§1 效用最大化
任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验
命题。从重商主义、重农主义、古典经济学、新古典经济学到当代
主流经济学，无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得
到了越来越深入的研究。
一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学
无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何
人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来
一定限制。比如，人们需要商品，但必须能够卖得起。人们受到的
这些种种限制，虽然影响着人们的选择，但这些限制却使得效用最
大化问题有了解决途径——服从约束条件的效用最大化。
理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己最满
意的消费方案。这就是效用最大化。
一、预算约束
设消费集合为 ，价格体系为 ，消费者收入为 r。消
费者进行选择时，要受到两方面条件限制：客观条件与经济条件。
客观条件限制：包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经
济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的
范围，即消费集合X 。因此，客观条件限制可表示为 x X 。
经济条件限制：主要是价格与收入对消费选择的限制，消费者
必须在收入许可的范围内选择。经济条件限制可表示为 p x r。
理性消费者不能去偷、去抢、去骗，但可以赊账消费或借款消
费。然而这不是说可免费消费，赊账和借款相当于扩大收入，然后
在收入限制下进行消费选择，并没有没有摆脱收入约束。
预算约束：是指由客观条件限制(xX )与经济条件限制( p x r)
给消费选择造成的制约条件。预算约束可表示为：要求消费选择行
为 x 必须服从条件“(x X )( p x r)”。
= (b1, b2,, b)，这就证明了 ( p, r)的有界性。至于 ( p, r)的闭性，
则从 可知。这样， ( p, r) 是有界闭集。
(一) 预算集合
预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，是消费集合
X 的子集 ( p, r)={xX : p x r}。超平面 p x = r 叫做预算线。
( p, r)
X
(预算集合
)
证明：既然 X 下有界，存在向量 a 使
得 x a = ( a1, a2,, a) 对一切 xX 成立。
令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2,, )。对任
何 x ( p, r)，既然 p≫0且 x a ，我们
有0 pi (xi – ai) p (x – a) r – p a，从而 pi xi
r – p a+ pi ai ( i = 1,2,, )。可见， a x
b
p x = r (预算线)
定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p≫0 及收
入 r，预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集。
(二) 最低生活保障
国家为了维护人民生活，建立了最低生活保障制度。这项制度
有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先从预算集合
角度，考察一下最低生活保障制度的含义。
为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入
就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体
系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。
最低生活保障制度是一种保证收入 r 不低于 I( p) 的制度。条件
r I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。
定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。
(1) 如果 X 且 r > I( p)，则 ( p, r) ；
(2) 如果 X 是非空下有界闭集，p≫0 且 r I( p)，则预算集合 ( p,
r)
是非空有界闭集 。
二、马歇尔需求
效用最大化是指消费者在预算约束下进行最满意的消费。准确
地讲，设消费集合为 X ，偏好关系为 。在价格体系 p 和收入 r 下，
消费者的(马歇尔)需求集合 D( p, r) 是指 ( p, r) 中最好的商品向量
的全体：D( p, r) = {x ( p, r): (z ( p, r))( z x )}。
定理 马歇尔需求集合中任何两种方
案都无差异：(x, yD( p, r))(x ~ y)。 无预
算
线 差
异
曲
线
( p, r)
马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需
求，即预算集合中消费者认为最好的消费方
案，这个方案就是消费者最终决定的消费方
案，称为马歇尔需求(向量)，简称为需求(向
量)。
最优解：斜率相等。切点是
最优点
五、应用事例
现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售
税的比较，价格补贴发放办法比较。
问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？
国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征
收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那
么，哪一种征税办法对居民更为有利些?
问题2：涨价补贴对消费者是否有利？
商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许
涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补
贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？
为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收
入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
(一) 所得税与消费税的比较
征收销售税：税率向量为t = ( t1, t2,, t)，ti
为购买一单位商品 i 的税额。按税率 t 征收销
售税，相当于价格从 p 上升到 p+ t，于是需求
从 xD( p, r) 变到 yD( p+t, r)，所纳的税额为T
= t y。注意 y ( p+t, r ) ( p, r)，故 y x。
征收所得税：把销售税改为所得税，直接
从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的
税额T = t y，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费
者选择变为 zD ( p, r- T )。
x
x
y
y
z
( p+t, r)
( p,
r)
结果比较：可以看出， y ( p, r- T )，因
而 y z。这说明：虽然缴纳的税额相同, 但
征收所得税要比征收销售税对居民更为有利
些。
( p, r- T )
(二) 价格补贴发放办法比较
不许涨价：在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况
下，消费者的选择为 xD( p, r)。
允许涨价：允许商品涨价，把价格补
贴发放给消费者。涨价后的价格体系
为q，补贴使得消费者收入从r 提高到s
，消费者的选择从 x 变为 yD(q, s)。
补贴标准：补贴后，要保证消费者仍
可以按照原来的方案进行消费，即补
贴额 = q x p x，也即 q x = s。
结果比较：x (q, s)，x y。这说明
“允许涨价，把补贴发给消费者”比
“不许涨价，把补贴发给生产者”对
消费者来说更为有利些。
( p, r)
x
x
y
§2 支出最小化
任何人都希望在保持生活水平不变的条件下最小化自己的支出
而非最大，这也是经济学的一个先验命题。
支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消
费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越
少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低
于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在
于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货
币换商品，相当于以效用换效用。正常人都会有想占便宜的正常心
理，谁不想以较少的效用换得较多的效用呢？因此，支出最小化当
然也要算作经济人理性的构成部分。
准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前
提下，谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了
消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。
最
优
支
出
例：
已知CES效用函数
请推出对应的支出函数
受约束于
希克斯需求函数
将最优解
带入 得支出函数
收入=支出
最优点等于支出函数的斜率
替
代
效
应
收入效应价格效应
一、支出约束
现在，我们按照支出最小化的思路，来分析一下消费者的最优
选择。假定消费者目前面临着一种可以选择的消费方案为 xX ，
商品的价格体系为 p。这样，消费方案 x 的支出便为 p x。
消费者是否要选定 x 作为消费行动呢？这取决于是否还有其他
不比 x 差的可行消费方案 y能使支出( py)变得更少。如果这样的方
案 y 存在，那么消费者不会选择 x。至于是否选择 y 作为行动方案，
则又取决于是否存在不比 x差而支出比 y还少的其他可行消费方案 z。
这种选择过程要一直进行下去，直至
选不出其他不比 x 差而支出能进一步减少
的可行方案。可以看出，每次选择都在集
合 E(x) = { yX : y x} 中进行。该集合
E(x) 就称为消费者在方案 x 处的支出集合，
条件“yE(x)”叫做 x 处的支出约束。
支出集合
X
对任何 。
其中 u : X R 为消费者的效用函数。显然， 。
(一) 支出函数
支出函数
支出函数 e( p, x)正表达了支出最小化的
意义：与 x 相比，在不降低生活水平的
条件下，寻求支出最小化。
对任何 及任何 x, yX ，只要 x ~ y，就有 e( p, x) = e( p, y)。
对任何 及任何 xX ， e( p, x) + e( q, x) e( p+q, x)。
对任何 ，xX 及任何实数 t > 0，都有 e(t p, x) = t e( p, y)。
对任何 xX ，e( p, x) 都是价格 p 的凹函数。
效用水平支出函数：
当e( p, x)=I( p)时，支出达到消费集合 上的最小支出，再也没
有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在 x, yX 使得 x
y 但 e( p, x) = e( p, y)。这意味着E(x)中的最小支出点 x* (即 px* = e(
p, x))和 E( y)中的最小支出点 y*都在X上，如下图所示。在点 x 处，
本来x*是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：
同
(二) 最低支出限制
样支出下，还有更优的消费方案 y*。
鉴于这个原因，通常考虑支出最小化问
题时，总是要求e( p, x) > I( p)。这个条件叫做
最低支出限制，符合该条件的消费方案的全
体是集合 。
定理 对于理性消费者(X, ) 来说，在任
何价格 p >> 0 下，对任何 x, yX ( p)，都有
这就是支出函数的效用性质。
无
差
异
曲
线
p
X
在既定的价格体系 p下，对于 xX ，支出集合 E(x) 中的最小
支出点 x* (即 x*E(x) 且 px* = e( p, x)) 所代表的消费方案，就叫做
价格体系 p 下方案 x 处的希克斯需求(向量)。
用 H( p, x) 表示价格下方案 x 处的希克斯需求向量的全体，称为
价格 p 下方案 x 处(或效用水平[x]上)的希克斯需求集合，即
H( p, x) = {zE(x): (yE(x))( p z p y )}
二、希克斯需求
对任何 p>> 0及任何 x, yX ，只要 x ~ y，就有 H( p, x) = H( p, y)。
对任何 p >> 0及任何 xX ，若 H( p, x) ，则 pH( p, x) = e( p, x)。
希克斯需求法则：对任何价格向量 p, q 及任何 zX ，都有
(xH( p, z))(yH( q, z)) ( ( p q)(x y) 0 )
即希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系。
证明：注意，x, yE(z)。xH( p, z)说明 p x p y；yH( q, z)说
明
q x q y。因此， p x q x p y q y，即( p q)(x y) 0。
存在性定理 如果消费集合 是下有界非空闭子集，并且偏
好关系 连续，则对任何价格向量 p≫0及任何消费方案xX ，
都有 H( p, x) 。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在。
(一) 希克斯需求的存在性
希克斯需求的存在性是一个基本问题。如果说希克斯需求集合 H
( p, x)是空集，那么支出最小化理论便是空谈。
x
p
证明： X 为下有界非空闭集
及 p>>0意味着集合B = {zX : (z
x)( pz px)}是非空有界闭集。
注意，函数 pz (zX ) 在 E(x)
上的最小值与在 B 上的最小值一
致，且 pz为连续函数，而连续函
数在有界闭集上必有最小值。故
希克斯需求存在。
B
(二) 希克斯需求的唯一性
希克斯需求的唯一性也是一个基本问题。如果唯一性成立，则
消费从支出最小化角度的选择便是明确的。
唯一性定理 设消费集合 X 是凸集，偏好 连续且严格凸，则
对于服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX ，希
克斯需求集合H( p, x)中最多只有一种消费方案。
反证法：假如存在 y, y H( p, x), y
y ,如右图所示, 则 p y = p y = e( p, x) > I
( p), 从而存在 wX 满足 p w < p y 。这样，w
x。
的严格凸性保证了y x。 的连续
性保证了在连接 w 和 y 的线段上存在 z 满足：
z ~ x 且 p z < p y= p y。这与 y H( p, x)相矛
盾！
x
y H( p,
x)
y H( p,
x)
y = –(
y+y )
w
z
1
2
(三) 希克斯需求的保效性
保效性定理 设消费集合X 是凸集，偏好
连续, 则对服从最低支出限制的任何
价格向量 p 和消费方案 xX ，希克斯需
求集合H( p, x)中的每种方案都与 x 无差异。
yH( p, x), y
x
w x
p w < p y
反证法：假如存在 yH( p, x)使 y x。
则存在wX 使得 p w < p y且w x。
z x , p z < p
y
xX
p
偏好 的连续性保证了在连接 w和 y 的线段上，存在一点 z 使
得z ~ x且 p z < p y。这与 y H( p, x)相矛盾！
条件分析：p≫0的要求在希克斯需求存在性中不可少，最低支
出条件 e( p, x) >I( p)在希克斯需求唯一性不可少。这样，由 p≫0
和 e( p, x) > I( p) 确定的价格-方案组合具有特别重要的意义。鉴于
此，我们用 来专门表示这种价格-方案组合的全体，即
= {( p, x)R X : ( p ≫ 0)(e( p, x) > I( p))}
三、希克斯需求映射
希克斯需求的存在性和唯一性表明，在假设 HC 和偏好关系连
续、严格凸的条件下，希克斯需求确定了一个映射 h: X 如下：
(( p, x))( H( p, x)={h( p, x)})
即 h( p, x) 就是 H( p, x) 中的那个唯一的方案。 称这个映射 h: X
为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数 hi( p, x) 称为
消费者的希克斯需求函数( i = 1,2,,)。
显然，希克斯需求映射具有下述三条性质：
零阶齐次性：对任何( p, x) 及实数 t > 0，都有h( t p, x) = h( p, x)。
效用不变性：对任何( p, x)，h( p, x) ~ x 。
反向变动性：对任何( p, x), (q, x)，( p q)( h( p, x) h( q, x)) 0。
即
价格与需求反向变动。
四、效用与支出的对偶
从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问
题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。其实并
非如此，效用最大化与支出最小化是相互对偶的问题。
对偶定理 设消费集合 X 是 的下有界非空凸闭子集， 是
无满足的连续凸偏好。对任何 ( p, r) 和 ( p, x)，都有：
(1) (zD( p, r))( zH( p, z))，即效用最大时支出也最小；
(2) (zH( p, x))( zD( p, e( p, x)))，即支出最小时效用也最大；
(3) 如果 还严格凸, 则 ( p, r) = h( p, ( p, r))且h( p, x) = ( p, e( p, x))。
对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需
求一致。既然如此，消费最优化问题就既可
以从效用最大化出发，也可以从支出最小化
出发来解决。鉴于这个原因，今后我们直接
从效用最大化出发来研究消费者需求。凡提
到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。
z
§3 消费者均衡
消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可以把马
歇尔需求向量 x*D( p, r) 叫做消费者的均衡向量。问题是：怎样
才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为此，
我们将根据具体情况，要使用如下一些假设中的一个或几个：
(1) (X, )是理性消费者，即 X 满足假设HC， 连续、凸、无满足；
(2) 的效用函数 u: X R 满足假设 HU；
(3) 消费者均衡 x* 在消费集合内部实现，即 x*D( p, r) X 。
假定价格体系为 p > 0，消费者收入为 r。利用效用函数 u(x)，
效用最大化问题可表述为：max u(x) . px r。
在需求服从瓦尔拉定律的情况下，不等式约束“p x r”可用
等式约束“p x = r”替代，从而效用最大化问题变得更加明确：
在需求服从瓦尔拉定律的情况下，效用最大化问题可用拉格朗
日乘数法求解。首先，构造拉格朗日函数 L(x, ) = u(x) + (r – p x)；
然后，设 x*X 是效用最大化问题的解；最后，根据拉格朗日乘
数法，存在实数 使得L(x, )在(x*, ) 处的各个一阶偏导数全为零：
这就是说，消费者的均衡向量 x* 必然是方程组 的
解。鉴于这个原因，我们把方程组 叫做效用最大化边
际方程或边际等式(marginal equation)，其中实数 叫做拉格朗日乘
数，简称拉氏乘数， 。
边际方程的重要作用在于它表达了消费者实现效用最大化的一
阶条件：不但是必要条件，而且是充分条件。
一、实现均衡的一阶条件
证明：在定理的条件下，效用最大化只能在预算线上实现，于
是根据拉格朗日乘数法可知，存在实数 使得u (x*) = p 且 p x* = r。
现在，我们只需证明拉氏乘数 > 0。
注意，定理的条件保证了u(x*) 0。而 x*D( p, r) X 又保
证了 u(x*) 0，这是因为对任何xX，若x < x*， 则 px px* = r，
从而 u(x) u(x*)。由此便可推知 u(x*) 0。结果 u (x*) > 0，故
> 0。
定理(必要条件) 设理性消费者(X, )的效用函数 u: X R 在 X
内部可微并且(xX )(u (x) 0)。对任何价格向量 p > 0、收入 r
及消费向量x*X ，若x*D( p, r)(即x*是消费者的均衡)，则存在
实数 > 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，即 (x*, ) 满足边际方程：
(一) 一阶必要条件
1. 必要条件的序数效用意义：替代法则
边际替代率：在消费方案 x 处，商品i 对商品 j 的边际替代率是指
当商品 i 的消费增加一单位时， 在保持效用水平不变的情况下商
品 j 的消费减少量。即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。
市场交换率：商品i 对商品 j 的市场替代率是指市场上一个单位的
商品 i 所能换得的商品 j 的数量, 即商品 i 与商品 j 的价格比 pi /pj。
替代法则：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市
场交换率。
增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。
减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。
2. 必要条件的基数效用意义：边际法则
边际效用均等法则：均衡时，把一单位货币收入不论用于购买
哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的；拉格
朗日乘数 就是均衡时货币收入的边际效用。
如果把边际方程中的效用函数理解为基数效用函数，则边际方
程蕴含着更深刻的意义：边际效用均等法则。
增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。
减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。
(二) 一阶充分条件
定理(充分条件) 设消费集合X 是 的凸子集，效用函数 u(x) 连
续、拟凹且在 X 内部连续可微。则对任何价格向量 p > 0、收入 r
及消费向量x*X ，若存在实数 > 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，
则x*D( p, r)(即x*是消费者的均衡)。
证明. 首先注意，u(x) 弱拟凹(连续+拟凹 弱拟凹)。要证明 x* D
( p, r)，就是要证明(xX )( ( p x r) (u(x) u(x*)) )。
第一步，先证明 (xX )( (u(x) u(x*)) ( p x r) )。
为此，任意给定 xX 使得 u(x) u(x*)。u的弱拟凹性保证了对
任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1- t) x*) u(x*)。于是，
既然 > 0，因此 p x p x* = r。第一步的结论得证。
从 x*X 知，存在 wX 使 w << x*。
由于 p > 0，因此 pw < px* = r。根据第一
步的结论，便知 u(w) < u(x*) < u(x)。
u(x)的连续性保证了存在 t(0, 1) 使
得 u(tw+(1t)x) = u(x*)(连续函数介值
定理)。记 z = tw + (1t) x，则我们有：
p z = t pw +(1 t) px < t r +(1 t) r = r
可见，u(z) = u(x*) 且 p z < r。再根据
1. 充分条件的证明
第一步的结论，可知 p z r，这与 p z < r 相矛盾！矛盾的结果表明反
证法的假定是错误的，故只有(xX )((u(x)>u(x*))( p x > r))成立。
这一结果意味着(xX )( ( p x r) (u(x) u(x*)) )，定理得证。
第二步，再证明 (xX )( (u(x) > u(x*)) ( p x > r) )。
用反证法，假定存在 xX 使得 u(x) > u(x*) 但 px r。
X
z
商品间的替代法则：如果在 x*处，任何两种商品之间的边际
替代率都等于它们相应的价格比，即
那么 x* 就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。
2. 充分条件的意义
边际效用均等法则：如果在 x*处，把一单位货币收入不论用
于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的，即
那么 x* 就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。
充分条件定理意味着商品之间的替代法则和边际效用均等法则
不仅仅只是均衡的必要条件，通过这两条法则足以能够判断消费者
是否实现了均衡。
二、内部均衡与边界最差现象
一阶条件要求均衡位于消费集合内部(即内部均衡)。内部消费
的特点，就是可沿任何方向对这种消费进行调整。而边界消费就没
有如此的好处：若要调整边界消费，则必须考虑调整方向是否可行
的问题。因此，一般情况下，边界消费总是要比内部消费差些，这
就是边界消费最差现象，我们将其作为一个假设。
边界最差假设：(xX )(y X )( x y)。
此假设是生活水平较高的体现。那种有食无衣、有衣无食的生
活正是最差的边界生活。在此假设下，均衡必然在消费集合内部实
现：既有衣物，又有食物。这正是内部均衡定理表述的事实。
内部均衡定理 假定理性消费者( X, ) 服从边界最差假设。则
对于任何( p, r), 都有 D( p, r) X 。进而如果 还是内部严格
凸的，则需求映射 : X 得以确定且(( p, r))(( p, r)X )。
设 x*=( p*, r*)X ，p* > 0，* 是确定 x* 的边际方程中的拉
氏乘数：u(x*) = * p* 且 p* x* = r*。假设HC、HP和HU成立。
间接效用函数 可看成函数 L(x, p, r) = u(x) + *(r- p x) 与需
求映射 ( p, r) 的复合： 。因此，我
们有：
三、Lagrange乘数的意义
结合u(x*) = * p*，可知 。由于 p*和 r*都是
任意给定的，因此可把此公式直接写成下述定理的形式：
拉氏乘数是货币收入的边际效用——货币的价格——影子价格。
定理 在假设HC、HP 和HU下，对任何( p, r)，如果 (x,) 是边
际方程的解，即 u(x) = p且 p x = r，则 。
劳动供给与时间分配
在新古典经济学中，消费者与劳动者是分离的，故
在消费决策中，消费者的选择只与消费者的偏好、
商品的价格以及收入有关；劳动者供给劳动的决策
只与工资有关。这种分离割裂了作为一个经济系统
的整体性。特别是在宏观经济中，劳动市场与商品
市场的相互关系使许多分析的有效性受到了限制。
将家庭作为社会生产和消费的基本单位，将商品消
费选择与劳动力的生产、供给联系起来是诺贝尔经
济学获得者加里·贝克尔(Gary Becker)对经济学的一
大贡献。显然，生产者个体对劳动力的生产，不仅
需要消费物品，而且需要闲暇时间（用以睡眠和受
教育）。将闲暇引入效用函数，则传统的消费选择
模型变为：
将 代入第一个约束：
对其进行代数变换得到
等式右边表示，将全部时间用来劳动所获得
的收入，为全部收入(Full Income)，用F 表示。
这样，最优化问题()就变为
这样，生产者的个体决定变成对两种“商品
”的消费选择，一种是通常的物质产品(一组)
，另一种为“闲暇”，其价格为ω—工资。这
样我们可以得到均衡时的一阶条件：
，
由马歇尔需求函数的概念，我们有
为了突出劳动供给的分析，我们采用一个二
阶段的方法来解决这一决策问题。第一阶段
保持消费者收入M 和闲暇时间（工作时间）
不变，在支出约束下选择商品最大化其效用。
则最优选择 依赖于价格p，收入M 及闲暇时
间 ，即
代入效用函数，得间接效用函数
第二阶段，选择 以最大化第一阶段的间接
效用函数。为突出劳动供给，我们用
代入
将 代入（），选择z 最大化
v，即
由于z 不可能取0 或T，故一阶条件为
二阶条件为
作图M—z，由于 ，我们知图(a)
中的斜率即为工资率ω，无差异曲线的斜率
为 ，则达到均衡值时满足 。
这与我们推得的一阶条件是一致的。
当工资率ω上升时，劳动的供给z 会增加，而
当ω增加到一定程度后，z 与ω是反方向变化，
在ω—z 图上呈现一种向后弯曲的供给曲线
(Backward Bending Supply Curve)。
向后弯曲的供给曲线
谢 谢
一月-
2310:31:0010:3110
:31一月-23一月-
2310:31
10:3110:31:0
0一月-23一月
-2310:31:00
2023/1/16 10:31:00
