第三章
抽样误差与t分布
如：总体均数
总体标准差
如：样本均数
样本标准差S
总体 样本样本
抽取部分观察单位
统计量统计量参参 数数
统计推断
统计推断
在医疗卫生实践和医学研究中，往往难以对所要
研究的总体进行全部观察，通常从总体中随机抽
取样本进行观察，然后由样本的信息去推断总体
特征，这种研究方法叫做抽样研究方法。
用样本的信息去推断总体特征，这种分析方法称
为统计推断。
基本手段
直接推断（参数估计）
间接推断（假设检验）
总体参数的估计
• 均数的抽样误差
• t分布
• 总体均数的估计
抽样误差的定义
• 假如事先知道某地七岁男童的平均身高为。为了
估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符
合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
μ＝
σ=
三次抽样得到了不同的结果！！！！
原因何在？？？？
如果没有个体变异……
No Variation!
No Sampling Error!
No Random
sampling!
No Sampling Error!
如果没有抽样研究……
• 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
个体变异 随机抽样
不同男童的
身高不同
每次抽到的
人几乎不同
抽样误差
【定义】由于个体变异的存在，在抽
样研究中产生样本统计量和总体参数
之间的差异，称为抽样误差
（sampling error）。
各种参数估计都有抽样误差，这里我们以均
数为研究对象
抽样误差产生的条件
• 抽样研究
• 个体变异
抽
样
误
差
的
表
现
样本均数和
总体均数间
的差别
样本均数和
样本均数间
的差别
抽样误差是不可避免的，可以通过保证总体
的同质性及增大样本含量来缩小抽样误差。
从正态分布总体N（,）中，每
次随机抽取样本含量n＝5，并计算其均数与标
准差；重复抽取1000次，获得1000份样本；计
算1000份样本的均数与标准差，并对1000份样
本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含
量n＝30的抽样实验；比较计算结果。
抽样误差的规律性
—正态分布抽样正态分布抽样
抽样试验（n=5）
抽样试验（n=10）
抽样试验（n=30）
1000份样本抽样计算结果
总体的
均数
总体标
准差
均数的
均数
均数标准差
n=5
n=10
n=30
3个抽样实验结果图示
非正态分布抽样
• 分别从各总体中抽取10000个样本含量为
n的样本，计算每个样本的均数，并绘制
频数分布图。
• n分别取2、4、10、25。
偏三角分布抽样
均匀分布
指数分布
双峰分布
• 从正态总体中随机抽样，其样本均数服从正
态分布；
• 从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大
时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布；
• 样本均数之均数的位置始终在总体均数的附
近；
• 随着样本含量的增加，样本均数的离散程度
越来越小，表现为样本均数的分布范围越来
越窄，其高峰越来越尖。
中心极限定理
从正态总体中随机抽取例数为n的样本，样
本均数x也服从正态分布，即使从偏态总体
中抽样，只要样本例数足够大，如n>50，
样本均数x也近似正态分布。
从均数为 ，标准差为的正态总体中随机
抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数
为 ，标准差为x
中心极限定理
标准误的定义
样本统计量（如均数）也服从一定的分布。
与描述观测值离散趋势的指标类似，样本统
计量的标准差就反映了从某个总体中随机抽
样所得样本之均数分布的离散程度。
用样本统计量的标准差来反映抽样误差的大
小。又称标准误(standard error)。
x 标准误
x = / n
sx = s / n
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的
离散程度，体现了抽样误差的大小。
标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本率）
的离散程度越大，即用样本统计量来直接估计总体
参数越不可靠。反之亦然。
标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从
标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一
定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们可以
通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
用途：用途：
(1)衡量样本均值的可靠性
(2)估计总体均值的可信区间
(3)用于均数的假设检验
t分布
随机变量X
N（，s2）
标准正态分布
N（0，12）u变换
标准正态分布
N（0，12）
均数
Student t分布
自由度ν=n-1
t变换
由. Gosset提出
t= x-
s/ n
对于不同的n,有不同的t分布曲线。
（n-1）称为
t分布的自由度
f(t) =∞(标准正态曲线)
=5
=1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
t分布的特征：
①t分布为一簇单峰分布曲线。
②t分布以0为中心，左右对称。
③t分布与自由度ν有关，自由度越小，t分布的
峰越低，而两尾越高；自由度逐渐增大时，t分
布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大
时，t分布就是标准正态分布。
t分布曲线下面积规律
• t分布曲线下总面积仍为1或100%
• t分布曲线下面积以0为中心左右对称
• 由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定
面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是
随自由度的大小而变化
• 其通式为
单侧：P(t≤-t,)=或P(t≥t,)=
双侧：P(t≤-t/2,)+P(t≥t/2,)=
• 图中非阴影部分面积的概率为，
P(-t/2,<t<t/2,)=1-
t分布的界值
t,
检验水准
(尾端概率)
自由度
在t 检验中很重要
t 界值表
横标目：自由度， υ
纵标目：尾端概率， p, 即曲线下阴影部分的面积;
表中的数字：相应的 |t | 界值。
附表2，t分布表的特点
• 附表2的横标目为自由度，纵标目为概率P，表
中数值为其相应的t界值，记作t, 。
• 附表2只列出正值，若计算的t值为负值时，可用
其绝对值查表 。
• 附表2右上附图的阴影部分表示t,以外尾部面积
的概率 。
单侧,30=，表示ν=30时，t≥的
概率或t≤的概率为，记作P(t ≤-
)=或P(t ≥)=；
双侧,30=，表示ν=30时， t≥的
概率和t≤的概率之和为，记作P(t
≤)+ P(t ≥)=
图中非阴影部分面积的概率为：
P(-α/2,ν<t< tα/2,ν)=1-α
从附表2中还可以看出，双侧概率P为单侧
概率的两倍，如双侧
,30=
标准误与标准差的关系
区别 标准差 s 标准误 sx
意义 个体变异 统计量的抽样误差
用途 正常值范围 总体均数的可信区间
（x±） （ x±t , s x）
与n关系 n s趋于稳定 n sx趋于 0
联系 1.两者都是变异指标，说明个体
之间的变异用标准差，说明统计量之
间的变异用标准误。
2.当样本含量不变时，标准差大，
标准误亦大，均数的标准差与标准误
成正比。
