问题 利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲种商品500件和乙种商品300件. 经调查发现，甲、乙两种商
品零售单价每分别降元，这两种商品每天各可多销售100件. 为了使每天获取更大的利润，
商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为
多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
命题意图 本题是2011年盐城市的一道中考试题，它以图表信息为背景，考查同学们通
过阅读、分析、整理获取所要解决问题的相关信息的能力，以及应用二元一次方程组与二次函
数的性质解决实际问题的能力. 同时，本题还加强了对同学们数学建模能力、分析问题能力
和数学应用意识的考查.
解题指导 （1）利民商店所提供的三条信息蕴含了两个等量关系式：甲种商品的进货单
价+乙种商品的进货单价=5元；3件甲种商品零售单价+2件乙种商品零售单价=19元. 因此，我
们可以建立关于以甲、乙两种商品的进货单价为未知数的二元一次方程组加以解答；（2）根
据“销售商品所得的总利润=每件商品的利润×销售的商品件数”，我们可以用含m的代数式分
别表示把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元后每件商品的单价、销售的件数以及获得的
利润和总利润，进而建立总利润W（元）关于零售单价都下降m（元）的函数关系式，并应用函数
性质求得其最大值.
解题过程 （1）设甲种商品的进货单价是x元，乙种商品的进货单价是y元.
根据题意，得
x+y=5，
3（x+1）+2（2y-1）=19! ，解得 x=2，y=3! .
答：甲种商品的进货单价是2元，乙种商品的进货单价是3元.
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为W元，则W=（1-m） 500+100× m
" #
+（5-3-m） 300+100× m
" $，即W=-2 000m2+2 200m+1100=-2 000（）2+1 705.
商品
销售中的利润最大化问题江苏盐城 一 杏
信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和是 5元；
信息 2：甲商品零售单价比进货单价多 1元，
乙商品零售单价比进货单价的 2倍少 1元.
信息 3：按零售单价购
买甲商品 3 件和乙商
品 2件，共付了 19元.Em
ail:czsshy@
责
任
编
辑：
沈
红
艳
追
根
溯
源
展
示
zhuigensuyuanzhanshi
64
64
当m=时，W有最大值，最大值为1 705.
答：当零售价格下降时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天最大利
润是1705元.
追根溯源 该试题类似于义务教育教科书苏教版《数学》七年级下册教材第101页第13题
与九年级上册教材第98页例4，是这两道习题的融合与提升.
七年级下册教材第101页第13题：某人分别以售价的8折和9折的价格购买了两件衬衫，共
付款182元. 已知这两件衬衫的售价的和是210元，求这两件衬衫的售价.
九年级上册教材第98页例4：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利
40元. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，
衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利
1200元，衬衫的单价应降多少元？
本题要求将生活实际中的问题“数学化”，考查了应用方程组、函数模型解决生活实际问
题的能力，还增强了同学们充分应用教材、以“课本”为“蓝本”学习基础知识的意识.
变式拓展 某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每
件20元的护眼台灯. 销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似
地看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获
得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
参考答案 （1）由题意，得w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500）=-10（x-35）2+2 250.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润；
（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000，解这个方程得x1=30，x2=40.
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）由题意，得-10x2+700x-10 000≥2 000，解这个不等式方程得30≤x≤40.
又由于这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，所以每月的成本最少需要30元.
答：如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要30元.
追根溯源展示
验 算
考试中某学生拿出骰子，摇出10
道选择题答案.
快结束时他突然又拿出骰子来摇.
监考老师忍无可忍：“你在干
什么？”
学生：“我在验算. ”
乘法分配律
老师发现一个学生在作业本上的姓名是：
木（1+2+3）.
老师问：“这是谁的作业本？”一个学生站
起来：“是我的！”老师：“你叫什么名字？”学生：
“木林森！”老师：“那你怎么把名字写成这样
呢？”学生：“我用的是乘法分配律！”
数学幽默
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