作业：p264 1,2,3
第十九章 计划评审方法(PERT)
（Program Evaluation and Review Technique)
计划评审方法PERT 是系统工程中常用的一种科学管理方法。它是把工程开发研制当作一个系统来处理，将组成系统的各项工作和各个阶段按先后顺序，通过网络图的形式，统筹规划，全面安排，并对整个系统进行组织、协调、和控制，以达到最有效地运用资源，用最少的时间来完成系统的预期目标。
网络图又称箭线图或统筹图，它用图解形式形象地表示一个生产任务或工程项目中各组成要素之间的逻辑关系，并形成时间的流程图。它可以用来计算时间参数、规划工程任务和确定关键路线。
在计划管理中，过去习惯采用的是甘特图(Ganttchart)，或称横道图。计划评审方法较之甘特图有明显的优点：
① 能够直观清晰地反映计划各部门或各项工作之间的相互联系和制约，便于掌握计划的全盘情况；
② 反映了某一部门或某一项工作在全局中的地位和影响，便于发现薄弱环节并进行控制、管理；
③ 计划的编制可利用计算机进行数据推理运算，因此便于进行各种方案的分析比较。一旦发现某项工作偏离计划时，及时采取措施，保证整个计划按时完成。
适用条件：一次性的大型科研、生产或工程项目。例如：新产品研制，油田或矿山开发，建筑施工，设备大修，制定长远发展规划等。
第一节 网络图(或PERT图）的组成和绘制
1-1 网络图的基本概念
网络图是由作业、事件和路线组成的。
1．作业
指任何消耗时间或资源的行动。
2．事件
标志作业的开始或结束，或者说标志着在它前面各项作业(紧前作业)的结束以及在它之后的各项作业(紧后作业)的开始。事件本身不消耗时间或资源。
网络图中，事件通常用圆圈表示，作业用箭线表示。一般某项作业若起点事件为i，终点事件为j，将该作业标记为(i，j)。作为整个网络图开始的事件称为最初事件，整个网络图结束的事件称最终事件。
3．路线
指网络图中，从最初事件到最终事件由各项作业连贯组成的一条路。从最初事件到最终事件可以有不同的路，路的长度是指完成该路上的各项作业持续时间长度的和。
各项作业累计时间最长的那条路线，称为关键路线。它决定了完成网络图上所有作业所需要的最短时间。
例：
l-2 建立网络图的准则和注意事项
1．绘制网络图时，一般从左到右（紧后作业）或从右到左（紧前作业），从上到下。事件的编号箭头处必须大于箭尾处。
2．两个事件之间只能画一条箭线，表示一项作业。若两项或两项以上作业同时开始或结束，就要引进虚事件和虚作业，虚作业不消耗资源。
3．各项作业之间的关系及它们在网络图上的表达方式如下：
作业a结束后可以开始b和c，见图(a)；
作业c在a和b均结束后才能开始，见图(b)；
a、b两项作业均结束后可以开始c和d，见图(c)；
作业c在a结束后即可进行，但作业d必须同时在a和b结束后才能开始，见图(d)。
4．网络图中不允许出现回路。
5．网络图中应尽量避免箭线之间的交叉。如图(a)、(b)所示。
6. 网络图中只允许出现一个最初事件和一个最终事件。
第二节 网络图的画法和时间参数的计算
2-1 网络图的画法
作业名称
作业时间（h）
紧前作业
A
B
C
D
E
F
G
H
I
2
4
4
2
4
—
A
B
—
—
E
D, F
D, F
H
l—3 网络图的合并与简化
A
B
C
D
E
F
G
H
I
2-2 作业时间的确定
1. 估工法
2. 三点估计法
设：a——乐观时间
b——悲观时间
c——最可能时间
则作业时间为：
3. 平均值法
设某项工作过去的作业时间分别是 ai (i=1,2,…n),则用下式表示作业的平均时间。
2-3 结点时间参数的计算
1. 结点的最早开始时间tE(j)
一个结点的最早开始时间是指从始点到本结点的最长时间。后面的作业在这时刻之前是不能开始的。
始点结点的最早开始时间等于零，即 tE(1)=0 。
若结点只有一条箭线进入的话，则该箭尾所触结点的最早开始时间加上箭线时间(作业时间)即为该箭头所触结点的最早开始时间。
若结点有很多条箭线进入的话，则对每条箭线都作上述计算之后，取其中最大数值为该结点的最早开始时间。用公式表示为：
2. 结点的最迟完成时间 tL(i)
一个结点的最迟完成时间是指这个结点最迟必须结束的时间，在这个时间里结点事项若不完成，就要影响它的后续作业的按时开工。以 tL(i)表示结点i的最迟完成时间。
终点结点的最迟完成时间：
tL(n)＝总工期
若对任务的总工期没有特别规定，为便于计算，则令：tL(n)＝tE(n)
若结点只有一条箭尾，则该结点最迟完成时间，等于箭头所触结点的最迟完成时间减去该作业的时间。
若结点有很多条箭尾，则对每一条箭线都做上述运算之后，取其中最小值为该结点的最迟完成时间。用公式表示为：
3. 结点的时差S(i)
结点的时差就是结点的最迟完成时间减去其最早开始时间。
用公式表示为
式中：S(i)为结点时差；
tL(i)为结点最迟完成时间；
tE(i)为结点最早开始时间。
2-4 作业的时间参数与计算
1. 作业的最早开始时间tE S(i，j)
一项作业必须等它前面的各项作业完工之后才能开始，在这之前是不具备开工条件的。这个时间就叫做作业的最早开始时间，其意义是该作业最早什么时候可以开始。
一项作业的最早开始时间等于箭尾结点的最早开始时间,或等于它的各项紧前作业最早完成时间的最大值，用tE S(i，j)表示。
计算公式为： tE S(i，j)= tE(i)
或:
2. 作业的最早完成时间tE F(i，j)
一项作业的最早完成时间，就是它的最早开始时间加上本作业所需的时间,其意义是指该作业最早什么时间可以完成，以tE F(i，j)表示
计算公式为： tE F(i，j)= tE S(i,j)+t(i,j)
3. 作业的最迟完成时间tL F(i，j)
一项作业，紧接其后有一个或几个作业，为了不影响后续作业的如期开始，每个作业应有一个最迟必须完成时间，其意义就是该作业最迟应该什么时候完成。
一个作业的最迟完成时间等于箭头节点的最迟完成时间,或等于它各项后续作业最迟开始时间中最小的一个。以tL F(i，j)表示。
计算公式为： tL F(i，j)= tL(j)
或:
4. 作业的最迟开始时间tL S(i，j)
一项作业的最迟开始时间等于箭头所触结点的最迟完成时间减去作业时间,其意义是该作业最迟应该什么时间开始，以tL S(i，j) 表示。
计算公式为： tL S(i，j)= tL(j)-t(i,j)
5. 作业的总时差R(i，j)
在不影响工程最迟开始（或完成）时间的条件下，作业最早开始（或完成）时间可以推迟的时间称为该作业的总时差。
计算公式为:
R(i,j)= tL F(i，j)- tE F(i，j)
= tL F(i，j)- tE S(i,j)-t(i,j)
或：R(i,j)= tL S(i，j)- tE S(i，j)
当R(i，j)＝0时，称作业(i，j)为“关键作业”。
作业总时差越大，说明该作业的机动时间越多，可以在一定范围内将该作业的人力、物力资源用到关键工序上去，以达到缩减工期的目的。
C
B
A
E
H
G
D
F
I
6. 作业的自由时差（单时差）r(i，j)
在不影响后续作业最早开始时间的条件下，作业最早结束时间可以推迟的时间称为该作业的自由时差。
计算公式为：
r(i,j)= tE S(j，k)- tE F(i，j)
= tE(j)- tE F(i，j)
或：r(i,j)= tE(j)- tE(i)-t(i,j)
调用时差时，应该首先调用自由时差，因为它对后续作业不发生影响。总时差与自由时差的关系可以用下图表示。
7. 关键路线与时差的关系
网络图中，时差为零的结点称为关键结点，总时差为零的作业称为关键作业。
在一张网络图中，从始点到终点，沿箭头方向把总时差为零的作业连接起来所形成的线路称为“关键路线”。关键路线在图上用粗线或双线表示。
要想缩短整个任务的工期，必须在关键路线上想办法，即缩短关键路线上的作业时间。
系统网络技术的精华就在于根据网络图找出关键路线，重点保证关键路线；利用非关键路线上作业的时差，调用其中的人力、物力、财力去支援关键路线，使得关键作业（从而使得整个任务）能按期或提前完成。
在一张网络图中，关键路线可以有多条。关键路线越多，表明各项作业的周期都很紧张，要求必须加强管理，严格控制，以保证任务的按期完成。
第三节 任务按期完成的概率分析与计算
前面讲过，作业时间是用“三时估计法”求出的平均时间，因而用公式算出的最早开始时间，也必然有某些不确定因素在内，并不是非常准确的时间。所以，我们就要研究由于这些不确定因素而引起的计划是否能按期完成的问题，即计划按期完成的可能性有多大? 这就是任务按期完成的概率分析的由来。下面对此做一简单的介绍。
一、任务完成时间近似符合正态分布规律
根据概率论中的“中心极限定理”，我们可以认为，任何事项的完工时间是近似符合正态分布的。有了这样一个假设后，我们只要计算出每个作业预计完工时间的平均值和方差，就可以用下面公式求出各个事项按期完成的概率，就能对整个任务是否按期完成给予概率评价，并对计划的执行作出预测。
1. 平均值
叫做作业的平均时间，它与三个估计时间参数有关。
2. 离差与方差
，σ为作业时间的标准离差，它只与作业的最长时间和最短时间有关，是作业时间概率分布离散程度的度量。
方差为：
3. 任务完成时间
根据“中心极限定理”来分析，任务最后完成时间呈正态分布，以
为平均值，
以 为标准离差。
这是当J充分大时的一个渐近估计。
可用概率曲线来形象地分析。当关键路线上的作业由10个以上组成的，从均值左侧伸展-3σcp (σcp为关键事项的标准离差)，又从右侧伸展+ 3σcp ，事项在这一段时间内实现的机会为%，可用图来说明。
二、任务按期完成的概率计算
1. 计算方法
设 P=P(z)
则z服从正态分布。
式中：tL为结点(事项)的最迟完成时间；
tE为结点(事项)的最早开始时间；
tL-tE为结点的时差。
是关键路线上方差之和的平方根，也叫结点的标准离差。
是关键路线上作业的方差。
若已经规定了计划的完成时间为tS，则tL就用此规定时间。因tE（n)是已知的， σcp也是已知的，这样就可以计算出z值。用z值查正态分布表即得概率P。
2. 应用举例
例 设某工程的网络图如下图所示。试计算该工程在20天完成的可能性。如果完成的可能性要求达到%，则工程的工期应规定为多少天?
解:
(1)先求出tm(i，j)。用公式 求得，标在每个作业线的下面，时间单位为天。
(2)计算tE值。用公式
求得tE (7) =(19)。
(3)计算tL值。用公式
求得tL=(19)。
(4)计算tL＝19(天)的完成概率。由
查表：由z＝0查得P＝，即工程按时完成的可能性为50%。
(5)计算tL＝20(天)时完成任务的概率。
关键路线上的方差 分别为
关键路线上方差之和
由此可得概率因子
查正态分布表得P=，即该工程在20天完成的可能性为71%。
(6)如要求按时完成的可能性为%，计算需要的天数。
由公式:
得
查表P＝时，z＝，于是
tL=19+×=22(天)。
即按时完成可能性为%时所需天数为22天。
3. 讨论
由公式 知，tL- tE＝时差。
若tL- tE＝0，则完成任务的概率为50%；若tL- tE>0，则完成任务的概率就大于50%；假设tL- tE为σcp的三倍，则完工概率为99%；若tL- tE<0，则完成任务的概率就小于50%；如果tL- tE <-σcp时，可以判断按时完成任务是成问题的；如果tL- tE <-2σcp，则肯定是大有问题了；如果tL- tE <-3σcp，则按时完成任务只有千分之三的可能性。
这样，管理人员就可根据时差和标准离差来判断按时完成任务的可能性，也就有了一个标准。这就是置信度的分析与计算。
若任务在指定日期完成的概率P(z)满足下列条件：
≤P(z)≤
则表示按此网络图执行计划，在指定日期完成是可能的，比较合适的，计划定得既先进又留有余地。
4. 按照上面讨论的几种情况重新评价关键路线
我们是用时间平均值把非确定型化为确定型，从而找出关键路线。这样做是否合适，值得重新考虑。化为确定型而算关键路线的方法，可以看成是以50%的可能性来完成整个任务的条件下确定关键路线。
确切的提法应该是：给一个预计完成日期，在所有的线路中，依预计日期完成的可能性最小的才是关键路线。而不能只把总时差为零的路线称为关键路线，即应从时差为负值、零或正值三种情况综合考虑来定关键路线。
第四节 关键路线和网络计划的优化
在一个PERT网络图中，有时关键路线可能不止一条。此外，除关键路线外，还有持续时间十分接近关键路线、被称为次关键路线的一些路线，它也是各级领导指挥人员应该注意抓的环节。因为一旦采取措施缩短了关键路线上作业的完成时间后，那些次关键路线有可能矛盾突出，转变成关键路线。
为了缩短整个计划进程，就要设法缩短关键路线的持续时间，这就是网络图的优化或改进。缩短网络图上关键路线的持续时间可通过以下途径实现：
(1)检查关键路线上各项作业的计划时间是否订得恰当，如果订得过长，可适当缩短；
(2)将关键路线上的作业进一步分细，尽可能安排多工位或平行作业；
(3)抽调非关键路线上的人力、物力支援关键路线上的作业；
(4)有时也可通过重新制订工艺流程，也就是用改变网络图结构的办法来达到缩短时间的目的。
一、时间—成本优化
一项工程的成本包括：
直接成本： 随工期的增加而减少。
间接成本： 随工期的增加而增加。
见图示。
时间-成本优化的程序：
1. 画出网络图；
2. 确定关键路线及工期。
3. 计算正常时间计划成本；
公式：
正常总成本=Σ各项作业的直接成本+整个计划的间接成本
4. 计算各项作业的赶工费率；
5. 选取关键路线上赶工费率最小的作业作为赶工对象；
6. 确定新的关键路线及赶工后的计划完成时间；
7. 计算赶工后的总成本；
公式：
总成本=正常直接成本+赶工成本+间接成本
其中：赶工成本=Σ(赶工费率×赶工时间）
8. 重复5—7；直至获得最低工程成本的作业计划。
注：只要关键路线上需同时赶工的各项作业的赶工费率之和小于单位时间的间接费用，赶工就是有利的。
例19—4： 某工程计划，共有四项作业，其成本和作业时间资料见下表，工程间接成本为千元/天。试进行时间成本优化。
1. 作出网络图
2. 找出关键路线(a-c-d)。
由图可知，若按正常作业时间计算，需12天（工期）才能完成计划。
3. 计算按正常作业时间完成时需要的总成本
正常总成本=（10 + 15 + 12 + 8）+ × 12
=45+54=99（千元）
4. 计算各项作业的成本斜率，见上表。
5. 选定赶工对象（关键路线上赶工费率最小的作业d），
可缩短3天，实际只能缩短2天。见下图。
5. 新的关键路线（a-b；a-c-d)，工期为10天。
7. 计算赶工后的总成本
总成本=45 + 2 × 2(d) + × 10
= 94 < 99 （千元）
8. 重复5-7
此时缩短工期的方式有三种：
（1）a 赶工费率=4
（2）b,c 赶工费率=1+4=5
（3）b,d 赶工费率=1+2=3 （min)
可缩短1天（d已经缩短了两天），见下图。
总成本=45 + 1 × 1(b) + 2 × 3(d) + × 9
= < 94 （千元）
然后再对a作业赶工两天，见下图。
总成本= 45 +4 × 2 (a)+ 1 × 1(b) + 2 × 3(d) + × 7 = < （千元）
再对b,c进行赶工两天，见下图。
总成本= 45 +4 × 2(a) + 1 × 3(b) + 4 × 2 (c)+
+2 × 3(d) + × 5
= > （千元）
从而得7天最优。见下图。
二、时间—资源优化
例19—5
