⋯ ，
考虑一包含债券、股票、期权FJ( =1，2，⋯， )和期权F的证券组合，其价
值分别为cUR，
(U， (Ul， ⋯ ，
(U，CO1，⋯，col，coF，且 (UR 一
COl，~oF为S、FJ( ：l，2，⋯， )
G1 ⋯ Gl aF
k1 k11 ⋯ kll kFl
是 是fl ⋯ k ， kFt
(cU+601+⋯+ ￡+∞F)，其中叫R，
和r的函数。如果方程组
(6)
有非零解，则该组合是无风险组合。由于方程组 (6)是含有 +2个未知数、 +1个
方程的齐次方程组，因此有非零解。故该组合为无风险组合。
由于组合是零风险投资组合，故可得下面的方程组：
一 ，．
盯
k1
由于方程组(7)
1 一 ，．
G1
k1l
是， 是fl ⋯ ktt kFt
有非零解，则其系数矩阵是奇异矩阵
l 一
1 1一
I 一
F 一
由假设2知D是非奇异矩阵，则：
一 l
●
：
一
k1 ⋯
G1 kll ⋯
Gl kn 。·‘
．
aV kF1 。·。
是1 ⋯ 是
kl1 ⋯ kll
kt1 ⋯ k
在 ， 一， 使得
一
l
●
：
一
1厂
j — r
J 1一 ，．
L 一 ，．
(7)
(8)
(9)
将方程组 (9)代人方程组 (8)，得到下面方程：
∑(F)+(，．一骞呐)s a F+骞(，．一骞呐 )FJ 一 OFi 1 一(，．一客1涨 )F=0 1=1 = !=1 J uc f：
设方程 (4)的系数仅是股票价格S和距到期日r的函数，且F(S，Fl，
r)：f(S，r)，则f(S，r)满足下面的偏微分方程：
1z 0．2S2 aS2+(，．一客 )s 一 一(，．一高涨 )厂=。
— -— — 112 —-——
一
瞎
耳
r r{}
r
一
；
、， ， 、， m n
， ，
设厂是标的资产为股票的欧式看涨期权，执行价格为 E，到期日为 T，且股票价
格过程满足方程 (2)，那么，距到期日r时期权的价值为：
厂(s，r)=∑⋯∑[e-(31+32+---+ ( l r)” ( 2r)n2 o o o(azr)” ／( l!⋯ ]
1 0 ， 0
×W(V，r，E，，．， ) (12)
其中W (V，r，E，，一， )是 B—S期权定价公式，即
W(V，r，E，，．， )= N( 1)一EP一 N(d2)
式中N(．)为正态分布的累积密度函数，dl=I In(V／E)+(，．+ 1 )r J／a ，
L 厶 J
d2=dl～ √r，V=S(1+k1)”l(1+k2) 2⋯(1+k )”~e-(a1 l 2k2 ⋯ )r。
三、参数 的确定
期权定价公式 (12)中含有 个不可直接观测的参数 ， l，⋯， 。下面讨论这
个不可直接观测的参数的确定方法。假设方程组 (4)的所有系数都是股票价格和时
间的函数，则期权FJ(J=1，2，⋯， )的价格也是股票价格和时间的函数，记 Fi=
(S，r)(i=1，2，⋯，，)，那么 也满足类似于方程 (10)和公式 (12)。定义
l (S，Fl，⋯， ，r)，⋯，含l(5，F1，⋯， ，r)使得
f厂l(s，r， l(S，Fl，F2，⋯， ，r)，⋯， l(S，Fl，F2，⋯， ，r))=F1
J f2(s，r， l(5，Fl，F2，⋯，F『，r)，⋯， l(s，Fl，F2，⋯，El，r))=F2 (13)
l’’‘‘’。
l (S，r， l(S，Fl，F2，⋯， ，r)，⋯， l(S，Fl，F2，⋯， ，r))=El
由公式 (12)有：
=一 + (s(1+kv)，r)一kjvs =(是 一 詈) (14)
其中i， =1，2，⋯， 。
方程组 (13)的雅可比行列式为：
△
afl
l
af2
l
afz
l
afl
2
af2
2
afz
2
(是--一k- ) -
(是z-一k-詈)
(是 k- )
afl
af2
afz
碱
(是-z—kz ) -
(是zz—kz詈)
(是 kz )
(是- —k ) -
(是z —k )
(是 kz詈)
一 113 —
= c { 一{
一 是：詈
詈 一是：詈
一 是
= f3
一 是z
kl 是2 ⋯ 是z
0．1 k11 k12 ‘·。 k1l
0"2 k21 k22 ‘·‘ k2l
0"l kn kz2 ⋯ 尼
· · 。 k21
：
●
⋯ 是
是
尼，
是，
=吉 ⋯ I D I (15)
由于D为非奇异矩阵，则l D l 4：0，由 (15)式知A4：0。因此，方程组 (13)存
在逆函数 l
故期权
(S，Fl，⋯， ，r)，⋯， (S，Fl，⋯， ，r)。
F的价值可写成
F：f(S，r， l(S，Fl，⋯， ，r)，⋯， (S，Fl，⋯， ，r)) (16)
参考文献
Aase，K．K．，Contingent claims valuation when the security price is a combination of an ITO process
and random point process[J]．Stochastic and Their Application，28(1988)：185～220．
Jones，E．P．，Option arbitrage and strategy with large price changes l J]． Finance Econc~nics， 13
(1984)：91～113．
Merton，R．C．，Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J]．Econcm'fics，3
(1976)：125～144．
Scott，L．O．，Pricing stock options in a jump—diffusion model with stochastic volatility and interest
rate：application of Fourier inversion methods[J]．Mathematical Finance，4(1997)：413~426．
陈超等：《股票价格服从跳一扩散的期权定价模型》[J]，《管理工程学报》2001年第2期。
114 一
(责任编辑：彭 战)
