此处是大标题样稿字样十五
字以内
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 2 /178
IIR数字滤波器的优点：
可以利用模拟滤波器的设计结果
IIR数字滤波器的缺点：
非线性相位
若需线性相位，要采用全通网络进行
相位校正
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 3 /178
FIR数字滤波器的优点：
1）可以做到严格线性相位
2）可以具有任意的幅度特性
3）对一个信号滤波，相当于
可以用FFT计算
4）总可以用一个因果系统来实现
5） 无反馈运算，运算误差小。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 4 /178
FIR数字滤波器的缺点
1）不能用模拟滤波器的设计
方法，无解析设计公式，要借助
计算机辅助设计；
2）由于没有极点，同样幅频特性，要获
得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代
价。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 5 /178
FIR滤波器的设计方法
设计方法：
窗函数法
频率采样法
切比雪夫等波纹逼近法
设计任务：选择有限长度的脉冲响应h(n)，得
到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标，
同时使相频特性达到线性相位。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 6 /178
线性相位FIR数字滤波
器的特性
本节主要介绍FIR滤波器具有线
性相位的条件及幅度特性以及零点、
网络结构的特点。
FIR滤波器的单位冲激响应：
系统函数：
在 z 平面有N –1 个零点
在 z = 0 处是N –1 阶极点
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 7 /178
. 线性相位的定义
FIR滤波器的频率响应函数
幅度响应（+， 实函数）
幅度函数（可+可-， 实函
数）
相位函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 8 /178
线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数
满足
第一类线性相位
第二类线性相位
群延时为常数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 9 /178
. 线性相位的条件
第一类线性相位成立的充分必要条件
第二类线性相位成立的充分必要条件
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 10 /178
证明（第一类线性相位条件）：
充分性
FIR滤波器的系统函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 11 /178
证明（第一类线性相位条件）：
z=e jω
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 12 /178
证明（第一类线性相位条件）：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 13 /178
幅度函数
相位函数
严格的线性相位
0
证明（第一类线性相位条件）：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 14 /178
证明（第一类线性相位条件）：
必要性
实部、虚部分别相等
两式相除
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 15 /178
关于
奇对称
h(n)关于 偶对称
证明（第一类线性相位条件）：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 16 /178
通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相
位条件的系统函数
频率响应函数函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 17 /178
幅度函数
相位函数
广义的线性相位
0
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 18 /178
结论
Ⅰ、第一类线性相位
Ⅱ、第二类线性相位
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 19 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 20 /178
线性相位FIR滤波器幅度特性
1、h(n)为偶对称，N为奇数
关于
偶对称
关于
偶对称
以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 21 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 22 /178
2、h(n)为偶对称，N为偶数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 23 /178
n=1,2, 3, …, N/2
ω=π时， ， H(ω)对ω=π呈奇对称
ω=0时， ， H(ω)对ω=0呈偶对称
H(ω)对ω=2π呈偶对称
不适合设计高通
滤波器、带阻滤
波器
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 24 /178
3、h(n)为奇对称，N为奇数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 25 /178
=0
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 26 /178
不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 27 /178
4、h(n)为奇对称，N为偶数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 28 /178
不适合于低通滤波
器、带阻滤波器
h(n)为奇对称时，有
90o相移，适用于微分器
和90o移相器，而选频
滤波器采用h(n)为偶对
称
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 29 /178
结论：P267表
偶对称：
N为奇数时， 对 呈偶对称。
N为偶数时， 对 呈偶对称。 π奇
奇对称：
N为奇数时， 对 呈奇对称。
N为偶数时， 对 呈奇对称。 π偶
在 处，两者完全一样
在 处，当N为奇数，两者完全一样；偶数相反
对称性与 在 处对称性的比较
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 30 /178
. 线性相位FIR滤波器的零点分布
1、零点的分布原则
若z=zi 是H(z)的零点，则 也是H(z)的零
点
h(n)为实序列时
线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭
对即共轭成对且镜像成对
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 31 /178
4种零点
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 32 /178
2、零点的位置
1）零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上
4个零点成对出现
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 33 /178
2）零点zi不在实轴上，在单位圆上
2个零点成对出现
存在共轭对，但倒数是其本身
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 34 /178
3）零点zi在实轴上，不在单位圆上
2个零点成对出现
存在倒数，但共轭是其本身
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 35 /178
4）零点zi在既实轴上，又在单位圆上
4个互为倒数、共轭的零点合为1点
N为偶数时的偶对称
N为偶数时的奇对称
N为奇数时的奇对称
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 36 /178
< 小结 >
（1）四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于
h(n)的对称性，而与h(n)的值无关；
（2）幅度特性取决于h(n)的取值；
（3）设计线性相位FIR滤波器时，在保证
h(n) 对称的条件下 ，只要完成幅度特
性的逼近即可。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 37 /178
窗函数设计法
频域给出指标
给出理想滤波器的频率响应
设计FIR滤波器，求其频率响应
逼
近
设计在时域进行
hd(n)无限长，非因果
设计h(n) ，有限长，因果
逼
近
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 38 /178
设计方法（以低通滤波器设计为例）
理想低通滤波器的频响
1
0
0
为群延时
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 39 /178
单位抽样响应
相位
hd(n)偶对称，对称中心
hd(n)无限长的非因果序列
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 40 /178
设计可实现FIR滤波器的单位脉冲响应 窗函数
先选取最简单的窗函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 41 /178
按第一类线性相位条件，得
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 42 /178
加窗处理对频谱性能的影响
理想低通滤波器的频响
矩形窗的频响
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 43 /178
主瓣宽度
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 44 /178
线性相位 幅度函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 45 /178
窗函数的频率特性WR
(ejω) 决定了H(ejω)对
Hd(ejω)的逼近程度。
幅度函数
相位函数
一般情况
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 46 /178
正肩峰
负肩峰
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 47 /178
加窗函数的影响：
①形 成 过 渡
带 Hd(ejω)在截止频率处有陡峭的边
沿
H(ω)在截止频率处连续曲线
边沿加宽，
形成过渡带
窗频谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。
过渡带：正肩峰与负肩峰的间隔
过渡带宽=窗频谱WR(ejω)主瓣宽度
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 48 /178
正、负肩峰位置 截止频率两侧
窗谱函数旁瓣
多
起伏振荡
多
窗谱函数旁瓣相对幅度
大
起伏振荡幅度大
② H(ω)形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 49 /178
③改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改
变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗
函数形状决定。
主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增
加
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 50 /178
吉布斯效应：（截断效应）
在矩形窗情况下，最大相对肩峰为%，
N 增加时， 减小，故起伏变密，而最大相
对肩峰却总是%，这种现象称为吉布斯
效应。
肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。
h(n)代替 hd(n) 引起的误差，在频域上表现为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 51 /178
图 增大
增大N对矩形窗幅度特的影响
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 52 /178
引出原因：矩形窗阻带最小衰减
在工程上，衰减量不够
要加大阻带衰减，需要改善窗口函数形状
改善窗口函数形状的标准
窗函数不仅起到截断作用，还能起到平滑作用。
几种典型的窗函数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 53 /178
窗函数的要求：
（1）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡
带
（2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，
以减小肩峰和波纹
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 54 /178
（1）最大旁瓣峰值 （dB）。
（2）主瓣宽度 ，窗函数频谱的
主瓣宽度。
（3）过度带宽 ，窗函数设计得
到FIR滤波器的过度带宽，即通带
截止频率与阻带截止频率之差。
（4）阻带最小衰减 （dB）。窗
函数设计得到FIR滤波器的阻带最
小衰减。
窗函数参数：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 55 /178
1. 矩形窗(Rectangle Window)
傅里叶变换
幅度函数
主瓣宽度最窄： 旁瓣幅度大
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 56 /178
矩形窗及加窗处理后波器波形
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 57 /178
频率响应
2. 三角形窗(Bartlett Window)
主瓣宽度宽： 旁瓣幅度较小
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 58 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 59 /178
利用欧拉公式
3. 汉宁(Hanning)窗——升余弦窗
利用DTFT的频移特性
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 60 /178
幅度函
数
三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能
量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1
倍。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 61 /178
主瓣宽度宽：
旁瓣幅度小
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 62 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 63 /178
4. 汉明(Hamming)窗——改进的升余弦窗
幅度函数
主瓣宽度宽： 旁瓣幅度更小
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 64 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 65 /178
5. 布莱克曼(Blackman)窗
在升余弦窗的定义式中再加上一个
二次谐波的余弦分量得到的，故又
称二阶升余弦窗。可进一步抑制旁
瓣的效果
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 66 /178
幅度函数
主瓣宽度最宽： 旁瓣幅度最
小
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 67 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 68 /178
6. 凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)
前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数
设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且
都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两
个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗
函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性
能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控
制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保
证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在
主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，
凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是
一种近似最佳的窗函数。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 69 /178
β是一个可选参数，
用来选择主瓣宽度和
旁瓣衰减之间的交换
关系，一般说来， β
越大,过渡带越宽，阻
带越小衰减也越大。
I0(·)是第一类修正
零阶贝塞尔函数。
一般取15~25项就
可满足精度要求。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 70 /178
β参数可以控制窗的形状。一般β加大，主瓣加宽，
旁瓣幅度减小，典型数据为4< β <9。当β =时，
窗函数接近哈明窗。 β =时，窗函数接近布莱
克曼窗。
图 凯塞窗波形
（N=21）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 71 /178
图 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 72 /178
表 β对滤波器性能的影响
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 73 /178
若阻带最小衰减表示为δst，β的确
定可采用下述经验公式
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 74 /178
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 75 /178
窗函数设计法总结
(1)确定所希望设计滤波器的hd(n)
一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求
hd(n)，即设Hd(ejω)为理想线性相位滤波器，
那么单位取样响应用下式求出：
求解过程中涉及Hd(ejω)的截止频率
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 76 /178
(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗
函数的形式，并估计窗口长度N。一般原则是
在满足阻带最小衰减的要求下，尽量选择主
瓣窄的窗函数。
(3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)，
h(n) =hd(n)w(n)
(4)验算技术指标是否满足要求。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 77 /178
低通滤波器的设计
例 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波
器，要求：通带截止频率ωp=π，阻带截
止频率ωst=π，阻带最小衰减δst≥50dB。
解：（1）以理想线性相位低通滤波器作为
逼近滤波器，即
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 78 /178
单位抽样响应为
理想低通滤波器的截止频率ωc为
为了保证线性相位
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 79 /178
（2）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。
因为要求δst≥50dB ，查表可以看出汉明
窗、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明
窗的主瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表
达式为
由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过
渡带宽为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 80 /178
汉明窗的带宽为
（3）确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函
数，得到单位抽样响应为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 81 /178
（4）由h(n) 求出H(ejω) ，以便验证设计结果
是否满足要求。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 82 /178
例 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，
所希望的频率响应函数为
若长度N=21，观察加不同窗函数后滤波器幅
度特性的变化。
解：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 83 /178
若选择矩形窗函数，则有
若选择汉宁窗函数，则有
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 84 /178
矩形窗设计的
FIR滤波器幅度
特性；
汉宁窗设计的
FIR滤波器幅度
特性
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 85 /178
例 利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器，
要求：通带截止频率ωp=π，阻带截止频率
ωst=π，阻带最小衰减δst≥60dB。
解：（1）确定凯塞窗的参数β和N。
取N=38
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 86 /178
（2）确定理想低通滤波器的截止频率ωc
（3）求解hd(n)。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 87 /178
（4）确定所设计滤波器h(n)。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 88 /178
例2 设计一个线性相位FIR低通滤波器，
给定抽样频率为
通带截止频率为
阻带起始频率为
阻带衰减不小于-50dB。
解：1）求数字频率
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 89 /178
2）求hd(n)
3）选择窗函数：由 确定汉明窗
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 90 /178
4）确定N 值
5）确定FIR滤波器的
h(n)
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 91 /178
6）求 ，验证
若不满足，则改变
N或窗形状重新设
计
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 92 /178
1、线性相位FIR高通滤波器的设计
理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为
单位抽样响应为
高通滤波器
的长度N只能
取奇数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 93 /178
例 利用汉明窗设计一个FIR高
通滤波器，所希望的频率响应函数
为
取长度N=31。
解：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 94 /178
选择汉明窗函数，则
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 95 /178
2、线性相位FIR带通滤波器的设计
理想带通的频响
其单位抽样响应：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 96 /178
例 利用汉宁窗设计一个FIR带
通滤波器，所希望的频率响应函数
为
取长度N=31。
解：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 97 /178
所设计带通滤波器的单位抽样响
应为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 98 /178
3、线性相位FIR带阻滤波器的设计
理想带阻的频响：
其单位抽样响应：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 99 /178
例 利用矩形窗设计一个FIR带
阻滤波器，所希望的频率响应函数
为
取长度N=31。
解：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 100 /178
所设计带阻滤波器的单位抽样响
应为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 101 /178
频率抽样设计法
频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应
抽样，去近似所希望的理想频率响应Hd(ejω)的设计
方法。
窗函数设计法：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 102 /178
对于一个长度为N的序列h(n)，若知道其频域的N个
抽样值H(k)，则h(n)就可以由H(k) 唯一地确定。同
时，也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数H
(ejω) 。
设所希望得到的频率响应为Hd(ejω) （一般为理想频
率响应），在频域的ω=0~2π之间对其等间隔抽样N
点（或对Hd(z) 在单位圆上进行等间隔抽样），得到
个抽样值为
设计的基本思想
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 103 /178
则
重构系统函数H(z)
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 104 /178
将z=ejω代入H(z)表达式可得
式中，内插函数
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 105 /178
从式（）可以看出，在个频率抽样点上，滤波
器的实际频率响应时严格和理想频率响应数值相等，
但是在抽样点之间的频率响应则是个抽样点的加权
内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近
误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状，
理想频率响应特性变化越平缓，则内插越接近理想
值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想
频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就越
大。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 106 /178
抽样点上，频率响应严格相等
抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加
变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 107 /178
H(k)满足的条件
关于线性相位FIR滤波器的时域、频域特性，我们已
经将其归纳于表中。下面将以该表内容为依据，
讨论当H(k)的幅度和相位满足什么条件时，才能使
所设计的FIR滤波器具有线性相位。
为了讨论方便，将所设计滤波器的H(ejω) 、H(k)分别
表示成以下形式：
()
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 108 /178
比较上述两式，可知下述关系成立：
()
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 109 /178
从表中看到，此时幅度函数
关于ω=π偶对称，即
则
即
相位抽样φ(k)
1）h(n)偶对称，N为奇数
()
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 110 /178
此时幅度函数关于ω=π奇对称，即
即
相位抽样φ(k)
2）h(n)偶对称，N为偶数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 111 /178
3）h(n)奇对称，N为奇数
3）h(n)奇对称，N为偶数
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 112 /178
设计公式
频率抽样的两种方法
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 113 /178
1）第一种频率抽样
系统函数：
频率响应：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 114 /178
2）第二种频率抽样
系统函数：
频率响应：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 115 /178
线性相位第一种频率抽样
依据式（）
而
当N为奇数时，N-1为偶数，由于
，则可取
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 116 /178
当N为偶数时， 为N-1奇数，由于
，则可取
但此时A(k)=-A(N-k)，则
所以此时可以将幅度抽样和相位抽样改写为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 117 /178
综合上述分析过程，可得到如下设计公式：
（1）N为奇数
（2）N为偶数
()
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 118 /178
例如：设计所希望的滤波器是理想低通滤波器，要
求截止频率为ωc，抽样点数N为奇数，则A(k) 、φ(k)
可以下列公式计算：
kc为小于或等于 的最大整数。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 119 /178
逼近误差
1、逼近误差的特点
例 用频率抽样法设计一个具有第一类线性相位
FIR低通滤波器，要求截止频率ωc =π，绘制出当
频域抽样点数 分别为15、65时的设计结果波形，并
分析逼近误差的特点。
解：以理想低通滤波器作为希望逼近的滤波器，则
频率响应函数为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 120 /178
（1）对Hd(ejω) 进行抽样。先计算在通带内的抽样点
数kc +1（ω =0~ π）。依据所要求的截止频率，得
则
接下来，从ω=0开始对Hd(ejω) 在ω =0~ 2π抽样15点，
得到幅度抽样A(k)，如图(a)所示。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 121 /178
图 例波形
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 122 /178
因为N为奇数，所以依据式()的设计公式，此时
相位抽样为
由此得频率抽样H(k)为
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 123 /178
（2）求解h(n)
（3）求解设计所得滤波器的频率响应H(ejω)
由于A(k)=A(N-k)，φ(k)=-(N-1)kπ/N，所以满足线性
相位条件。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 124 /178
当N=65时，幅度响应如图所示，为了便于比较，
与N=15的曲线绘制在一起。其中，由黑圆点所描述
的曲线是N=65时绘制出的 波形，空心圆表示N=15
时的 波形。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 125 /178
由上图看出，抽样点数N越大，Hd(ω)平坦区域的误
差越小，过渡带也越窄，通带与阻带的波纹变化越
快。本例中当N=15时，阻带最小衰减δst约为,
当N=65时， δst约为, 可见N的增大对阻带的最
小衰减并无明显改善。
2．逼近误差产生的原因(频域和时域）
频域：从式（）可以看出， H(ejω)在各频率抽
样点上等于本抽样点出的H(k)，但是在抽样点之间
则由各抽样值H(k)乘以相应的内插函数延伸叠加而
成。这样，在各抽样点处，二者的逼近误差为零；
而在各抽样频率点之间存在逼近误差，误差大小取
决于理想频率响应的曲线形状和N的大小。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 126 /178
时域：
依据频域抽样知识
若Hd(ejω)是分段的，则hd(n)是无限长的。这样，
hd(n)在周期延拓时，就会产生时域混叠，从而使所
设计的h(n)与所希望的hd(n)之间出现偏差。同时，
频域抽样点数N越大，h(n)越接近于hd(n)。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 127 /178
3．减小逼近误差的措施
1）增加过渡带抽样点
加大过渡带宽，即在不连续点的边缘增加值为0到1
之间（不包含0和1）的过渡带抽样点，可以缓和阶
跃突变，使所希望的幅度特性Hd(ω)由通带比较平滑
的过渡到阻带，从而使波纹幅度大大减小，同时阻
带衰减也得到改善，如图所示。
图增加过渡带抽样示意图
注意：这时总抽
样点数N并未改
变，只是将原来
为零的几个点改
为非零点
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 128 /178
增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，一般取过渡
带的抽样点数为1~3点即可得到满意的效果。
不加过渡抽样点：
加一点：
加两点：
加三点：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 129 /178
2）增大抽样点数 N
如果在要求减小波纹幅度、加大阻带衰减的同时，又
要求不能增加过渡带宽，则可以增大抽样点数N 。增
加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计
算量
优点：频域直接设计
缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍，
截止频率ωc不能任意取值。
()
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 130 /178
设计步骤及举例
（1）确定过渡带抽样点数m。依据给定的δst ，结合
表确定。
（2）估算抽样点数N 。依据给定的过渡带宽ΔB，利
用式（）来确定。
（3）确定所希望逼近的频率响应函数Hd(ejω) 。一般
选择Hd(ejω)为理想频率响应，注意应确保相位θ(ω)
为线性相位，而要Hd(ω)满足线性相位要求。
（4）对Hd(ejω)进行频域抽样，得到H(k) 。首先确定
在通带内的抽样点数kc +1（ω =0~ π）;然后进行抽样，
并加入过渡带抽样点。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 131 /178
（5）求解所设计滤波器单位抽样响应h(n)。对H(k)
做N点离散傅里叶反变换即得，即
（6）设计结果验证。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 132 /178
例 运用频率抽样法设计一个FIR低通数字滤波
器，要求截止频率ωc =π，阻带最小衰减δst ≥40 dB
，过渡带宽ΔB ≤ π，所设计的滤波器应具有第一
类线性相位。
解：（1）确定需增加的过渡带抽样点数m
根据所要求的δst ，由表看出，当m=1时，满足
δst ≥40 dB的要求。
（2）估算频域抽样点数，依据式()，得
留一点的裕量，取N=41
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 133 /178
（3）构造所希望的频率响应函数。依据题意选择以
下理想函数：
（4）频域抽样，求得H(k)
先求kc，依据所要求的截止频率，得
所以在通带内抽样9点（ω=0~π）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 134 /178
此题是h(n)偶对称，N为奇数的情况。所以从ω =0开
始对Hd(ω)在ω =0~2π内抽样41点，得到幅度抽样A(k)
在A(k)原为零的k=9、32处加入值为的过渡带抽
样点，即A(9)=A(32)=，则
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 135 /178
又依据式()得到相位抽样φ(k)为
由此得到频率抽样
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 136 /178
（5）求解h(n)。对H(k)做41点离散傅里叶反变换即
得，即
（6）分析所设计滤波器的频域性能。
将H(k)表达式带入内插公式（）化简，得
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 137 /178
依据上式分析滤波器的性能，从而验证设计结果是
否满足指标要求。设计过程及结果波形如图所
示。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 138 /178
图 例波形 阻带衰减：
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 139 /178
例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理
想低通滤波器，截止频率为π，抽样点数为N=33
，要求滤波器具有线性相位。
解：理想低通频率特性
按第一种频率抽样方式，N=33，得
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 140 /178
得线性相位FIR滤波器的频率响应：
过渡带宽：
阻带衰减：-20dB
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 141 /178
增加一点过渡带抽样点，令H(9)=
过渡带宽：
阻带衰减：-40dB
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 142 /178
增加两点过渡带抽样点，
且增加抽样点数为N=65，
令H(17)=
H(18)=
过渡带宽：
阻带衰减：-60dB
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 143 /178
窗函数设计法和频率抽样设计法的优点是简单
直观、易于实现。但同时二者存在以下不足：所设
计滤波器的通带和阻带的截止频率不易精确控制；
通带和阻带内的波纹幅度不能分开控制；由于所设
计的滤波器一般在阻带的截止频率附近刚好满足衰
减要求，而在大于该截止频率的频段，衰减加大，
因而存在很大的衰减裕量，即这两种设计方法存在
较大的资源浪费，所设计的滤波器性价比不高。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 144 /178
等波纹最佳逼近设计
法
针对窗函数设计法和频率抽样设计法存在的缺
点，我们希望有一种方法，在滤波器长度 给定的情
况下，设计出的滤波器是所能得到的所有滤波器中
性能最佳的，即寻求一种最优化的设计方法，而等
波纹最佳逼近设计法就是这样一种方法。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 145 /178
设计思想
设计滤波器的过程，其实就是用一个实际的频
率响应函数H(ejω)（或对应的h(n) ）对所希望的频率
响应函数Hd(ejω) （或对应的hd (n) ）的一个逼近过程。
而最优化设计过程则是依据某一优化准则，改变一
组变量值，进行迭代运算，寻求一种最佳逼近的过
程。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 146 /178
函数逼近准则
（1）均方误差最小准则：窗函数设计法
（2）插值逼近准则：频率抽样设计法
这两种逼近有一个共同的缺点：在整个要求逼近的
区间（0~π）内误差分布是不均匀的，特别是在幅度
特性具有跃变点的过渡区附近，误差最大。
（3）最大误差最小化准则：等波纹最近逼近设计法，
使得在要求逼近的整个范围内，逼近误差分布是均
匀的，所以也称为最佳一致意义下的逼近。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 147 /178
在设计滤波器时，对通带和阻带的性能要求是
不同的，为了统一使用最大误差最小化准则，则采
用误差函数加权的办法，使得不同频段（如通带和
阻带）的加权误差最大值是相等的。
设所希望的幅度频率响应为Hd(ω) ，实际设计
得到的频率响应为H(ω) ，误差的加权函数为W(ω)
，则定义加权逼近误差函数为
（）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 148 /178
使式()所定义的加权逼近误差函数 的最大绝对
值在各个要求逼近的频带内达到最小，即
式中，||E(ω)||为得到的最小值，A为所要求逼近的通
带和阻带。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 149 /178
交错点组定理
若H(ω)是r个余弦函数的线性组合，即
A是[0,π]内的一个闭区间（包括通带、阻带，但不包
括过渡带），Hd(ω)是A上的一个连续函数，则Hd(ω)
的唯一和最佳一致逼近的充要条件是：加权逼近误
差函数E(ω)在A中至少存在r+2个交错频率点
ω0<ω1<…<ωr+1,使得
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 150 /178
图低通滤波器的最佳逼近波形
r=(N-1)/2=7(N=15)
交错点组： 0、ω1、ω2、ωp、ωst、ω3、ω4、ω5、ω6、π
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 151 /178
（1）交错点数最多可能是r+3个
（2）交错点比出现在ω=ωp、ωst处
（3）除ω=0或ω=π外，滤波器在通带和阻带内必是
等波纹的
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 152 /178
设计方法
若希望设计的滤波器为线性相位理想低通滤波器，
其幅度响应函数为
现在的任务就是寻求一个H(ω) ，使其在通带和阻带
内最佳一致逼近Hd(ω) ，当然为了保证线性相位，频
率响应函数 要满足表中的相应条件。图中，
δ1为通带内波纹峰值、 δ2为阻带内波纹峰值。因此
在设计滤波器时，共有五个指标参数，即ωp 、 ωst
、δ1、δ2和单位抽样响应h(n)长度N。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 153 /178
对于低通滤波器，误差的加权函数为 定义为
用这种加权方式，逼近误差的最大绝对值在通带和
阻带上均为δ=δ1 。
依据交错点组定理，若知道A上的r+2 （此时r=(N-
1)/2）个交错点频率，则依据式()，得
（）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 154 /178
将上式写成矩阵形式
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 155 /178
瑞米兹（Remez）算法可以设计任何最优的线性相
位FIR滤波器，是一种非常实用的算法，将该算法的
步骤归纳如下：
（1）在频率子集A上等间隔地取r+2个频率点ωi
（i=0,1, …,r+1 ）作为交错点组（极值点频率）的初
始猜测值。将这r+2个 代入下式求出
（）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 156 /178
式中
此时的δ是相对于第一次猜测的交错点组产生的偏差，
一般不是最优值。接下来依据重心形式的拉格朗日
插值公式求得H(ω) ，即
（）
（）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 157 /178
式中
把求得的H(ω)代入式() 中，求出加权逼近误差
函数E(ω)。若对这组交错点组中的所有频率都满足
| E(ω )|>|δ|，则说明δ是纹波的极值，且初始猜测ωi
（i=0,1, …,r+1）恰好是交错点组频率，计算即可结
束。
（）
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 158 /178
（2）对上次确定的交错点组 ωi（i=0,1, …,r+1）中
的每一点，都检查在其附近是否存在使| E(ω )|>|δ|的
频率点，如存在，则在该点附近找出局部极值点，
并用找到的这一局部极值点代替原来的点。待r+2点
都检查完毕，便得到一组新的交错点组频率ωi
（i=0,1, …,r+1） ，再次依据式()～() 重新
计算δ 、 H(ω)和E(ω) ，这样就完成了一次迭代，也
就完成了一次交错点组的调整。
（3）利用和（2）相同的方法，再次调整交错点组
中频率。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 159 /178
重复上述步骤。由于每次得到的新的交错点组频率
都是上一次交错点组频率所确定的E(ω)的局部极值
点频率，因此在迭代过程中δ是递增的，最后δ收敛
到自己的上限，也即H(ω)最佳一致地逼近Hd(ω)的解。
所以，迭代过程在重复到新的δ与上一次的δ相同时
即可结束。由最后一组交错点ωi（i=0,1, …,r+1）依
据式()求出 ，再加上线性相位条件，作
DTFT（FFT）即可求出 。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 160 /178
等波纹最佳逼近法设计线性相位FIR滤波器的步骤
（1）确定滤波器的性能要求。主要是指确定所希望
设计滤波器的幅度频率响应函数Hd(ω) 、 W(ω)误差
加权函数W(ω)和滤波器单位抽样响应长度N。
（2）确定所希望设计滤波器的类型。这些类型包括
低通、高通、带通、带阻、差分器和Hilbert变换器。
（3）运用瑞米兹算法，求逼近问题
E(ω)= W(ω)[H(ω)-Hd(ω)]的解，得到H(ω)。
（4）计算所设计滤波器的单位抽样响应h(n)。
第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计 161 /178
设计过程中滤波器长度N需事先给定，对于低通滤波
器，通常用以下近似公式来估算滤波器长度：
与窗函数设计法和频率抽样设计法相比，运用等波
纹最佳逼近设计法得到的滤波器的最大误差均匀分
布，性价比最高。在N相同时，这种方法使所设计滤
波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小、
阻带最小衰减最大；在设计指标相同时，这种方法
设计出的滤波器阶数最低。
（）
THANKS
