第二节 离散型随机变量
离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量表示方法
三种常见分布
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量 .
(1) X 可能取的值是0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为:
例1
一、离散型随机变量及其分布律
1. 定义: 某些随机变量X的所有可能取值是有限多个
或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .
其中 (k=1,2, …) 满足：
k=1,2, …
（1）
（2）
2. 定义: 设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的
一切可能值，称
为离散型随机变量 X 的分布律(probability distribution).
用这两条性质
判断一个函数
是否是分布律
解: 依据分布律的性质
P(X =k)≥0,
a≥0 ,
从中解得
即
例2
设随机变量X的分布律为：
k =0,1,2, …,
试确定常数a .
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
（2）列表法
X
随机变量X的所有取值
随机变量X的各个取值所对应的概率
例3 某篮球运动员投中篮圈概率是，
求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.
解：X 可取值为0,1,2 ;
P{X =0}=()()=
P{X =1}= 2()() =
P{X =2}=()()=
则X的分布律为：
X
例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，
已知他每发命中的概率是p，
求所需射击发数X 的分布律.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
P{X=1}=P(A1)=p,
为计算 P{X =k }， k = 1,2, …，
Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
设
于是
可见
这就是求所需射击发数 X 的分布律.
例5 一汽车沿一街道行驶，
需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，
每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，
且红绿两种信号灯显示的时间相等.
以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，
求X的分布律.
解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.
P{X=0}=P(A1)=1/2,
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
路口3
路口2
路口1
P{X=1}=P( )
= 1/4
P{X=2}=P( )
=1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口3
路口2
路口1
路口3
路口2
路口1
=1/8
P(X=3)= P( )
路口3
路口2
路口1
即
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
三、三种常见分布
1.（0-1）分布：（也称两点分布）
随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，其分布律为：
X ~ b(1, p)
或
称 X 服从（0-1）分布或两点分布
或
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从
（0－1）分布的随机变量．
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．
看一个试验: 将一枚均匀骰子抛掷3次.
X 的分布律是：
令X 表示 3次中出现“4”点的次数
2. 伯努利试验(Bernoulli Trial)
和二项分布(Binomial Distribution)
掷骰子: “掷出4点”，“未掷出4点”
抽验产品: “是正品”，“是次品”
1) 设在一次试验E 中我们只考虑两个互逆的结果: A 或 .
这样的试验E 称为伯努利试验 .
“重复” 是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
2) 将伯努利试验E 独立地重复地进行n次,
则称这一串重复的独立试验为 n重伯努利试验,
亦称伯努利概型.
“独立” 是指各次试验的结果互不影响 .
3) 用X 表示n 重伯努利试验中事件A发生的次数,则
易证：
（1）
称 服从参数为n 和p 的二项分布, 记作
X ~ b(n, p)
（2）
例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次,
每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，
因此这3 次试验的条件完全相同且独立，
它是3重伯努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为.
设X 为所取的3个中的次品数，
于是，所求概率为：
则
X ~ b(3,)，
若将本例中的“有放回”改为”无放回”,
那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 .
此时, 只能用古典概型求解.
请注意：
书上例2的计算结果：
伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，
但有下述要求：
（1）每次试验条件相同；
二项分布描述的是n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律 .
（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ，
（3）各次试验相互独立.
可以简单地说，
且 P(A)=p ， ；
例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是,
求三个灯泡在使用1000 小时以后
最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ b(3, )，
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,
“使用到1000小时已坏”
视为事件A .每次试验,
A 出现的概率为
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1}
=()3+3()()2
=
3. 泊松分布(Poisson Distribution)
1) 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … ,
且概率分布为：
其中 λ>0 是常数,
则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布,记作X~π(λ).
自然界和社会科学的许多随机现象都遵从泊松分布。
例如，某时间段内电话交换机台接到的呼叫次数；
某地区一段时间间隔内发生的交通事故的次数；
一天内到商店去的顾客数；
医院每天来就诊的病人数；
某放射性材料在一段时间内放射出来的α-粒子数；
一本书内一页或若干页中的印刷错误等，
都服从或近似地服从某一参数的泊松分布。
例8 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布．为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？
解
由附录的泊松分布表知
只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．
2) 二项分布的泊松近似
解
注意 此种情况下，不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名维修工负责90台设备相当于每个维修工负责30台设备，工作效率是（1）中的倍.
注意 此种情况下所求概率与(2)中基本上一样，而10名维修工负责500台设备相当于每个维修工负责50台设备，工作效率是(2)的倍，是(1)中的倍.
由此可知 若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率.
作业
习题2-1 2
习题2-2 2,3,4,7,9
