第十章 抽样与抽样分布
第一节 抽样与抽样分布
第二节 参数估计的基本方法
第三节 总体参数的区间估计
第一节 抽样与抽样分布
一、抽样判断
二、抽样方法
三、抽样分布
一、抽样判断
◆什么叫抽样判断
从所研究的总体全部元素（单位）中抽取一
部分元素（单位）进行调查，并根据样本数
据所提供的信息来推断总体的数量特征叫样
本推断。
二、抽样方法
根据抽取样本的原则不同，抽样方法有概率
抽样和非概率抽样。
概率抽样的常用方法有：
1、 简单随机抽样
2、 分层抽样
3、 整群抽样
1、简单随机抽样
①从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为
样本，使得每一个容量为n的样本都有相同的
机会(概率)被抽中
②抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样
③特点:简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中
抽取样本
④局限性
当N很大时，不易构造抽样框，抽出的单位很分
散，给实施调查增加了困难，没有利用其他辅助
信息以提高估计的效率
2、分层抽样
①将抽样单位按某种特征或某种规则划分为
不同的层，然后从不同的层中独立、随机地
抽取样本
②优点
保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高
估计的精度
组织实施调查方便
既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标
量进行估计
3、整群抽样
①将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时
直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全
部实施调查
②特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量
调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查
的实施
缺点是估计的精度较差
三种不同性质的分布
1、总体分布
2、样本分布
3、抽样分布
三者之间有什么关系
？
1、总体分布
1）总体中各元素的观察值所形成的相对频数
（频率）分布
2）分布通常是未知的(因为几乎得不到总图
所有观察值)
3）可以（根据理论分析）假定它服从某种分
布
总体总体
2、样本分布
1）一个样本中各观察值的形成的相对频数
（频率）分布
2）也称经验分布
3）当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐
接近总体的分布
3、抽样分布
1）样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复
选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可
能取值形成的相对频数分布
2）样本统计量是样本的函数，依据不同的样本计算
出来的值是不同的所以统计量是随机变量
样本均值, 样本比例，样本方差等
3）结果来自容量相同的所有可能样本
4）提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推
断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
(1)总体分布、样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即
总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，
x2=2，x3=3，x4=4 。总体分布、总体的均
值、方差及分布如下
总体分布总体分布
11 4422 33
00
.
.
.
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件
下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
3,43,33,23,13
2,42,32,22,12
4,44,34,24,14
1,4
4
1,3
321
1,21,11
第二个观察值
第一个
观察值
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
计算出各样本的均值，如下表。并给
出样本均值的抽样分布
4
321
第二个观察值
第一个
观察值
16个样本的均值（ ）
xx
样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布
00
PP ( ( x x
))
样本均值的分布与总体分布的比较
的分布形式与原有总体和样本容量n的大小
有关
总体分布
11 4422 33
00
.
.
.
抽样分布抽样分布P P ( ( x x ))
00
.
.
.
xx
= =
σσ22 = =
当总体服从正态分布N(μ, )时，样本均值的抽
样分布仍然是服从正态分布的，其均值仍为 μ ，
方差为 ，即样本均值的方差比原总体的方差
要小，而且样本容量n越大，方差越小。
= =
22 = =
XX
总体分布总体分布
上述结论是对正态总体而言的，不过实际上，
即使对于非正态总体而言，随着样本容量的
增加，的抽样分布也会近似地变成正态的。
事实上，只要样本足够大（通常要求样本容
量不小于45），即使是从非正态分布的总体
中抽样，根据统计学中的中心极限定理，样
本均值的抽样分布与从正态分布总体中的抽
样所得到的结果也近似相同。
总结：样本均值的抽样分布
样本均值的数学期望仍为μ
样本均值的方差（方差的概率意义在于刻画
了随机变量取值的分散程度。方差越小，随
随机变量的取值越集中在期望值附近。）
重复抽样
不重复抽样
（2）样本比例的抽样分布
总体中具有某种属性的单位数与总体全部单
位数之比称为总体比例，也称总体的成数，
记作 P。而样本中具有某种属性的单位数与
样本总数之比称为样本比例，或称样本成数，
记作 p 。
若从总体中随机抽取出容量为n的样本，发现
其中具有某种属性的单位数为m，则样本中
具有某种属性的单位的比例就为
p=m/n
样本比例是一个随机变量，当样本容量很大
时，近似地服从正态分布。其分布的数学期
望为总体的成数 ，方差等于 ，即：
第二节 参数估计的基本方法
参数估计也就是用样本统计量去估计总体的
参数。比如，用样本均值估计总体均值估计
总体均值，用样本方差估计总体方差，用样
本比例估计总体比例等。
用来估计总体参数的统计量的名称，称为估
计量，用符号 表示
用来估计总体参数时计算出来的估计量的具
体数值，称为估计值
点估计与区间估计
参数估计的方法有点估计和区间估计
◆（一）点估计
点估计又称定值估计。它是用实际样本指标
数值代替总体指标数值，即总体平均数的点
估计值就是样本平均数，总体成数的点估计
值就是样本成数。这种估计不考虑是否有抽
样误差。
例如，对一批某种型号的电子元件10000只
进行耐用时间检查，随机抽取100只，测试的
平均耐用时间为1055小时，合格率为91%，
我们推断说10000只电子元件的平均耐用时
间为1055小时，全部电子元件的合格率也是
91%。
评价估计量的标准
用于估计θ的估计量很多，究竟用样本的哪种
估计量作为总体参数的估计呢？
统计学家给出了一些标准：
(一)无偏性。即以抽样指标估计全及指标要
求抽样指标值的平均数等于被估计的全及指
标本身。
(二)一致性。即当样本容量n充分大的时，若
样本指标充分地靠近被估计的全体指标，则
该样本指标是被估计的全体指标的一致估计
量。
(三)有效性。即如果一个样本估计量的方差
比其他估计量的方差小，则称该样本估计量
是被估计的全及指标的有效估计量。
(二)区间估计
区间估计所表明的是一个可能范围，不是一
个绝对可靠的范围。是用样本指标和它的抽
样极限误差构成的区间来估计总体指标，并
以一定的概率保证总体指标将在所估计的区
间内。
第三节 总体参数的区间估计
一、 总体均值的区间估计
二、总体比例的区间估计
一、总体均值的区间估计
1、区间估计的基本原理
◆根据样本平均数的分布特征可知：
p( x-Δx-≤X≤x+Δx ) = F(t)
在概率保证程度为F(t)，概率度为t的情况下，
总体平均数的数值将在x-Δx和x+Δx的范围内。
其中，x-Δx称为估计下限，x+Δx称为估计上
限。区间［x-Δx，x+Δx］称为置信区间 。
◆估计可靠性程度称为置信度。
◆如果我们将构造置信区间的步骤重复多次，
置信区间中包含总体参数真值的次数所占的
比率称为置信水平。
当总体服从正态分布且方差已知时，或者总
体不是正态分布且方差未知但大样本，在这
种情况下，样本均值的抽样分布均为正态分
布，其数学期望是μ方差是
根据正态分布的性质可以得出总体均值μ所在
的区间为：
如果总体方差未知，大样本条件下，则可以
用样本方差 代替总体方差 ,这时总体均值
在1- 置信水平下的置信区间可以写为
如果是采取不重复抽样，而且抽样比很大时，则
样本分布的方差应乘以修正系数 ，这时
总体均值在1- 置信水平下的置信区间可以写为：
当总体方差 未知时，总体均值在1- 置信水
平的置信区间可以写为：
(二)总体成数的估计区间
总体成数的区间估计原理与总体平均数相同，
即：在概率保证程度为F(t)，概率度为t的情
况下，总体成数的数值将在p-Δp和p+Δp的范
围内。其中p-Δp称为估计下限，p+Δp称为估
计上限。区间［p-Δp，p+Δp］称为置信区间，
估计可靠性程度1－α称为置信度。
当样本容量很大时，样本比例p的抽样分布
可用正态分布近似。p的数学期望等于总体
的比例P，而p的方差在重复抽样条件下为
与总体均值的区间估计类似，样本比例p的
基础上加减边际误差即得总体比例P的置信
区间：
若在大样本不重复抽样条件下，p的方差为
=（ ） 因此总体比例在1－α置信水平下
的置信区间为：
