第!"卷第#期
!""$年#月
统 计 与 信 息 论 坛 %&’(!")&(#
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收稿日期：!""-.##.#/
作者简介：王佐仁（#0$1. ），男，陕西省乾县人，教授，研究方向：概率论与数理统计、随机过程、抽样技术；
张维群（#010. ），男，陕西省旬邑人，讲师，研究方向：抽样技术、统计预测与决策；
耿宏强（#02". ），男，陕西省千阳人，讲师，研究方向：数理统计。
【统计理论与方法】
总体分高低成本下的
复合多目标抽样方案的设计与应用
王佐仁，张维群，耿宏强
（西安财经学院 统计学院，陕西 西安2#""1#）
摘 要：文章依据复合多目标抽样的基本原理，提出了高低成本指标广义相关下的多目标复合抽样方法
的设计方案，探讨了依广义相关性进行分类的抽样方案在精度和成本方面的优良性，并进行了实际比较与应
用。
关键词：多目标抽样；成本；总体；方案设计
中图分类号：3!!! 文献标识码：4 文章编号：#""
成本条件下复合多目标抽样方案的设计是将
所有指标依成本分为高成本和低成本两大类，即
!"（"##，!，⋯，$）和%&（&##，!，⋯，’），并利用
!"和%&之间的广义相关性，对!"进行估计。
在成本条件下复合多目标抽样理论中，假定调
查费用主要受调查单位指标费用大小的影响。其实
在现实抽样实践中调查费用针对不同的总体费用是
不同的，比如在调查实践中距离调查组织单位的远
近、交通方便与否等因素，使得调查不同区域的单位
时调查费用是不完全相同的。显然，仅依据调查单位
指标费用大小而不考虑不同区域单位调查费用的差
异显然是不合乎实际的。
因此，考虑不同地区抽样成本的差异是我们在进
行多目标抽样方案设计中应当予以重视的。这里笔者
将对复合多目标抽样方案设计进行改进，在考虑调查
区域成本差异和调查单位成本差异的基础上，设计考
虑区域成本差异的复合多目标抽样调查方案。
一、总体分高低成本的复合
多目标抽样方案设计
笔者在考虑不同区域调查单位费用不同情况
下，复合多目标抽样的方案设计，目的是尽可能地节
约调查成本，提高调查指标的精度。
不妨将总体分为高成本地区单位和低成本地区
单位。高成本地区单位集合为(（"），低成本地区单
位集合为(（)），这里有(（"）*(（)）#(，(为调查总
体，其费用定义为：
+（"）" ：高成本地区高成本指标单位调查费用
+（"）) ：高成本地区低成本指标单位调查费用
+（)）" ：低成本地区高成本指标单位调查费用
+（)）) ：低成本地区低成本指标单位调查费用
为了尽可能节约调查费用，并根据复合多目标
调查的原理，笔者从低成本地区随机抽样出较少的
样本来调查高低成本指标，从高成本地区随机抽出
较多的样本来调查低成本指标，这样显然能够大大
地降低调查费用，从而达到节约调查费用之目的。这
里设主样本为,#，,#是从低成本地区随机抽样的样
本容量，用以调查高成本指标和低成本指标；从高成
本地区选择,!个样本，以调查低成本指标，并可根
据复合多目标抽样调查方案理论运用高低成本指标
关系估计出总体高成本指标与低成本指标的大小和
估计精度。
!# 万方数据
利用总体分为高低成本的复合多目标抽样调查
的设想，有总成本：
!"!!#!
（$）
% #!
（$）
$&"#!
（%）
$ &#
根据复合多目标的理论有指标估计量：
’($"
"
!)"* #!)#*!*")($，*
（"）
’+%",
"
&"!*")+%，*#,!
$
$""-%，$
（ "
&"#&#!*")($，*.
"
&"!*")($，*） （#）
指标的方差估计为：
/（’($）"(0$")"1#($ （$）
’+%的总估计量的最小方差：
/（’+%）"+0$")"+2.#30%4."3& （%）
其中 4"(0 ")#")"."))".")")(
("（("，(#，($，⋯，($）
3%"(0（")".")")）+%
至此仍然以上面的估计量作为高低成本地区多目标
抽样调查高低指标的估计量。同时可以把总体)分
成高低成本地区)（%）、)（$），分别从其中抽取的样本
是和复合多目标抽样调查设计的理论是一致的，只
不过和一般复合多目标抽样调查不同的是抽样概率
发生了变化。
设低成本地区单位总量为,"，高成本地区单位
总量为,#，,","#,#，经计算有：
!)"* "
&"
,"
!)"*5 "
&"（&"."）
,"（,"."）
!)"1#* "!)"* #!)#* !)#* "
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,1,
")") "
!)"*5#!)"#*5
!)"*（!)"5 #!)#5）
.（ ）"
,1,
将这些数值代入（$）式和（%）式有：
/（’()"1#$ ）"(0$")"1#($
/（’+)"1#% ）"+0%")"+%4."3%
当6%"4."3%时，/（’+)"1#% ）最小。
3%"(0（")".")")）+%
4"(0 ")#")"."))".")")(
在实际抽样中，可以根据上面数据得出’($、’+%
以及/（’($）、/（’+%）的数值。
二、总体分高低成本下复合
多目标抽样的成本讨论
根据总体分高低成本下复合多目标抽样的成
本：
!$ "!!#（!
（$）
% #!
（$）
$ ）&"#!
（%）
$ &#
复合多目标抽样的总成本：
!"!!#（!%#!$）&"#!"&#
当&"、&#、!!不发生变化时，则有：
!$%!
（%）
$ !%&!
（$）
%
由于!（$）% #!
（$）
$ 与!
（%）
$ 比较起来要大得多，因此有
!&!$。显然，总体分高低成本下复合多目标抽样
的成本较复合多目标抽样的总成本要小，它的前提
条件是高低成本之间的相关性不发生变化。根据总
体分高低成本下复合多目标抽样的思想，将总体分
为高低成本的两个抽样集合，高低成本指标的分类
并不改变，它并不影响总体指标之间的相关性，这个
条件是满足的。因此，在相同成本条件下，&"与复合
多目标抽样的&"相同，而&#显然要变大，因此
/（’($）、/（’+%）必然要减少。
三、应用实例
先运用一般的复合多目标抽样设计方法对
#!!#年陕西省建筑业的资料数据进行抽样模拟。
（一）一般复合多目标抽样设计方法
"&确定高低地区抽样的个数，依据多目标复合
抽样的方法（见表"）。
表" 指标相关的统计量表
指 标 总和 平均值 标准差
企业收入 #$$!’() "*’($7#) %!+(*7’#"(#
建筑业总产值 ###($*’7! "’’$*7"$% $+%(*7+*#+
生产经营用固定资产 ’’#%$*7! %(%$7)’! "!"*%7##+#
房屋建筑施工面积 #7!8#!* "%’"#$7’ "%""+*7!’)!
房屋建筑竣工面积 +(+$##$7$ ’*!$+7(+! )(()$7!**%
优良品率 +(!%7* ’’7%)$ #$7%!!$
把“企业收入”、“建筑面积”、“优质品率”视为
低成本，即9$（$""，#，$）；把“建筑总产值”、“生产
经营用固定资产”、“建筑竣工面积”视为高成本，即
:%（%""，#，$）。
（"）计算低成本指标9$（$""，#，$）的相关系
$"
王佐仁，张维群，耿宏强：总体分高低成本下的复合多目标抽样方案的设计与应用
万方数据
数矩阵!"及其逆矩阵：
!"#
!$"""" "$"#$$ "$!%&$
"$"#$$ !$"""" "$"’’"
"$!%&$ "$"’’" !$
!
"
#
$""""
故可以求得!"的逆矩阵为：
!%!" #
!$"(!& %"$"($! %"$!%$’
%"$"($! !$""’’ %"$"#)!
%"$!%$’ %"$"#)! !$
!
"
#
$"(*&
（*）计算高成本指标与低成本指标的相关系数
向量：!&’(（’#!，*，&）
!&!( # "$%%%# "$"’&’ "$［ ］!%))
)
!&*( # "$$##’ %"$""!& "$［ ］*"*#
)
!&&( # "$"!#’ "$)’!! "$［ ］"#’!
)
（&）计算高成本指标&’（’#!，*，&）与低成本
指标 (*（* # !，*，&）之 间 的 广 义 相 关 系 数
!)&’(!
%!
(!&’(得：
!)&!(!
%!
(!&!( #"$%%%"
!)&*’(!
%!
(!&*( #"$)&’(
!)&&(!
%!
(!&&( #"$#$"&
（(）在总费用相同的条件下，比较多指标复合
抽样方法与随机抽样方法的精度：
+#&" ,#**"
当-% #"$!时：
高成本指标： !)&’(!
%!
(!&’( +!（’）
建筑总产值： "$%%%" *$$%"
生产经营用固定资产： "$)&’( *!$(")
建筑竣工面积： "$#$"& *&$%()
+!#*( +*#’"
因此，与简单随机抽样比较得出指标的抽样精度的
提高（见表*）。
表* 复合多目标抽样与简单
随机抽样的抽样精度提高表
指标
企业
收入
建筑业
总产值
生产经
营用固
定资产
房屋建
筑施工
面 积
房屋建
筑竣工
面 积
优良
品率
抽样精度$*$$(. $*$)!. #*$#". $*$$(. &($##. $*$$(.
（二）利用总体分为高低成本地区计算指标的
抽样精度
总体为**"个个案中，低成本地区的总体为,!
#$"个，高成本地区总体为,*#!("个。总体分高
低成本复合多目标抽样设计方法是在,!中抽取高
低成本指标，在,*中抽取低成本指标方法，运用一
般复合多目标抽样设计方法进行抽样（这里+#
&"，,#**"，-%#"$!，+!#*(，+*#’"与上面一
般复合多目标抽样方法一致），所以分别有抽样概
率：
!/!0 #
+!
,!#
*(
$"#"$&
!/*0 #
+*
,*#
’"
!("#"$(&
!/!01 #
+!（+!%!）
,!（,!%!）#
*(2*&
$"2)%#"$"$)
!/*01 #
+*（+*%!）
,*（,*%!）#
’"2#%
!("2!&%#"$!$*
!/!*01 #
+!+*
,*,!#
*(2’"
$"2!("#"$!*%
（0〈〉1）
!/!2*0 #!/!013!/*01 #"$*’% !!*00 #"
!/!2*01 #!/!013!/*013!/!*10 3!/!*01 #"$#*)
将以上概率代入下式：
"/!2*#
!/!2*01
!/!2*0 !/!2*1
%（ ）!
,2,
# "$#*)"$*’%%"$*’%%（ ）!**"2**"
#（’$*$）**"2**"
"/!#
!/!01
!/!0!/*1
%（ ）!
,2,
# "$"$)"$&2"$(&%（ ）! ,2,
#（%"$&*’）**"2**"
"/!/ #
!/!013!/!*01
!/!0（!/!1 3!/*1）
%（ ）!
,2,
# "$"$)3"$!*%"$&（"$&3"$(&）%（ ）! ,2,
#（%"$"!(）,2,
4’#")（"/!%"/!/）5’
#")（%"$&!*）,2,&’
6#") "/3"/!%"//!%"/!［ ］/"
#")（%"$*%&）,2,"
因此有高低成本指标的抽样方差结果如下：
7（8"/!2** ）#")*"/!2*"*
#’$*$2/*"*
7（85/!2*’ ）#5)’"/!5’%4)’6%!4’
#"$$’2/*5’
这里依据抽样精度的提高
（7!%7*）
7!
有总体分高
低成本的复合多目标抽样调查的精度提高（见表
&）。
(!
统计与信息论坛
万方数据
表! 总体分高低成本下的复合多目标抽样与
简单随机抽样的抽样精度提高表
指标
企业
收入
建筑业
总产值
生产经
营用固
定资产
房屋建
筑施工
面 积
房屋建
筑竣工
面 积
优良
品率
抽样精度""!##" ""!"$" ""!"$" ""!##" ""!"$" ""!##"
显然，运用总体分高低成本复合多目标抽样设
计方法较一般复合多目标抽样设计方法的抽样精度
提高要明显的多。这是因为运用总体分高低成本复
合多目标抽样设计方法是分层抽样的推广，而一般
复合多目标抽样设计方法是简单随机抽样。所以总
体分高低成本复合多目标抽样设计方法的精度比一
般复合多目标抽样设计精度提高要大的多。
参考文献
［%］（美）科克伦 &’(’抽样技术［)］’张尧庭，吴 辉译’北京：中国统计出版社，%"*#’
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［$］ E:6/:16G/50@<A41C/77:75416G/@/6G:;:=;:98A/50@<A41C［,］’H01LGD0，%""!，（K）：!!-’
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［K］ 张维群’多目标抽样调查的模型选择［,］’统计与信息论坛，+---，（$）：!"M$+’ （责任编辑：郭诗梦）
!"#$%&’(%)*+,#-./0’*1#2$%&’34560%3/"7%89,:%";%,%"40*<%:
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!’中文题目、作者、具体单位、摘要、关键词的英文翻译。
$’论文的开始应有本论题的研究成果综述，指出本文的创新点是什么。
#’参考文献必须规范化。本刊采用顺序标注法。参考文献的所有序号必须在文中引用参考的位置用
［ ］以上标的形式顺序标出。文末列示时，以文中出现的顺序为序。
K’参考文献要素要齐全。包括责任者；文章（专著）名；文献类型及载体类型标识；期刊的名称、卷、期次；
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J’图和表必须有简明的名称，不必要的图、表可以省略。小数点后保留的位数应适当。
*’文中的外文字母应注明文种，要认真区分大小写。
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本刊编辑部
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王佐仁，张维群，耿宏强：总体分高低成本下的复合多目标抽样方案的设计与应用
万方数据
