定义:
把n个随机变量 的整体
( ) 称为 n维随机变量
同时投掷两个骰子，观察两个
骰子出现的点数。设第一个骰
子出现的点数为X，第二个骰子
出现的点数为Y，则X可能取值
为1，2，3，4，5，6，Y也可
能取值为1，2，3，4，5，6，
则两个骰子出现的点数(X,Y)就
是二维随机变量
引例一
引例二
炮弹命中点的平面炮弹命中点的平面
位置要由水平距离位置要由水平距离XX
和垂直距离和垂直距离YY来确定，来确定，
则炮弹命中点的平则炮弹命中点的平
面位置（面位置（X,Y)X,Y)也是二也是二
维随机变量维随机变量
引例三
一炉钢的综合质量至少要由钢的
硬度（X），含碳量（Y），含硫
量（Z）等多个变量来描述，则一
炉钢的综合质量至少要用三维随
机变量（X,Y,Z）来表示
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和
Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量,
由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量
或二维随机向量。
二维随机变量的定义
X(w),Y(w)w.
(x,y)
x
y
二维分布函数
联合分布函数
设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,
y,称二元函数
F(x,y)=P(X≤ x,Y≤y)
为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，
简称分布函数。
x
y
(x,y)
复习：一维随机变量分布函数的性质
<1>
<2>
<3>
<4>
2.
1. x1<x2, F(x1,y)≤F(x2,y)
y1<y2, F(x,y1)≤F(x,y2)
联合分布函数的性质
4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x,y)
联合分布函数的性质
(x2,y1)
x
y
(x2,y2)(x1,y2)
(x1,y1)
例2：设二维随机变量（X,Y）的分
布函数为
求A,B,C的值
解：
二维离散型随机变量
设 (xk,yk)(k=1,2,…)是二维随机变量 (X,Y)
所取的一切可能值，且(X,Y)取各个可能
值的概率为
则称为(X,Y)二维离散型随机变量，上式为
二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，
简称分布律。
X
Y
x1
x2...
xi...
y1 y2 ... yj …
p11
p21...
pi1...
p12
p22...
pi2...
…
…
…
…
…
p1j
p2j...
pij...
…
…
…
…
…联合分布列
联合分布律的性质
例3：某学生求出的关于二维随机变
量（X,Y）的分布密度如下表：
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
-3 5 7 -3 5 7
试分析该学生的计算结果是否正确？
例例44：：设有设有1010件产品，其中件产品，其中22件是次品，从中随机抽件是次品，从中随机抽
取两次，每次取一件，取后不放回取两次，每次取一件，取后不放回..以以XX表示第一次取表示第一次取
到的次品件数。以到的次品件数。以YY表示第二次取到的次品件数，求表示第二次取到的次品件数，求
随机变量（随机变量（X,YX,Y）的概率分布）的概率分布..
解：（（X,YX,Y）的所有可能取值为）的所有可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (0,0), (0,1), (1,0),
(1,1).(1,1).
则（X,Y）的概率分布
0 0
1 1
0 1 0 1
例5.设袋中有五个同类产品，其中有两个
是正品，每次从袋中任意抽取一个，
抽取两次，定义随机变量X、Y如下
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取；
(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。
二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为
F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对
任意的实数x, y,都有
则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中
f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，
简称联合概率密度或联合分布密度。
联合概率密度的性质
f (x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y)
的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)
附近的密集程度。
例6. 设(X,Y)的分布密度是
求 (1) C的值;
(2)分布函数;
(3)（X,Y）落在如图三角形区域内
的概率。
x
y
y=2-2x
例6. 设(X,Y)的分布密度是
求 (1) C的值;
(2)分布函数;
常见的二维连续型随机变量的分布
均匀分布
设G为平面上的有界区域，若二维随机变
量(X,Y)的分布密度函数为
其中 为区域G的面积，则称二维
随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。
例7. 设(X,Y)在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)
上服从均匀分布，求
(1) (X,Y)的分布函数；
(2) P(Y>X2).
例8：设(X,Y)在 上服从均
匀分布，求其分布函数F(x,y).
解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为
(2) 当
(1) 当
y
x X
Y
2
30
(x,y)
(3) 当
(4) 当
(5) 当
X
Y
2
30
综上所述综上所述
F(x,y)=
0 x<0或y<0
xy/6
x/3
y/2
1
常见的二维连续型随机变量的分布
二维正态分布
若二维随机变量(X,Y)的分布密度为
其中σ1>0, σ2>0, | ρ |<1, μ则称 (X,Y) 服从参
数为μ1 ,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布。记作
(X,Y)~ N(μ1 ,μ2,σ12,σ22,ρ)
二维正态分布
边缘分布
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),则随机变量X的分布函
数
称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。
称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。
边缘分布
x
y
FX(x)
x
y
FY(y)
二维离散型随机变量的边缘分布
设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为
则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为
(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为
p·j p·1 p·2 … p·j …
pi·
p1·
p2 ·...
pi ·...
X
Y
x1
x2...
xi...
y1 y2 ... yj …
p11
p21...
pi1...
p12
p22...
pi2...
…
…
…
…
…
p1j
p2j...
pij...
…
…
…
…
…
1
例1：按中例4的分布列，求（X，
Y）关于X，Y的边缘分布密度
0 1 0 1
0 0
1 1
0 1 0 1
0 0
1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
解：
故（X，Y）关于X，Y的边缘分布密度分别为
例2.设袋中有五个同类产品，其中有两个
是正品，每次从袋中任意抽取一个，
抽取两次，定义随机变量X、Y如下
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取；
(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
二维连续型随机变量的边缘分布
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函
数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例例33：设二维：设二维RR，，VV（（XX，，YY）的二维联合概率密度函数为：）的二维联合概率密度函数为：
求（求（XX，，YY）关于）关于XX及及YY的边缘分布密度的边缘分布密度..
例4. 设(X,Y)的分布密度是
求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。
解:
如果二维随机变量(X,Y)满足,
则称X与Y相互独立 .
连续型
随机变量的独立性
对任意x,y, 有
p·j p·1 p·2 … p·j …
pi·
p1·
p2 ·...
pi ·...
X
Y
x1
x2...
xi...
y1 y2 ... yj …
p11
p21...
pi1...
p12
p22...
pi2...
…
…
…
…
…
p1j
p2j...
pij...
…
…
…
…
…
1
离散型
例5. 已知(X,Y)的分布如下，判断X、Y是否独立。
X
Y
1
2
3
1 2 3
1/3 1/6 1/9
0 1/6 1/9
0 0 1/9
例6. 已知X、Y独立,完成下面表格。
X
Y
1
2
1 2 3 pi.
1/8
1/8
1/6 1
例7 设(X,Y)的概率密度为
问X和Y是否独立？
解： x>0
即：
对一切x, y, 均有：
故X,Y 独立
y >0
若(X,Y)的概率密度为
情况又怎样？
解： 0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域，
故X和Y不独立 .
例8. 设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：
求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨
论X与Y的独立性。
(X,Y)~ N(μ1 , μ2, σ12, σ22, ρ)
X~ N(μ1 , σ12) Y~ N(μ2 , σ22)
若(X,Y)~ N(μ1 , μ2, σ12, σ22, ρ)
X与Y相互独立 ρ=0
例9. 设(X,Y)在区域G={(x,y):0<y<2x+2,-1<x
<0}
上服从均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘
分布密度,并判断X与Y是否独立。
x
y
-1
2
y=2x+2
解:SG=1
二维随机变量
(X,Y)的分布
随机变量Z的分布
???
Z=g(X,Y)
设(X,Y)为离散型随机变量，
Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于
不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同,则Z的
分布律为
二维离散型随机变量函数的分布
若对于不同的(xi,yj), g(x,y)有相同的值,
则应取这些相同值对应的概率之和。
-1 0 1 2 -1 0 1 2
-1 -1
2 2
例1（X，Y）的联合分布密度为
求X+Y， X-Y分布密度。
离散型
卷积公式
例2. 设X和Y相互独立，其分布律为
求Z=X+Y的分布律。
例3:设X,Y相互独立,且X~P(λ1), Y~P(λ2)
证明:Z=X+Y~P(λ1+λ2)
例4. 设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y), 边
缘分布密度分别为fX(x), fY(y),
求 Z=X+Y的分布密度。
二维连续型随机变量函数的分布
若X、Y独立
连续型
卷积公式
例5. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。
证：Z=X+Y~N(0,2) 。
X~ N(μ1 , σ12)
Y~ N(μ2 , σ22)
Z1=X+Y~ N(μ1+μ2, σ12+σ22)
X与Y相互独立
Z2=aX+bY~ N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)
Z=aX+bY
X与Y相互独立
Z=X-Y
例6. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。
解:
当z<0,显然FZ(z)=0,
当z≥0,
思考：
已知相互独立的随机变量X和Y的分布函数
为FX(x)和FY(y),
求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布函数。
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它
们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来
求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.
又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的
分布函数为:
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
FM(z)=P(M≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
=P(X≤z,Y≤z)
由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都
不大于z，故有
分析：
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是
下面进行推广
即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
=1-P(X>z,Y>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1- P(X>z)P(Y>z)
设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,
它们的分布函数分别为
我们来求 M=max(X1,…,Xn)和N=min
(X1,…,Xn)的分布函数.
(i =0,1，…, n)
用与二维时完全类似的方法，可得
特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相
同分布函数F(x)时，有
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
…
…
若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max
(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，
不难求得M和N的密度函数.
留作课下练习.
当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数
F(x)时，有
FM(z)=[F(z)] n
FN(z)=1-[1-F(z)] n
需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且
具有相同分布函数F(x)时, 常称
M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)
为极值 .
由于一些灾害性的自然现象，如地震、
洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要
的意义和实用价值.
例7. 某元件由两个相互独立的元件A1,A2
连接而成，其连接方式分别为：S1:串
联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从
指数分布。求两种系统S1, S2的寿命
的概率密度函数。
A1 A2
S1
A1
A2
S2
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
推广到随机变量
设有两个 X,Y ， 在给定Y取某个或某
些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和
身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布.
体重X
身高Y 体重X
的分布
身高Y
的分布
现在若限制<Y<(米), 在这个条件下
去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学
生中把身高在米和米之间的那些人都挑
出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.
容易想象，这个分布与不加这个条件
时的分布会很不一样.
例如，在条件分布中体重取大值的概
率会显著增加 .
二维随机变量
(X,Y)的分布
随机变量Y的分布
???
X=x
设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于
固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
为在Y=yj下，随机变量X的条件分布律.
二维离散型随机变量的条件分布
p·j p·1 p·2 … p·j …
pi·
p1·
p2 ·...
pi ·...
X
Y
x1
x2...
xi...
y1 y2 ... yj …
p11
p21...
pi1...
p12
p22...
pi2...
…
…
…
…
…
p1j
p2j...
pij...
…
…
…
…
…
1
条件概率分布的性质
X与Y相互独立
二维连续型随机变量的条件分布
设对于任意给定的ε>0,有P(y-ε<Y≤y+ε)>0,
若
存在,则称此极限为在Y=y下，随机变量X的
条件概率分布函数.
为已知 Y=y下，X的条件概率密度函数 .
为已知 X=x下，Y的条件概率密度函数 .
对很小的dx和 dy， fX|Y(x|y)dx表示已知 Y
取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x
和x+dx之间的条件概率.
条件概率密度函数的直观意义
求条件概率密度fY|X(y|x)。
例1.若(X,Y)~ N(μ1 ,μ2,σ12,σ22,ρ)
