第一章 矩 阵
第三节 逆方阵
一、逆方阵的概念
二、逆方阵的性质
一、逆方阵的概念
则矩阵 称为 的逆方阵或逆矩阵、逆阵.
在数的运算中，
当数 时，
有
其中 为 的倒数，
（或称 的逆）；
在矩阵的运算中，
单位阵 相当于数的乘法运算中
的1，
那么，对于矩阵 ，
如果存在一个矩阵 ,
使得
此时也称矩阵 可逆，否则称 不可逆.
例1
则
因此， 是方阵 的逆方阵,
设线性变换
的系数矩阵A是可逆方阵，
则在等式 两边
左乘 A 的逆阵 可得等式
线性变换.
称为 的逆变换．
二、逆方阵的性质
如果方阵 可逆，那么 有唯一的逆方阵
证
设 也是 的逆阵，
则
性质1（唯一性）
而
从而
如果方阵 A 可逆，且
则必有
如果方阵 A 可逆，且
则必有
证
由 A 可逆，且
性质2（必然性）
及
有
如果方阵 A、B 可逆，则
并且有
性质3（乘积可逆性）
也可逆，
证
所以
推广，
若
都可逆，则
如果方阵 A 可逆，则
可逆，
性质4（互为性）
而且
如果方阵 A 可逆，则
的每一行都不能全为零，
性质5（无零行、列）
的每一列也都不能全为零.
如果方阵 A 可逆，则
可逆，
性质6（转置可逆性）
而且
证
所以
且
性质7（数乘可逆性）
如果方阵 A 可逆，数
那么 可逆，
证
例 2 设
解
设 是 的逆矩阵,
则
利用待定系数法
又因为
所以
例 3 设
解
于是
例4
例5
解
给方程两端左乘矩阵
给方程两端右乘矩阵
得
给方程两端左乘矩阵
得
给方程两端右乘矩阵
解
例6
解
例7
三、小 结
逆矩阵的概念；
逆矩阵的计算方法：
逆矩阵的性质；
思考题
思考题解答
答
完
