正态样本统计量的抽样分布
正态分布
t分布(学生分布)
F分布
(卡方)分布
正态总体抽样分布的某些结论
Excel实现
确定统计量的分布—— 抽样分布, 是数理统计
的基本问题之一. 采用求随机向量的函数的分布的方
法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止 2 或 3
(甚至还可能是随机的), 故计算往往很复杂, 有时还
需要特殊技巧或特殊工具.
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍
的几个抽样分布均对正态总体而言.
正态分布(Normal distribution)
则
特别地,
则
若
.~
若
.~
上(双)侧 分位数的概念
设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x )
, 为给定常数, 0 < <1 若
则称 x 为X 所服从的分布的上 分位数.
如果 X 的概率密度函数为偶函数,则对于满足
0 < < 1/2 的 ,
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
若
标准正态分布的上 分位数 z
z
•
常用
数字
/2
-z/2 = z1-/2/2
z/2
•
-z/2
•
分布(Chi squared
.)
定义 设 相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n = 1 时,其密度函数为
n = 2 时,其密度函数为
为参数为1/2的指数分布.
一般地,
其中，
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
的密度函数为自由度为 n 的
n=2
n = 3
n = 5
n = 10
n = 15
分布
密度函数图
例如
分布的性质
(10)
•
n = 10
( ) )10(
)10(
2
2
=>
=
c
c
P
相互独立,
证 1 设
则
t 分布 (Student 分布)
定义
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分
布其密度函数为
X , Y 相互独立,设
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
n = 1
n=20
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
2°t分布的上 分位数 t 与双测 分位数 t/2 有表可查
n = 10
t-t ••
t/2-t/2 ••
/2/2
F 分布
(F distribution with n and m degrees)
则F 所服从的分布称为第一自由度为n ,第二自由度为
m 的F 分布,其密度函数为
定义 X , Y 相互独立，设
令
m = 10, n = 4
m = 10, n = 10
m = 10, n = 15
m = 4, n =10
m = 10, n =10
m = 15, n =10
F 分布的性质
例如
事实上,
故
但
F(n,m)
•
)5,4( =F
?)4,5( =F
例1 证明
证
证
例2 证明：
设
令
正态总体抽样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
与
相互独立
设
总体的样本为( )，则
(1
)
(2
)
( II ) 两个正态总体
设 是来自正态总体
的一个简单随机样本
是来自正态总体
的一个简单随机样本
它们相互独立.
令
则
若 则
(3
)
设 是来自正态总体
的一个简单随机样本
是来自正态总体
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
与 相互独立
(4
)
例3 设总体
大于70 的概率不小于 90% ,则样本容量
,为使样本均值
解 设样本容量为 n , 则
故
令 查表得
即 所以取
—— .
42
例4 从正态总体 中，抽取了
n = 20 的样本
(1) 求
(2) 求
解 (1)
即
故
(
6)
(2)
故
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
的简单随机样本, 求统 计量
所服从的分布.
解
从而
例7 设 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, 是样本均值,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
故应选(B)
解
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
求下列概率:
(1)因为
=2Φ()-1
=
解
解
=
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
求下列概率:
解
=
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
求下列概率:
Step1 在数据编辑窗口中，建立数据文件;
Step2 计算样本均值——调用Average 函数：
Step3 计算样本方差——调用Var 函数 ;
Step4 计算样本标准差——调用Stdev 函数.
(1) 利用Excel计算样本均值、样本方差、样本标准差
Excel实现
Step1 计算标准正态分布的上侧α分位数
Step2 计算 的上侧α分位数
Step3 计算 的上侧α分位数
Step4 计算 的上侧α分位数
(2) 利用Excel计算四大分布的分位数
内容小结：
1. 正态分布
3. t分布(学生分布)
4. F分布
2. (卡方)分布
6. Excel实现
5. 正态总体抽样分布的某些结论
思考题: (非正态总体的样本均值分布问题
)
设总体X 的分布未知，其期望
为来自总体X 的样本，则当n充分均已知，
大时，其样本均值服从什么分布？
答案：
即
思考题2(2003年数学一考研试题选择题)
设随机变量X～t(n)，n>1， ，则( )
A. Y～ (n). B. Y～ (n-1).
B. C. Y～F(n，1). D. Y～F(1，n).
思考题3.(2001年数学一考研试题十二题)
设总体X服从正态分布 ，(>0)，从该总体中抽取
简单随机样本 ，其样本均值
，求统计量
的数学期望。
