算术亚式期权价格的边界
第 1章 引言
研究背景
期权，是一个赋予购买期权者在未来某一时间以一定价格买入或卖
出一定标的资产的合同。其中买入或卖出资产的价格被称为执行价格。期
权的卖方相应的具有完成交易的义务——在期权买方行权时，相应的卖出
或者买入标的资产。给予期权所有者以某一特定价格买入标的资产的权利
的期权被称为看涨期权；给予期权所有者以某一特定价格卖出标的资产的
权利的期权被称为看跌期权。期权的起源可以追溯至公元前 700 年左
右，根据亚里士多德的记载，第一个期权买者是古希腊数学家、哲学家泰
勒斯（Thales of Miletus）。在一个偶然情况下，泰勒斯预测下一年橄
榄将迎来比往年更大的丰收，生产橄榄油需要榨油器，因此，泰勒斯在橄
榄淡季向榨油器的拥有者以一笔较小的“期权费用”获得了来年春天榨油
器的使用权。在第二年春天，泰勒斯把橄榄油榨油器以高价出租，获得了
比“期权费用”更高的收入。在 1687 年，第一个有记载的股票期权合约
出现于伦敦，至十八世纪，伦敦交易所内已出现有组织的看涨期权和看跌
期权的交易。在二十世纪六十年代末的美国，虽然商品期货发展缓慢，但
也促使芝加哥期货交易所拓展其他业务。在 1973 年 4 月 26 日，芝加
哥期权交易所成立，也是全世界第一个期权交易所，这也标志着现代有组
织、正规化的期权交易时代的开启。期权发展至今天，已诞生欧式期权、
美式期权、百慕大期权、亚式期权、障碍期权等多种形式。亚式期权在上
世纪八十年由美国银行家信托在日本东京首次推出。作为典型的奇异期
权，亚式期权与美式、欧式期权有着非常大的区别。美式期权和欧式期权
的到期收益只取决于标的资产在到期日的价格，然而亚式期权的价格由标
的资产在未来一定时间段内的平均价格决定。因为亚式期权的到期收益是
路径依赖的，亚式期权的应用可以降低市场控制风险。此外，因为到期收
益由平均价格决定，相较于欧式期权和美式期权，亚式期权的波动率更
低。由于上述作用，亚式期权被广泛应用于商品、能源、外汇这些存在未
来时间段内平均价格风险的市场中。
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文献综述
对于几何平均亚式期权，由于标的资产价格的几何平均值的分布容
易得出，因此可以通过计算几何平均值的概率分布后套用 Black-Scholes
模型计算得出。在国内研究中，郑小迎、陈金贤（1999）分析了亚式期权
的特点及价值生成原理，并根据无套利原理，建立了能够反映亚式期权路
径依赖这一特点的多因素定价模型，并分别针对亚式期权的两个不同类型
（平均价格期权和平均执行价格期权）的定价方法进行研究。章珂、周文
彪等（2001）推导得出了连续时间情况下，几何平均亚式期权的定价公
式。曲军恒、沈尧天等（2004）对于有交易费的几何平均亚式期权建立离
散交易模型，通过无套利原理将非线性模型转化为线性 Black-Scholes
模型，并对方差进行修正，推出了有交易费的几何平均亚式期权的定价公
式。对于算术平均亚式期权的定价方面，主要方法有通过蒙塔卡罗模拟标
的资产价格路径、计算资产价格算术平均值的近似分布等方
法。Kemma、Vorst（1990）通过蒙特卡洛模拟方法处理算术平均亚式期权
的定价问题。虽然算术平均亚式期权的概率分布不能求得，但 Turnbull
和 Wakeman（1991）通过计算其分布的前两阶矩标的资产价格的算术平均
分布和对数正态分布相似，因此提出了通过计算“算数平均值的二阶矩近
似法”近似求出算术平均亚式期权的价格。Edmond Levy（1992）通过运
用几何布朗运动来代替股票标的资产的算术平均价格，把算术平均亚式期
权的定价问题变为一般欧式期权的定价。Hull、White（1993）通过在将
状态变量引入二叉树分析中，在二叉树框架下对路径依赖的期权进行定
价。Ju（2002）通过泰勒展开方法得出了离散情况下亚式期权的近似解析
解的定价公式。张静, 何春雄等（2010）对不完备市场中，当标的资产价
格出现不连续跳跃情况下，亚式期权的定价问题，并在标的资产的价格为
跳跃-扩散过程时，具有固定执行价格的算术平均亚式期权价格的下界公
式。
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第 2章 期权基本介绍
欧式期权
欧式期权是最基本的期权形式，欧式期权给予期权的买方在到期日
当天以某一特定价格买入或卖出一定数量标的资产的权利。根据行权方向
的不同，欧式期权分为欧式看涨期权和欧式看跌期权两种。期权市场经过
长期发展，如今已出现欧式期权、美式期权、百慕大期权、亚式期权、障
碍期权等多种形式。期权按行权时间不同可以分为：1. 美式期权
（American Option）：期权的买方在到期日前任何交易日都可以行权的
期权。2. 欧式期权（European Option）：期权的买方只有在到期日可以
行权。3. 百慕大期权（Bermuda Option）：期权的买方可以在到期日前
的一系列时间内行权的期权，百慕大期权可以看作是介于欧式期权和美式
期权之间的一种期权。通常情况下百慕大期权允许期权买方在某几个特定
的日期行使权利。期权按照买方行权的方向不同可以分为：1. 看涨期权
（Call Option）：期权买方通过支付一定期权费用，获得在未来某一时
间以某一确定价格买入一定数量标的资产的权利。2. 看跌期权（Put
Option）：期权买方通过支付一定期权费用，获得在未来某一时间以某一
确定价格卖出一定数量标的资产的权利。其中欧式期权和美式期权被称作
常规期权（Vanilla Option），与常规期权相对应的是奇异期权（Exotic
Option）。常见的奇异期权包括亚式期权、百慕大期权、回望期权、障碍
期权等。奇异期权相对常规期权更为复杂，种类繁多，例如期权的到期收
益不仅取决于标的资产在到期日的价格，而是由多个时间点的平均价格决
定，或是一段时间内的最高价或最低价决定。奇异期权的标的资产可能不
止一种，而是由不同资产的加权组合决定，例如篮子期权（Basket
Option）。奇异期权因其复杂的形式，期权价格相对常规期权难以确定。
亚式期权作为奇异期权的代表，也具有奇异期权定价复杂的特点。以下将
主要介绍欧式期权、美式期权以及亚式期权的定价理论。
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美式期权
美式期权允许期权买方在到期日前任意交易日行使权利。对于无红
利美式看涨期权的买方来说，若期权是虚值期权，显然期权的持有者不会
提前行权，若期权是实值期权，提前行权只能得到期权的内含价值
（intrinsic value）而得不到期权的时间价值（time value）。综上，
在到期日之前提前行权是不明智的，因此无红利美式看涨期权的价格等于
同样对应的欧式看涨期权的价格。美式看跌期权由于可以提前行权，因此
不能套用欧式看涨期权定价方法，但是美式看跌期权的价格可以通过半差
分算法、最小蒙特卡洛算法计算得出。
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第 3 章 同单调理论...........8
第 4 章 一般亚式期权的上界与下界.........11
亚式看涨期权价格边界.........11
亚式看涨期权价格一般下界.........11
亚式看涨期权价格下界 - LB1.........11
亚式看涨期权价格下界 - LB(1)t.........12
亚式看涨期权价格下界 - LB(2)t.........12
亚式看涨期权价格价格上界 13
亚式看跌期权边界.........13
亚式看跌期权价格的一般下界.........14
亚式看跌期权价格下界-PLB1.........14
亚式看跌期权价格下界-PLB(1)t.........15
亚式看跌期权价格下界-PLB(2)t.........18
亚式看跌期权价格上界.........20
第 5 章 欧式期权价格 .........21
Black-Scholes 模型.........21
Heston 模型.........23
第 5章 欧式期权价格
因为在本论文中，算术平均亚式期权的价格均以相应的欧式看涨、
看跌期权价格表示出来，因此在此部分中将介绍欧式期权价格计算的方
法。此外，因为本论文所推出的亚式期权边界是不基于模型的，在理论上
可以适用于任意模型。为检验本论文的价格边界在不同模型下的适用性，
本论文将针对 Black-Scholes 和 Heston 模型展开研究，因此在本部分
中主要介绍 Black-Scholes 模型和 Heston 模型下的欧式期权价格计算
方法。
Black-Scholes模型
上一部分中介绍了 Black-Scholes 框架下的欧式看涨期权和看跌期
权的价格的计算方法，但可以看出存在很明显的缺陷，在上一部分中，我
们假定波动率是固定不变的，然而在真实市场中证券在一定时间内的波动
率是可能发生变化的。因此，假定波动率为一常数会对模型造成一定的误
差。对于看涨期权和看跌期权，通过蒙特卡洛模拟得出的期权价格大部分
落在三个下界以上，因此可以说明第四章中所推出的期权价格边界同样适
用于 Heston 模型。但需要注意的是当期权是虚值期权时（即看涨期权执
行价格高于初始价格，看跌期权执行价格低于初始价格），计算得出的期
权价格边界存在一定的误差，这一误差可能是由于在计算 Heston 模型下
欧式期权价格时，对于复数积分采用求极限的方法造成的。修正这一误差
可以通过快速傅里叶变换的方法计算相应欧式期权价格改进。
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结论
本文介绍了 Albrecher（2008）研究所得出的亚式看涨期权价格的
边界的表达形式，并运用同单调相关性质推导得出了看跌期权的价格边
界。论文中所推出的期权价格边界均以市场中可获得的欧式期权价格表
示。对于期权价格的下界，可通过某一欧式期权价格及相关参数的计算得
出；对于期权价格的上界，可以通过欧式期权的资产组合的价格表示出。
另一方面，亚式看涨、看跌期权的价格边界分别以欧式看涨和看跌期权的
价格决定。在论文的第六章，通过数值实验的方法对以上亚式看涨期权进
行了验证。通过将蒙特卡罗模拟法计算得出的亚式期权价格同按照本文方
法计算得出的亚式期权边界相比，我们发现通过蒙特卡洛模拟得出的价格
落在上界和下界之间，这也证明了以上边界的适用性。
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参考文献（略）
