等差数列
高中数学公开课
主讲人：XXX
目录
01 情境导入
02 概念形成
03 公式探究
04 例题解析
05 课堂小结
一、情境导入
电影院座位数
数列展示：
18, 20, 22, 24, 26...
尺子上的刻度
数列展示：
1, 2, 3, 4, 5...
正整数的排列
数列展示：
1, 2, 3, 4, 5...
观察与思考
思考：观察以上数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差有什么特点？
结论：差是同一个常数。
二、等差数列的定义
核心定义描述
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
公差 (Common Difference)
等差数列中后项与前项的差值，通常用字母d表示。
核心特征
从第2项起，差为同一个常数，即差值恒定不变。
定义的符号表示
aₙ - aₙ₋₁ = d(n≥2, d为常数)
符号 aₙ
表示数列的第 n 项，是数列中的任
意一项。
符号 aₙ₋₁
表示数列的第 n-1 项，即 aₙ 的前一
项。
符号 d
表示公差，即相邻两项的差值，必
须为常数。
小试牛刀
判断下列数列是否为等差数列，并说明理由：
题目 1
数列：1, 3, 5, 7, 9...
思考：公差 d 是多少？
题目 2
数列：1, 2, 4, 8, 16...
思考：相邻两项的差是否相等？
题目 3
数列：9, 6, 3, 0, -3...
思考：公差可以是负数吗？
题目 4
数列：1, 1, 1, 1, 1...
思考：公差为 0 的数列是等差数列吗？
三、等差中项
核心定义
由三个数 a, A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，中间的数 A 叫做 a 与 b 的等差中项。
重要公式
2A = a + b或A = (a + b) / 2
等差中项应用例题
题目描述
在 -1 与 7 之间顺次插入三个数 a, b, c，使这五个
数成等差数列，求此数列。
提示：利用等差中项的性质求解。
详细解答
确定中间项 b：b 是 -1 和 7 的等差中项
b = (-1 + 7) / 2 =3
确定项 a：a 是 -1 和 3 的等差中项
a = (-1 + 3) / 2 =1
确定项 c：c 是 3 和 7 的等差中项
c = (3 + 7) / 2 =5
最终数列：-1, 1, 3, 5, 7
四、等差数列的通项公式
思考：如何用首项 a₁和公差 d表示数列中的任意一项 aₙ？
通项公式的推导（一）：不完全归纳法
观察前几项
a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
寻找递推规律
a₃ = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d
归纳总结
...
aₙ = a₁ + (n-1)d
等差数列通项公式：
aₙ = a₁ + (n - 1)d
通项公式的推导（二）：累加法
步骤一：列出递推关系
根据等差数列定义，相邻两项之差为公差 d：
a₂ - a₁ = d
a₃ - a₂ = d
a₄ - a₃ = d
...
aₙ - aₙ₋₁ = d
步骤二：累加消元推导
将以上 (n-1) 个式子左右两边分别相加：
(a₂ - a₁) + (a₃ - a₂) + ... + (aₙ - aₙ₋₁) = (n-1)d
消去中间项（a₂, a₃, ..., aₙ₋₁），得到：
aₙ - a₁ = (n-1)d
移项后得到通项公式：
aₙ = a₁ + (n-1)d
通项公式总结
基础通项公式
aₙ = a₁ + (n-1)d
适用场景：已知数列的首项 (a₁) 和公差 (d)，可以直接
求出数列的任意第 n 项。
变形通项公式
aₙ = aₘ + (n-m)d
适用场景：已知数列中的任意一项 (aₘ)，求另一项 (aₙ)
，无需知道首项，灵活性更高。
通项公式应用例题1
题目描述
已知等差数列 {aₙ} 中：
• 首项 a₁ = 3
• 公差 d = 2
求该数列的第 10 项 a₁₀。
解题过程
根据通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d
代入数值：a₁₀ = 3 + (10-1)×2
计算过程：a₁₀ = 3 + 18
最终结果：a₁₀ = 21
通项公式应用例题2
题目描述
已知等差数列 {aₙ} 中：
• 第三项：a₃ = 5
• 第七项：a₇ = 13
求：首项 a₁ 和 公差 d
解题步骤
1. 列方程组
根据通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d：
{ a₁ + 2d = 5 ； a₁ + 6d = 13 }
2. 消元求公差 d
用第二个方程减第一个方程：4d = 8
解得：d = 2
3. 回代求首项 a₁
将 d=2 代入 a₁ + 2d = 5：a₁ + 4 = 5
解得：a₁ = 1
五、等差数列的前n项和公式
如何快速计算等差数列的前n项和？
前n项和公式的推导：高斯算法
数学王子——高斯
德国著名数学家。小学时快速计算出
1+2+3+...+100 的和，展现了惊人的数学
天赋，其核心思想即为“倒序相加法”。
核心推导：倒序相加法
步骤1：正向与反向列出前n项和
Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ₋₁ + aₙ
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₂ + a₁
步骤2：两式相加，利用等差数列性质
2Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₂+aₙ₋₁) + ... + (aₙ+a₁)
注：共有 n 组相等的项，每组和均为 a₁ + aₙ
步骤3：化简得出公式
2Sₙ = n(a₁ + aₙ)
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
前n项和公式的另一种形式
1. 代入通项公式
将aₙ = a₁ + (n-1)d代入Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
2. 展开并整理
Sₙ = n[ a₁ + a₁ + (n-1)d ] / 2 = n[ 2a₁ + (n-1)d ] / 2
3. 最终形式（已知首项和公差时使用）
Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2
前n项和公式应用例题
典型例题
求等差数列 1, 3, 5, 7, ... 的前 100 项的和。
已知条件梳理：
• 首项 a₁ = 1
• 公差 d = 2
• 项数 n = 100
详细解答过程
方法一：先求末项，再求和
1. 求第100项：a₁₀₀ = 1 + (100-1)×2 = 199
2. 求和：S₁₀₀ = 100×(1 + 199)/2 =10000
方法二：直接代入公式
Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2
S₁₀₀ = 100×1 + 100×99×2/2 = 100 + 9900 =10000
课堂小结
定义
aₙ - aₙ₋₁ = d (n≥2)
等差中项
A = (a + b) / 2
通项公式
aₙ = a₁ + (n-1)d
前n项和公式
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 或 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2
作业布置
基础计算：求公差与通项
已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₅=17，求公差d和a₁₀。
数列构造：插入中间项
在3和15之间插入5个数，使它们构成等差数列，求这5个数。
求和运算：前n项和
求等差数列-5, -1, 3, 7,...的前20项的和。
进阶推导：前n项和与通项关系
一个等差数列的前n项和为Sₙ = 2n² + n，求这个数列的通项
公式。
感谢聆听
敬请批评指正
