第43卷第20期 数学的实践与认识 ,
2013 年 10 月MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Oct., 2013
投资组合择选的一种模糊决策方法
张银利,高淑萍,邱言玲
西(安电子科技大学理学院,陕西西安710071)
摘要:针对带有V-型交易费用的半绝对偏差风险函数投资组合问题利,用模糊决
策理论,提出了一种新的投资收益目标水平和投资风险目标水平士理满意度的非线
性隶属函数,并将满足非线性满意程度的投资组合选择模型转化为线性规划模型,
证明了两者的等价性,最后通过实例说明了所建模型的可行性与有效性.
关:键投资组合非线性隶属函数模糊决策极大词;;;化原则
1引言
证券市场一是个极其复杂的系一统,般情况下,高收益意味着高风险.投资者在进行投资
活动中通常面临着各种各样的风险,如何实现收益最大化和风险的最小化.投资组合选择⑴
就是如何配置各种有价证券的头寸来最好地符合投资者对风险和收益的权衡.在证券市场
中,投资者对投资风险和投资收益往往带有主观的意愿证,券的预期收益率具也有一定的模
糊.性针对这一特点,许多学者将模糊数学的2W理atadaJ】论引入投资组合选择问题中,以期
望收益和风险为目标以S型,隶属函数来描述投资者对期望收益和风险的主观态度,提出了
一种投资组合模型;陈国华等3[1考虑了预期收益率为模糊数的投资组合选择问题建立了
,投资组合选择的模糊线性规划模型Xian;gLi等⑷基于投资组合回报的立不对称性,建了均
值-方差-偏度模adi S 型Sad;jJ等W考虑了不同的模糊收益率及模糊借贷利率的投资组
合选择问建立题了模糊多期投资组合选择问王题;金凤等@研究了模糊环境下的动态投资
,组合模型,建立了基于可信性安全准则的模糊动态投资组合模型;付云鹏等问以模糊空间中
的距离为切入点,建立了模糊空间距离的组合投资决策理.论等大事量实表明,综合应用模糊
数学和最优化思想来研究投资组合选择问题已成为投资分析的一种重要的.方法本文研究带
有V-型交易费用的半对偏风绝差险函数投资组合择选问题,给出了投资者对投资收目益标
水平和投资风险目标水平心理满意度的一个新非线性隶属函数,并将满足非线性满意度程的
投资择模组合选糊规划模型化为易于求解的线性规划模.
型2相关知识
定义8t1i论域X到01上的,映射p:X —01a:ixA, , f[]A()确定X上的一个模糊集
[]叫做4的隶属函数.
定义921^称交易成本-ca(^= Kxii x型交) \1为V-易成本函数,其中Ki与而分别是
\收稿日期--:20130329
资助项目:陕西省教育厅科研计划项目11JK0509()
20期
张银利1
,等:投资组合选择的一种模糊策方法
5决证券市场中风险资产卟=12…n,,,)的交易费比率与投资比例z,是巳经投资在风险资产
?=n上, )的投资比例.
定13I】6义和C是决策空间X中的模糊目标与模糊约束,则模糊决策乃X也是中的
一个模糊集合,定义为D = (5 n (5,具有隶属函数:
= imnxx\/{n(),Hx e X
()}, ac一3种新隶属函数的提出
一般来说资者的心理变化是不确定的对目标或约束的满意程度的变化一率般不
也,投,是常数,由投资者心理收益率边际递减规律,这里提出一种新的描述投资者心理满意度对投
资收益目标水平的隶属函数(如图1)
2—^十-(⑷)=Hrx 1 e1{) ()
当=1时表=示o时,表七,投资者非常满意;当示投资者非常不满意.rOr)
㈨士㈨表示资合投组的收益率a =,与资收益相关的参数f是中点其隶 是投(,属函数值为,
^代表投资者对投资收益的中等满意程度.
)“天下没有免费的午餐”,投资者可以接受一定范围内的资风险,对该范围内风险的心
投理满意度几乎保持不变.但由于大多数一过投资者都风是险恶厌的当风险超定范围时,投资
,者对投资风险的心理满意度将急剧下降因此建立如下投资风险目标水平的隶属函数如(图
,2)
_2-.))-(6—;r= le2N() ()
当= 1时0表示资者非常满意;当= 时,表示投资者非常不满意.其中
,投wx()表示投资合的风险=b 组 是与投,资风险相关的参数闲是中点其隶属函,数值
为,代表投资者对投资风险的中等满程意度.
)图1投资收益目标水的隶属函数 图2投资风险目标水平的属隶函数
平由图1、图2可知,投资收益目标水平的隶属函数与双曲型隶属函数相似但它的结构简
,单、易于处理,更适合于描述投资者对投资收益和投资风险的满意程度;投资风险目标水平
的隶属函数则在一定范围内的小风险几乎保持不变,但随着风险的增加,该隶函数表属现出
比一般的双曲型曲线下降的速度更快的特点,从而能够更好的反映人们心理上普遍对一定范
围内的小风险的接受性以及随着风险的加大而迅速产生出来强烈的抵触性.
,
52
学的实数践与认识
43卷
4模糊决策模型的提出
假a…:㈨2x,,设有n种证券,投资的投资组合为,n),其g中而表示投资组合风在险
资产i上的投资比例,满足= 1r; it为风险资产…= 12n = 12…T,,,)在第ft(,,,)
1
=ii期的历史收益率n,为风险资产ii = 12…n(,,,)未来的xi预期收益率,tn为投资组合的
=il
收益;为风险资产i和xx风险资产j的协方差;E Ec ii为投资组合的差方(用它衡量
^jj=\
j投资组合的风险);从为风险资产i投资比例的上限.
Markowite的均值-差方模型_可表示如下:
n
maxrxii
X) =il
n n
min J2 12工 j
i=l= jl3()
n
=i 1
52 =il
0. ?? <= 12n
,,,^ 该模型具有较大的局限w性,因为只有当投资者的效用函数二次是的或者收益满足正态
分布时均,值-方差模型才与效用理论是一致的并且投资者只对均值以的随机性收益是
,下担优的而对高于均"t!ao,值部分的收益是渴望的.基于此M,等提出了改进的均值-半方差
投资组合模型,该模型是在假设资者只关心低于期望投收益的那部分风险的前提下建立的.
而针对均值-半K12onnol!提出方差模型难于计算的问题,了绝对偏差风险函数,该函数线
是性函数,降低了均-值方差模型的计算复杂性.随12!后Speranzal提出了半绝对偏差风险函
,数= wxx() (),其中’
^ E m=tl
n n
~_r rX-n(it ii I E )\ JrX2it ( i
n)_—
= =wtxmin0r rx,Yit ii{) | { ] ()}\ =1
1表示投资…组合=a:x(町n,巧,,)在第…= 12T,,历史时期投资收益率低于期望
,)收益率的半绝对偏差即半绝对偏差风险函数为
,17n
1 -r4^}丨 ()
t=l 1=1
在金融市场中,交易费用是投资者考虑的一个非常重的因素,忽要视交易费用将会导致无
效的证券组合.因此本文考虑== i l2---风险资产i的V-型交易成本cXin() ,,,,,
设收益函数为
n
--rx--5x{ixi x) ^{i Kn\1) ()
根据Bellman与Zadeh提出的x极大化原则令A= min,{/r⑷,},则模糊投资组合
20期
张银利53
法
,等:投资组选合择的一种模糊决策方选择问题可以表示为如12[】
下ax A
. ^ A
入
—6()
= ii=l
0 < X=<j Vii l2- ? ?n.
,,t ,0 < A < 1
将及隶属函数的表达式1()岣的表达式2()带入5()式整理后可得:
,max A
s——.t. yj lnl A() < a . rx()
_1
—-?Vlnl A() <b iux (())t=xi1
i=i7()
?■0 < X<i = .
,,,,0< A<1
--r=AA令与7A? VlM)则7,7 ^ 0,显然?是正比关系故对,极大化也即是对ry极大
化.式7()可转化为下式:
max7 7 f
‘. 7} < a rx{)
'1
Tb -wxi))) <(8()
=10 <…X<Vi = 1i ,’2’ ’n.
{ ?> 0
? 在a;此将,收益函r数()的表达式和风险函58数的表达式)式带入()式经整
,⑷(后面理有下的表达:
式max 7?
n
. a? r-ix—i ^ix工> J2 (\% ?I) V
i=l
-min0r?it r< 1
^ E I {, f; ( ^)^}| ? 1t=ii=iy ()
n
=xi 1
t=l
0 <<i = 12...n
而 ,叫,, ,?> 0
? 若令
---一Xi XXi XXXi X\ +J+\^ {^) i \对—I (?)
一=di’ ?2 2
nnn n
--r-—it xnI J2xx ()i\ + Er (it ri)i I X) (nt n)i \ J2r—x {it n)i
i=li=l— i=li=.l
= oo
54
数学的实践与识
43认卷
则问题9化()为如下问题:
max
—.
a? xi Kid E (n(f+ d 「> 7,
)) Ji=l
d—- d= Xxdd= 0f, j i ^fj ,
hT
" ■E ?< i yt7 .
丄t=i
--=
vt Vt Jx2 (fu i,
n)i=l
10()
=v otvT ,
.E= i
^
,
i=\
0 ^0 ^7 ^, ^ ,
-+4>> 0d7>00>2/,y0,),
tt...1 = 12n’,,
,t = l2,,
为了更简洁的表达模型删除,式_+-
10l2=“ 0i:
,()中的条件=0i = ,,,,和 yt%…1’2T11.
,则 ’,可得式()max7 /
n
~■. a J2 {n>xi Kd i T(f+ d )) ),
i=l
—_~ d {1
T
b 〒 E yr
^
1 t=i
n
n--e)
=vxt Vti) 12 (nrt u
i=l
t=xi1 ,
i=l
0 ^ ^^ j 0,
+-4 >0dr>0>0>0,)3/,y,
tt...…i = 12=nt 1T
’2’’,;’,定***---dd---d理 2 令(对…,,,x广…d+,r, ,z,yt,,j/r)是问题io()
的一个最优解则存''''…+十―--……在dfdd-
,,,^,,,,,,々^V仏七t使得对…
,(dd……
f^ \yf ,y? ’ynr,Vt )的一个是问题11()最优解,其中
“**~*** -—' >,+f df ’ d 0
> 若d (fc亡*若
, =~ d'*:
*0’若0若 d \ d<>0
’ ”> d > 0
j+*> >+ 2/r 0
f ydtH " ,若〉。
n of~=V t2/ ,t
+**0> >若 d , yr 0
\ 0若, o 於*+>0
'+fdt、Vi
= o 0
12'若…,'’若= ()
矿 |
f ddVt\T V)v it
厂\ ..
、 10证明由于式()与式11()的目标函数相同且它们在这两点的函数值相同又因为10式(,)
''的任意可*+11■■■■d+x行解也是式()的可行解为证明定理的结论,只需证明,(4■■, d,,n ,,
‘'''~+d「…d,y V)是1式0点处,式10)的第2个、第4
t()的可行解在该,,(
20期
张银利,等:投资组合选择的一种
模糊策方法
55决个一至最后个约束条件被满足而由, ,
***~*4 -< dr > d > 4 + 若 40,
*****d=f+ d f dr - d < > f df + 若 d: d > 0j’
***+r 若 < = 0
(n n
'**--a? >xdr>xi kd rin(f+ dra )) (ni kid(f + ()) j
1=1i=l
可以0证明式1()的第1个约束条件被满,足由12式(),容易验证第3个约束条件也满足?
证明完成.
由定2理,则以通过110可求解1
式()得到式()的解.
最优-上述分析得知,经过一系列换元式5,()可11转化为式()且式5()与11式()同解.式
11(标准的线性规划,是模型)易于求解.
5数值算例
为了验证本文所建模型的有效性将其应用于文献13中提出具有交易费用的投资组合
,[]选择问.题假设投资者的投资品种为以下6种证券,在中国证券市场票的交易,股费用有两
种:印花税和佣金,总计为交易金额的千分之五?假设投资者巳经拥有股票的投资比例向量
为=J (....0,,,)投资者对投资收益和投资风险的中等满意水平分别
,,,为…f= =仿 12.,,令证券投资比例上限V=i vi = (,’’n)则由式1与()式2()可
:a = = .,体数据得具见1T- i表,其中表示去,过第i期T表示,当?
期表1 6种证券的过去7期历史收益率及当预期期收益串
期数收益率证券 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类
T-7
T-5
T-3
005
.T-1
采用本文的模型,通过lingo软件计算得以可下结2果(表):
表2计算结果 投资证券類 上限A”V 投 资组合收益投资组合风险
第1类第2类第3类第4类第5类第6类
0
0
0
0
0
56
数学的实践与认识
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文献133所列结果如表所示.
[]313表文献[】的结果
证券類 投资组合收益投资组合风险
第1类
第2类
第3类
第4类第5类第6类
0 0
0
0 0
0
0
0 0
由文献13结果可以看出,证券的投资为高、收益越风险大时,证券1越的资比例越
投[]大,证券2先于证券3资比例变为零,投证券4资比例投越小,证券5及证券6均未投资.而
本文方为法收益越高、风险越大时,证券1及证券4的投资比例均变大,证券2与证券3均
比先于证券5资投例变为零,证券6未投资.
一般而言人,们首先期望高的收益,其次是恶风险,即厌厌恶未来不确定收益低于期望收
益的那部分风险,期望未来不确定收益高于期望收益的那部分风险.由表1可以得出证券1
-至证券 的均值及偏差为0..及.(,,,,,)(, ,
,,,).显然证券1及证券4的均值收益率较大且具有正的偏差,故应多投资,
证券2及证券3的均值收益率均小于证券5的均值收益率且证券3的偏差小于零,故应选
,择投资证券5证,券6的偏差虽然大于零,但其均收值益率较小,应不予投资.因此本出
文提的方法更为合.
理6结语
本文采用半绝风对偏差险函数来作为投资组合的风险函数研究了带有交易费用的模糊
,投资组合选择问题,提出了一种新的非线性隶属函数,并将满足投资者非线性满意程度的投
资”组合选择模糊规划模型转化为经典线性益规划模型.算例结果符合“髙,高险收风的基本
规律,从投资风险目标水平隶属函数的图形来看,本文提出的模型更适合为风险敏感的资
投者一提供种风险投资.
组合的选择方法参文考献
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ZHANG-- YinliGAO Shu, ping, QIU Ya-nling
'(School ofiversi Science, Xidian Unty, Xian 710071, China)
Abstract: Based o funzzy decisinsao theorand try anction cost ith V- twype hlf absolute
adeviatio rnisk fucntion portfolio selectionthisa, pper proopses a e nonwnlinear mebemrship
function abotu investmetn income target level and investmet nrisk target level psycho?
logical satisfaction,then make a nonlinear satisfaction investors portfolio selection model into a
standard linearand Proof of the e programmingmodel ,quivalence of the two modelfinall,y,
illustrate the alvidityad Fehnasbliiityof te model accordin g to the sepcfiic instance.
-Keywords: portfolio optimizationnonlinear membershipfunctionfuzzision makin; ydec; g;
maximization prcinile
p
