联结词和真值联结词
“p并且q” 与 “p∧q”的区别
（1）小张和小李结了婚，并且有了孩子。
如果交换句（1）中两个支命题的位置，得到：
（2）小张和小李有了孩子，并且结了婚。
句（2）的含义显然较之句（1）有了变化。这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其它什么意思。
如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。
常用真值联结词 ，，，，
真值形式
真值形式是只包含真值联结词与命题变项的公式。
f1 f2 f3 f4 [表1] 一元真值联结词共有4个
p f1 f2 f3 f4
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
f3 即是
[表2] 二元真值联结词共有16个
p q g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13 g14 g15 g16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
常用二元真值联结词各是哪几个？
一般地，n元真值联结词共有22n 个。
真值联结词的可定义性
例如：表2中的二元真值联结词g3，表示“只有p，才q”，可定义为p→q，这说明g3 可由，→这两个真值联结词定义。
问题：如何定义表1中的f1、f2 和f4 ？
p f1 f2 f3 f4
1 1 1 0 0
0 1 0 1 0
f1可定义为p∨p。
f4 可定义为p∧p。
f2 可定义为p。
f3 即是 。
真值联结词的完全性
一组真值联结词是完全的，当且仅当由它能定义任一n元真值联结词。
{，∧，∨， ， }是完全的。
{，∧，∨， }是完全的。
{，∧，∨ }是完全的。
{，∨ }是完全的。
{，∧}是完全的。
{， }是完全的。
{， }是不完全的。
{∧，∨， ， }是不完全的。
{，∧，∨， ， }是完全的。（证明略）
{，∧，∨， }是完全的。
证明：pq 可定义为 （pq）∧（qp）
{，∧，∨ }是完全的。
证明： pq 可定义为p∨q
{，∨ }是完全的。（据德摩根律）
{，∧}是完全的。（据德摩根律）
{， }是完全的。
证明： p∧q可定义为（p q）
{， }是不完全的。（证明略）
{∧，∨， ， }是不完全的。（证明略）
真值联结词的独立性
在一组真值联结词中，某个联结词如果不能由该组中其它联结词定义，则称为是独立的；一组真值联结词满足独立性，当且仅当其中每个联结词都是独立的。
基于以上的讨论，可知：{，∧，∨ }满足完全性但不满足独立性；{→，}，{∧，}和{∨，}既满足完全性又满足独立性。
p q p|q “|” 即是表2的g9。
1 1 0 “p|q”的意思是： p和q
1 0 1 不都真。
0 1 1
0 0 1
{|} 满足完全性。
证明：p可定义为 p|p ，
p∨q可定义为（p|p）|（q|q）。
[例] 只用“|” 表达 “小张既高又胖”
令p=“小张高” ，q表示“小张胖”
则“小张既高又胖”
= pq
= （p q）
= （ p|p q|q）
= （ p|p q|q）|（ p|p q|q）
= （（ p|p）|（ p|p））|（（ q|q）|（ q|q））|
（（ p|p）|（ p|p））|（（ q|q）|（ q|q））
