第二部分：消费者理论
主要内容
效用最大化
选择
需求
消费者剩余
效用最大化
主要内容：
预算集与可行消费束
偏好
选择规则
效用函数
偏好的假设
效用最大化行为
间接效用函数
支出最小化
需求函数
对偶与罗伊恒等式
效用的货币度量问题
1.预算集Budget Set
预算集：既定收入水平下的可行消费集。
收入水平m；
N种商品的消费向量和价格向量
预算集 或者
可行消费束
2. 偏好（Preference）
偏好：消费者选择偏爱的商品组合的倾向性程度。
偏好的基本关系
弱偏好关系“ ”：
对于任何的x, y ∈X， x y 意味着“消费束x至少和消费束y一样好”。
严格偏好“ ”：
无差异 “ ~ ”：
个人偏好的理性假设
个人偏好的理性：偏好关系必须满足以下三个基本假设
完备性：
对于所有的x, y ∈X，要么x y，要么y x，要么两者同时成立。
传递性：
对于所有的x, y, z ∈X，如果x y ， y z ，则有
x z 。
自反性：
对于所有的x∈X，有x x 。
3. 效用函数
定义：消费者偏好的刻画或描述
消费束 效用函数为u(x)
物品的替代关系：边际替代率
替代关系的类型
完全替代 完全互补
厌恶品 中性商品
饱和偏好
满足效用度量的偏好假设（1）
连续性
x, y∈X，集合{x：x y} 和 {x： y x} 是闭集
集合 和 是开集
单调性
弱单调性：如果 x ≥ y，则 x y
强单调性：如果 x ≥ y，且x ≠ y，则 x y
性质：
如果消费者的偏好是完备性、自返性、传递性、连续性和强单调性，那么就存在一个连续的效用函数来代表该偏好。
满足效用度量的偏好假设（2）
局部非饱和性
给定消费集X中的任意消费束x和任意的ε>0, X中总存在y,满足∣x-y∣<ε,使得y x
性质：如果偏好关系是强单调的，那么它一定是局部非饱和的。
满足效用度量的偏好假设（3）
凸性
给定消费集X中的任意消费束x、y和z，使x z，y z，若对所有的0≤t ≤1有tx+(1-t)x x
严格凸性
给定消费集X中的任意消费束x、y和z，且x≠y ，如果 x z，y z，则对所有的0≤t ≤1有tx+(1-t)x x
效用无差异的商品替代
凸性保证了边际替代率的递减
边际替代率不取决于代表内在偏好的效用函数的形式
4.消费者的效用最大化行为
理性假设：理性消费者总是从可行消费集中选择使自己效用最大化的消费束
效用最大化问题
效用最大化的几个基本特性
最优解的存在性要求：目标函数连续，有界闭集。
最优消费束由偏好关系决定，和效用函数的选择无关。
最优消费束的选择集合对价格和收入是“零次齐次的”。
间接效用函数和需求函数
间接效用函数
定义式
需求函数
实现最大化效用v(P,m)的需求束，表示为x(P,m)
x(P,m)是 (P,m)的0次其次函数
效用最大化的条件
构造拉格朗日函数
一阶条件：
任意两式的比值有
边际替代率=经济替代率
二阶条件：保证最大值的唯一性
5.间接效用函数的性质
性质1： v(P,m)对价格P是非增的。
即如果P’≥P，则有v(P’,m)≤ v(P,m)
类似地， v(P,m)对m是非减的。
性质2：v(P,m)对P和m是0次齐次的。
性质3： v(P,m)对价格P是拟凸的。
性质4： 对于所有的P>0，m>0，v(P,m)是连续的。
6.支出最小化问题
支出最小化问题（Expenditure Minimization Problem，EMP）：实现某一给定效用的最小支出
支出函数e(P,u)是间接效用函数的反函数。
e (p, u) 的性质：
关于 p 是一次齐次的；
关于 u 严格增，关于任何p非减；
关于 p 是凹的。即
关于 p ，u 是连续的。
6.需求函数
h (p, u) 希克斯需求函数（Hicks Demand Function）
也称补偿需求函数（Compensation Demand Function ）。
是指价格p下实现U的最小成本的商品需求束。
令
则有
体现的是价格变化后，为了保持效用水平不变，需要通过支出（收入水平）的变化来补充。
与效用最大化条件下的需求函数x (P,m)相对应， x (P,m)也称为马歇尔需求函数 。
可观测性的比较
7.对偶关系的重要恒等式
基本对偶关系
对偶的四个恒等式
8.罗伊恒等式
罗伊恒等式（Roy’s Identity）的表达形式
证明：
货币度量的效用函数
