总体回归函数、样本回归函数
普通最小二乘法、经典计量经济学的基本假设
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1. 变量间的关系
（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。
例如：在销售价格P不变的情况下，某种商品销售量X与销售额Y之间的关系可表示为Y=PX.
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。
例如：农作物的产量=f(气温、降雨量、阳光量、施肥量)
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的
注意
①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。
④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
回归分析
回归的概念
回归是指关于一个变量（被解释变量）对另一个或多个变量（解释变量）依存关系的研究，用适当的数学模型去近似地表达或估计变量之间的平均变化关系，其目的是要根据已知的或固定的解释变量的数值，去估计所研究的被解释变量的均值。
注意：被解释变量是随机变量，解释变量在本质上可以是随机变量，但在回归分析中解释变量作为被解释变量变动的原因，我们总是假定在重复抽样中是取某些固定的值，所以在一般情况下解释变量是作为非随机变量来处理的。
二、总体回归函数
回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。
为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；
但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。
因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。
该例中：E(Y | X=800)=561
描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
每月可支配收入X（元）
每
月
消
费
支
出
Y
（元）
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
相应的函数：
)
(
)
|
(
i
i
X
f
X
Y
E
=
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。
称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。
Ui=Yi-E(Y|Xi)
例中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；（2）其他随机或非确定性nonsystematic)部分ui。
称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。
随机误差项主要包括下列因素：
在解释变量中被忽略的因素的影响；
变量观测值的观测误差的影响；
模型关系的设定误差的影响；
其他随机因素的影响。
产生并设计随机误差项的主要原因：
理论的含糊性；
数据的欠缺；
节省原则。
四、样本回归函数（SRF）
问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
例：在例的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？
回答：能
该样本的散点图（scatter diagram)：
画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sample regression lines）。
记样本回归线的函数形式为：
称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。
注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代
则
线性回归模型的基本假设
假设1. 解释变量X是确定性变量，不是随机变量；
假设2. 随机误差项Ui具有零均值、同方差和不序列相关性；
假设3. 随机误差项Ui与解释变量X之间不相关：
假设4. Ui服从零均值、同方差、零协方差的正态分布
注意：
如果假设1、2满足，则假设3也满足;
如果假设4满足，则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯
（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型
（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和最小。
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
谢 谢！
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