第!!卷 第!期 运 筹 与 管 理 "#$%!!，&#%!
’((’年’月 )*+,-./)&0,+0+-,12-&34-&-5+4+&.01/+&1+ 678%，’((’
收稿日期：’((!9(:9!’
作者简介：张帆（!;<=9），男，在职博士生，讲师，研究方向主要为数理经济，博弈论，组织复杂性。
消费者连续统集合下一种投入产出经济的
均衡和一般均衡价格
张帆!， 原长弘!， 李寿德’
（!>西安交通大学 管理学院，陕西 西安?!((@;；’>上海交通大学 安泰管理学院，上海’(((=’）
摘 要：本文给出了一个经济模型把跨期间的一般均衡理论和A7#9,BCDEFBDA的生产价格理论联系起
来，并改进了,#G79-AA73DAD模型［!］［’］，即把消费者有限改变消费者连续统，并在,#G79-AA73DAD模
型的基础上，加了条件1%@和1%?，得出了两个重要的结果：（!）在标准条件下，此模型有一均衡使得
每一个生产者的每期最大利润是相等的；（’）如考虑生产价格是稳定价格，且等于最大利润，则在适
当的条件下，这样的价格系统是存在且是唯一的，而所定义的均衡的非折扣的价格序列收敛于生产
价格。因此均衡价格依赖于技术和消费者特征，但在取极限时，有关价格仅依赖于技术。
关键词：投入产出经济；均衡价格；连续统
中图分类号：6’’@>= 文章标识码：- 文章编号：!((?9:’’!（’((’）(!9((H!9(H
!"#$%&’$%#$%()’"’*+(,$-.-/0-$*1"234"401.(,$-.-/0-$*
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SLBCLR#FBWB7GWBABT7C#AGOR7EGT#C#AGOR7EGC#ATBAOOR%/TDFFGTS#DGGORPTB#AG#ATL78DGBG#W
TL7R#F7$#W,#G79-AA73DAD，#8TDBABAMTS#RDBAE7GO$TG：（!）OAF7EGTDAFDEFDGGORPTB#AG，TLBG
BAT7ET7RP#ED$R#F7$LDGDA7UOB$B8EBORGOCLTLDTBA7DCLP7EB#FTL7EDT7#WRDXBRORPE#WBTBGOAB9
W#ERDR#AMPE#FOC7EG，（’）BWBTC#AGBF7EGPEBC7G#WPE#FOCTB#ADE7GTDTB#ADEV，SLBCLBG7UOD$T#TL7
EDT7#WRDXBROAPE#WBTG，OAF7ERB$FC#AFBTB#AGGOCLDPEBC7GVGT7R7XBGTGDAFBGOABUO7，DAFTL7
G7UO7AC7#WOAF7EC#OAT7FPEBC7G#WTL77UOB$B8EBORF7WBA7FD8#Q7C#AQ7EM7T#PE#FOCTB#APEBC7%
.L7E7W#E7，TL77UOB$B8EBORPEBC7E7$B7G#AT7CLA#$#MVW7DTOE7，8OTTL7PEBC7BAQ#$Q7FE7$B7G#AT7CL9
A#$#MVSL7AE7G#$QBAM$BRBT%
<4+6’02:：BAPOT9#OTPOT；7C#A#RV；7UOB$B8EBORPEBC7；C#ATBAOOR
万方数据
! 引言
"#$%&’((%)*(*等人提出了一个有限消费者，有限个生产者的离散时间下无限期运行的
经济模型，并假设生产为+%#(,-%.经济。因此 ，模型中无交叉生产，即每一个生产者只能生产
一种商品；在每期内，每一厂商按固定规模收益生产一种商品。对每一种商品，生产技术在时
间段内是稳定的，并把前期的替代投入和现今的单位产出联系起来。对于消费者来说，假设为
一般的假设。消费者在第一期有一初始拥有，其偏序（现期或将来）假设由跨期间效应函数来
决定。
在这个模型中，"#$%&’((%)*(*等人得出了两个主要结果：
（/）在标准条件下，这个跨期间模型存在一均衡，使得在每一期内生产者的最大利润率是
一致的。
（0）第二个结果是1232%4%#251#4#6定理的思想。把生产价格看作是稳定的且等于其最
大利润率。在适当的条件下，这个价格系统是存在的且唯一的，均衡的非折扣价格序列收敛于
它。因此均衡依赖于技术和消费者特征，但在取极限时，有关价格仅依赖于技术。
本文改进了"#$%&’((%)*(*模型，即把消费者有限改成消费者连续，并在"#$%&’((%
)*(*模型的基础上，加了条件789，78:得出了与"#$%&’((%)*(*相应的结果。
/ 跨期间一般均衡模型的定义和性质
!"! 一般定义和性质
假设消费集合为!;［!，/］，"个生产者和"个由商品投入生产出来的产品，并假定经济
的时间水平是无限的。函数#$（!）：!!%"<，$;/，0，=⋯为可测函数且&可积，经济的消费
者的消费分配均可为这样一个可测函数。令’$"%"$ 表示商品$期的价格向量，经济的商品空
间和价格空间中的元素表示为(;（($），);（)$），’$;（’$）"#
>
$*!
（%"<）$，简化记为（%"<）>。
’(;$
>
$*!
’$($为商品族(在价格序列’下的现今值。
在%"，（%"）>中定义下列概念：%+,，+，-"%"有：
+,&-’%.;/，0，⋯，"，+,.&+.；+,(+’+,&+且+,)+
+,*+’%.;/，0，⋯，"，+,.(+.
在（%"<）>中，令+,;（+,$），+;（+$），有
+,&+’%$&!，+,$&+$；+,&+’+,&+且+,)+。
令+%;［5>，<>］经济"可描述为
";（（（（%"<）>，/!），#（!）），01），!"［!，/］；1;/，0，⋯，"）
式中出现的符号将分别予以解释。
!"# 生产和消费
在生产中，我们采用了+%#(,-%.经济及其假设。"个生产者生产"种产品。%1;/，0，
⋯，"，-1表示2部门生产单位产品投入商品向量，01表示这种向量的全体集合。投入商品中
0? 运 筹 与 管 理 0!!0年第//卷
万方数据
不包括劳力，因为可用生存向量!!!来代替。令"""
#
$%#
"$，则&"（&$）#’#$#。
在"中作如下假设：
()#：$$，"$为一非空凸闭集合且"$#’#%。
()&："中的所有矩阵存在一共同的行，使得此行向量严格为正。
引理!"! 令()#，()&成立使得%!&!，使得$$"#，&，⋯，#，$&$#"$，’
#
*%#
&$*(!（见
［#］引理&’#）。
消费者集合为+，消费者"在!期有一初始拥有#（"）#’#%，消费者的消费路径为序列
,（"）"（,-（"））#（’#%）(。跨期间偏好用一个效用函数."表示，."：（’#%）()*’%。
假设/)#：$"#+，（’#%）(中的每一点均为可行的消费路径；
/)&：$"#+，#（"）&!；
/))：$"#+，."为凹严格增函数且."（!）"!
可达分配路径
令+［!，#］#（"）*-为经济$的总初始拥有。
注：下面出现的积分均指0积分且积分可简写，如+［!，#］#（"）*"可简写为+#，其它类
似。一个可达分配路径指元素族（,，1，&）#"
"%+
（（’#%）(）"$（’#%）($"(满足
!+,!%#,#
"+,-，%&-%#1-%#,1-，$(#
如果,，1，&分别是可达分配路径的一部分，则称他们分别是可达的。
更一般地，如果2#’#%，用2代替!、"式中的#，定义34（2）为总初始拥有等于2的可
达的,的集合。
34"（2）" ,（"）-.,#34（5），.,""
"#+
,（"｛ ｝），3/（5）" /#（’#%）(-/"++,（"）*"，3,#34（5｛ ｝）
引理!"#（#）$2#’#%，/#3/（5），有//-/,/2/／!-。
（&）$2#’#%，3,（2）为乘积空间"
"%+
（（’#%）("）"中的凸紧集。
（)）$2#’#%，3/（2）" /#（’#%）(-/!%’
(
-"#
（"
-
""#
&"）/-,2，&"（&-）#"｛ ｝(
注：如果假设())成立（见后），则#中不等式为//-/,6（/2/）／%0-，6为一常数，
%0"+,-｛%（&），&#"｝，%（&）为&之谱半径。
/).：$"#+，总有,-（"）,1-。意指消费者每期消费受资源约束。
引理#’&的证明：
（#）取引理#’#中的!&!，则若!#"，且&1,21!/1/’
#
$%#
（’
#
*%#
&$*）1,/2/。现用
数学归纳法证明关系式/1-/,/2/／!-，$-(#，（本文出现的范数/·/均指’#空间中的
范数/4/"’
#
*%#
-,*-，,#’"）
)/第#期 张 帆，等：消费者连续统集合下一种投入产出经济的均衡和一般均衡价格
万方数据
如果!为初始拥有为"的可达元素，则有
#!!!!$"!#!#!#"#"$!!$!
#"#
#
设$!%$!
!
!%#"#
，由#%"!，!%"!!!%可知!#!%"!#!#!%#从而由假设可知##!%"!#
%#!%#!
!
!%#"#
，即#!%"!#!
!
#%"!#"#&
（#）由凸紧集的乘积不变性，只证明’"%（"）$ (（"）$&(%’(’%（"），&(%’)%’)(%
（"｛ ｝）为*+"中
的凸紧集即可。
由,&%可知(’%（"）为一有界集。
现设&’(
-*)
(-%（"）*(*%（"），(-%（"）’(’"%（"），-$!，#，⋯，则(
*
%（"）为关于"的可积函数。
由于(-（"）+*而,(-*"#!!!!"，,(-%"#%"!!%"!!!%
故有&’(
-*),(-*"#!!!!"，&’(-*),(-%"#%"!!%"!!!%
从而由+,-./引理（［0］）可知
,(**"#!!!!"，,(*!"#%"!!%"!!!%
从而(*%（"）’’"%（"），即(’"%（"）为闭集。凸性显然。证毕。
（1）-,’(,（"），则有,*"#!!!!"，-%+!
,%"#%"!!%"!!!%，#’.)，!’（*+"）)
故有,*".
)
%/!
（)
%
"/!
#"）,%%"（可用归纳法证明）
反之，设,*".
)
%/!
（)
%
"/!
#"）,%%"，#’.)，令!%$,%" .
)
0/%1!
（)
2
"/%1!
#"）,2，-%+!，则可
验证,*"#!!!!"，,%"#%"!!%"!$!%，-%+!即,’(,（$），证毕。
!"# 2,34-.最优性
先作以下的假设
,&0，-"’*+"，-"’)，3"：(’"（"）*/*是一连续函数。
令3"（$）$3"（(’%（"）），由于3"为一严格增函数，可给出定义如下：
定义 如果-"’)，-(’4’（"），0(*’(’（"），使得3"（(*（"）+3"（(（"）），则称(*
是2,34-.最优的。
由于’"（"）为紧凸集，3"连续，则可知2,34-.最优元素是存在的。
!"$ 利润最大化
给出一个价格路径5$（5%），生产者-选择一个生产路径#-’（.-）)和!-’*)% 使其利
润最大，即使.
)
%/!
（5-%55%5!#-%）!-%最大（等于*）。
上述问题存在的主要条件是
-%+!，5-%!’67
#-’.-
5%5!#-
这是因为若5-%15%5!·#-，-#-’.-则任取#-’.-及!6%$*就为最大化问题的解。
%8 运 筹 与 管 理 #**#年第!!卷
万方数据
若!"#!"#$
$"!%"
!#%&$"!!#%&"$"，则&"#!’，#$"#!%"或"$"#，#&"#!’((均为最大化问题的解。
!"# 竞争均衡路径
定义 称（")，"&，"$，"*）为一个竞争均衡路径，如果满足下列条件
!效用最大化：#!!+有
,（")（!））!")*,!（)（!））
-.+：)（!）!（’((）+；$!)（!）%!’·"（!
&
’
( ）
"利润最大化：#"，#$"!（%"）+，#&"!’(，有
)
+
#/&
（$!"#%$!#%&$"#）&"#%)
+
#/&
（$!"#%$!#%&·"$"#）"&"#!’
#市场出清：（")，"&，"$）是一可达分配路径，如果用“!”代替$，%中的“*”。
均衡价格路径必须满足关系式：
!!（’((）++!"#%#$,
$"!%"
$!#%&·$"，#"!&，-，⋯，｛ ｝( ，
下面我们将注意力放在使得每个生产者在每期的利润为最大（等于’）的那些价格均衡路
径的讨论上。此时这样的价格满足关系式
&##,&，#"!&，-，⋯，(，"*"#!#$,
$"!%"
$!#%&·$"，这时生产水平可以是任意的。
令0：’((-’((，0"（!）!#$,
$"!%"
!·$"，若!.’，0"（!）就是生产单位商品的最小费用，&式变
为$!#!0（$!#%&）。
命题!"! 令（")，"&，"$，"*）是经济#的竞争均衡路径，设/!’!$!’，/!#0#（!’），##,&，则（")，
"&，"$，"*）也为经济#的均衡路径。
证明 由于（")，"&，"$，"*）是一个竞争均衡路径，设!!｛!!（!#）!（’((）++!#%!#%&，##
,&｝。
很容易证明$!#%/!#，##0’，可用归纳法证明：
/!!$!’1/!"&!0"（$!’）!#$,
$"!%"
$!’$"1$!"’%/!"&1$!&2/!&。
设$!#%/!#，则$!"#(&%0"（$!#）!#$,
$"!%"
/!#$"*#$,
$"!%"
!#$"!0"（/!#）!/!"#(&，即$!#(&%$!!(&。下来
证明##,&，#"!&，-，⋯，(，&"#0’1$!"#!/!"#。
由&"#0’1!1"!0"（$!’）!/!"&。
假定#&，-，⋯，#%&，总有上述结论成立。考虑这样的"使得"&"#0’，则$!"#!$!#%&·"$"#
!)
"$#20’
2
$!2#%&"$"#2。
如果$"#20’，由（")，"&，"$）的可达性可知"&2#%&,"$"#2"&"#0’，由假定有$!2#%&!/!2#%&。故$!"#!
/!#%&·"$"#,/!"#又因为$!"#%/!#，故有$!"#!/!"#
最后验证条件!。
由"&"#!’1")1"（!）!
$.3
’（表示“!
$.3
”表示几乎处处）不防设!")#"（!）3’（这里因为可把消费者
为零集的集合可看作与整体竞争均衡无关）。因此就有：#!!+，$!#·)#（!）!/!#·")#（!），且!
·)（!）!/!·")（!）。
现在如果，/!#·)（!）%/!’·"（!）!!’""（!），我们就有$!·)（!）!$!’·"（!），,!（)（!））%
./第&期 张 帆，等：消费者连续统集合下一种投入产出经济的均衡和一般均衡价格
万方数据
!!（!"（!））。证毕
命题!"!说明了这样一个事实，如果（!"，!#，!$，!%）为任一均衡，则存在另一均衡，使其与前
一均衡可达分配（即!"，!#，!%）相同，而价格满足!。
# 生产价格
生产价格是指在静态状态下，用和产出相同的价格支付投入价格。生产价格由于下列关
系式决定：
"&"#$且$’%!，#，⋯，(，&"’%（!&)"）’()
%’%*’
&"·%’即
#&"#$且+（&"）%&"／（!&)"）。利用生产价格，生产者’使其单位成本最小化的利
润率：)’%
&"’*’()&"
%’%*’
·%’
’()&"
%’%*’
·%’
是一致的且等于)"。
定义 把满足!的价格路径&%（&,）称为一般化（+,),-./(0,1）生产价格。
在这里，我们采用非折扣价格，所谓非折扣价格是指这样一组价格&-,，&-,%
&,
&&,&
，&
&,&%’
(
’%!
&’,，&%&（&,）为任一组价格向量。则生产者的利润率为),%
&-’,*+’（&-,*!）
+’（&,*!）
。
若&,%+（&,*!），+是齐次的，则)’,%
&-’,*+’（&-,*!））／&&,&
+’（&-,*!）
&
&,*!
&&,&
*!%
&,*!
&&,&
*!
%),。由此看出，一般化生产价格下，每个生产者在同一时期内的利润率)’,%),是相同的。
假设&.2（不可分解性）对任一真非空子集/%｛!，#，2，⋯，(｝，(0%/，而’%／/使得()3
%’%*’
%’0
)$。
定义 映射+称为不可约的，如果由$)$，且$#$*(’使&’%$且+’（$）)$。（注：很
容易看出矩阵的不可约和上述定义是一致的。）
命题!"#［!］ 设&.2成立，则
（%）+是不可约的
（1）$%%*是不可约的且$2+(有%2#$
命题!"!（%）$,+!，+,的为一增凹，一次齐次的连续映射。
（1）+有一严格正的特征向量。即(&"#$使得+’（&"）%&+（&"）&&"’。
下面定义一个4(/5,-6空间。
$&，2%3(&，"%3(&，")$定义：4（&，2）%()3｛",&-"2｝%’.7
0
$0
20
；5（$，2）%89:｛",
$."2｝%’()
0
$0
20
；6（$，2）%/;+4
（$，2）
5（$，2）
则，4（"$，2）%"4｛$，2｝；5（"$，2）%5（$，2），6
（"$，"2）%6（$，2）；5（$，2）2-&-4（$，2）2。则6为一个在单纯形#(的内点上的度量，
其拓扑与原始扑一致。
命题!"$（!）$$#$，2#$，$，2%#(*!，6（7（$），7（2））-6（$，2）。（7（$）%+（$）／
&+（$!!）&。
<= 运 筹 与 管 理 #$$#年第!!卷
万方数据
（!）!!""，!#!"#$，#$#%，有$（%&（#），#%）&$（#，!%），!&’"（证明见［$］）。
定理!"# 假定#’$，#’!，#’%成立!("""则有%&（#"）&(&／((&(&)&（#"）／()&
（#"）()(%。（证明见［$］［%］）
% 一般生产价格下均衡的存在性
*’’："""令*+&*+（"）则有
引理$"# 令,#*+为()*+,-令最优的，设
-,&｛.#/".+,,0（#）#*+#（.），1#（,0（#））-1#（,（#）），!##2｝，
则存在("""使得("·".("·3，!3#-,
证明 首先说明-,为一凸集。!3$，3!#-,，!$#［"，$］。则,,0，,4使得,0（#）#
*+#（.$），,4（#）#*+#（3!），1#（,0（#））-1#（,（#）），1#（,4（#））-1#（,（#）），由于1#为严格
凹的，因此就有
$,0（#）.（$#$）,4（#）#*+#（$3$.（$#$）3!），1#（$,0（#）.（$#$）,4（#））-1#（,（#）），
!##2。从而有$3$.（$#$）3!）#-,，即-,为凸集，有-,内点显然。"#/".且"#／-+
故由凸集分离定理（见［/］）可知，必,("""使得("·".("·3，!3#-+。
下面我们说明()*+,-最优元素,是一均衡消费。
由于,是可行的，由引理$0!知存在5（5&）#61使得/,".0
1
&7$
（1
&
#7$
5#）（/,&）&"，
对!&’$定义8&&/,&. 0
1
97&:$
（1
9
#7&:$
5#（/,9）），8"&"。
引理$"! 令,，("如引理%0$所示，(&&)&（#"）则
（!）!##2，1#（,0（#））-1#（,（#））20
1
&7"
(&,0&（#）-0
1
&7$
(&·,&（#）；
（"）0
1
&7"
(&（/,&）&("·"；
（#）!;，!50;#（6;）1，!8;#（/".）1，（0
1
&7$
(;&##&#$·50;&）8;&.0
1
&7$
（(;&##&#$5;&）8;&&
"；
（$）!&’$，/,&#$.5&8&&8&#$证明很容易，只需直接验证即可。略。
我们注意到，如果消费者集合为有限集，例如2&｛#$，#!，⋯，#<｝，用0
<
=7"
代替%&式中出
现的积分（此时后边出现的积分相应地用0
<
&7$
代替），则有一消费者集合有限模型%0&
（（（/".）1，1，"=）6;，=&$，!，⋯，<；;&$，!，⋯，"）%0中相应的可行集为>+0（"）&1
<
=&$
*+0#=（"）
引理$"$ 对于经济%中的>+#=（"），经济%0中的>+0#=（"），有关系式>+0#==（"）3>+#=（"）。
证明：这是因为可测函数的有限点不影响积分值之故。
*’2：!#$，#!，⋯，#<#2（< 可为任一自然数），有0
<
=7$
,&（#=）4/,&，!&’"，,（#=）&
23第$期 张 帆，等：消费者连续统集合下一种投入产出经济的均衡和一般均衡价格
万方数据
（!"（!#））!$%!#（"）；此假设的经济意义为时期任意个消费者的分配数量不会超过总分配数量。
引理!"!& 在’(!的假设下，有$%&!#（"）"$%!#（"）
定理!"# 设’(!成立，"!!)，#!（!）"（!"（!））!$%!（"）为#$%&’(最优的使得*)"
（!）*$
+
"+)
*"!"（!）")
证明 令,",，则可设!,"!!)，考虑经济#&"（（（-.-）+，/!，"!），01，1",，⋯，.），
则由［,］中)2.(,的证明可知存在!（!）"（!"（!））!$%!（"）为#$%&’(最优的使得*)·"（!）*
$
+
"+)
*"·!"（!）")。证毕。
定理!"$ 在条件*(,**(/，’0,*’0!下，经济#存在一个一般的生产价格下的均衡
（$!，$3，$4，$5）。
证明 由引理/01，引理/0.立即可得。
参考文献
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GG 运 筹 与 管 理 1))1年第,,卷
万方数据
