第四章 贝叶斯分析
Bayesean Analysis
§引言
一、决策问题的表格表示——损失矩阵
对无观察(No-data)问题 a=δ
可用表格(损失矩阵)替代决策树来描述决策问题的后果(损失):
…
…
π()
EMBED
…
π()
…
π()
或
π()
…
π()
…
π()
…
…
损失矩阵直观、运算方便
二、决策原则
通常，要根据某种原则来选择决策规则δ，使结果最优(或满意)，这种原则就叫决策原则，贝叶斯分析的决策原则是使期望效用极大。本章在介绍贝叶斯分析以前先介绍芙他决策原则。
三、决策问题的分类：
1.不确定型(非确定型)
自然状态不确定,且各种状态的概率无法估计.
2.风险型
自然状态不确定,但各种状态的概率可以估计.
四、按状态优于：
≤ (I, 且至少对某个i严格不等式成立, 则称行动按状态优于
§ 不确定型决策问题
一、极小化极大(wald)原则(法则、准则) EMBED
EMBED l ( , ) 或 EMBED
例:
10
8
7
9
4
1
9
2
13
16
12
14
6
9
8
10
各行动最大损失: 13 16 12 14
其中损失最小的损失对应于行动.
采用该原则者极端保守, 是悲观主义者, 认为老天总跟自己作对.
二、极小化极小
EMBED l ( , ) 或
例:
10
8
7
9
4
1
9
2
13
16
12
14
6
9
8
10
各行动最小损失: 4 1 7 2
其中损失最小的是行动.
采用该原则者极端冒险，是乐观主义者，认为总能撞大运。
三、Hurwitz准则
上两法的折衷，取乐观系数入
［λ l ( , )＋（1－λ〕 l ( , )］
例如 λ=时
λ EMBED : 2 1
（1－λ〕 EMBED : 8 6 7
两者之和： 8
其中损失最小的是：行动
四、等概率准则(Laplace)
用 EMBED 来评价行动 的优劣
选 EMBED EMBED
上例： EMBED : 33 34 36 35 其中行动 的损失最小
五、后梅值极小化极大准则(svage-Niehans)
定义后梅值 = - EMBED
其中 EMBED 为自然状态为 时采取不同行动时的最小损失.
构成后梅值(机会成本)矩阵 S={ } ,使后梅值极小化极大,即:
EMBED
例:损失矩阵同上, 后梅值矩阵为:
3 1 0 2
3 0 8 1
1 4 0 2
0 3 2 4
各种行动的最大后梅值为: 3 4 8 4
其中行动a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值极小化极大准则应采取行动1.
六、Krelle准则：
使损失是效用的负数(后果的效用化),再用等概率(Laplace)准则.
七、莫尔诺(Molnor)对理想决策准则的要求 (1954)
1.能把方案或行动排居完全序；
2.优劣次序与行动及状态的编号无关；
3.若行动 按状态优于 ，则应有 优于 ；
4.无关方案独立性：已经考虑过的若干行动的优劣不因增加新的行动而改变；
5.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各行动间的优劣次序不变；
6.在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相同，则各行动的优劣次序不变。
§ 风险型决策问题的决策原则
一、最大可能值准则
令 π( )=maxπ( )
选 使 l( , )= l( , )
例：
π( )
7
6
3
4
5
4
1
0
π( ) 概率最大, 各行动损失为 3 4 5
∴应选行动
二、贝叶斯原则
使期望损失极小：
{ l( , ) π( ) }
上例中,各行动的期望损失分别为 , 对应于 的期望损失最小
∴应选 .
三、贝努利原则
损失函数取后果效用的负值,再用Bayes原则求最优行动.
四、E—V(均值—方差)准则
若 EMBED ≤ EMBED 且 则 优于
通常不存在这样的
上例中:
E
V( )
不存在符合E—V准则的行动, 这时可采用f(μ,σ)的值来判断(μ为效益型后果的期望)
( μ-ασ
f( μ，σ)=( μ-ασ
( μ-α(μ +σ )
f越大越优.
五、不完全信息情况下的决策原则(Hodges-Lehmann原则)
状态概率分布不可靠时, 可采用:
φ( )=λ + EMBED i=1,2,… ,m j=1,2,…,n
φ越大越优.
§贝叶斯定理
一、条件概率
、B为随机试验E中的两个事件
P(A｜B)=P(AB)/P(B)
由全概率公式: j=1,2,…,n 是样本空间的一个划分,
P(B)= P(B| )P( )
得Bayes公式
P( |B)=P(B| )·P( )/P(B)
= P(B| )·P( )/ P(B| )P( )
2. 对Θ,Χ两个随机变量
·条件概率密度
f(θ| x)=f(x |θ)f(θ)/f(x)
·在主观概率论中
π(θ| x)=f(x |θ)π(θ)/m(x)
其中：π(θ)是θ的先验概率密度函数
f(x｜θ)是θ出现时，x的条件概率密度,又称似然函数.
m(x)是x的边缘密度, 或称预测密度.
m(x)= f(x |θ)π(θ) dθ
或 p(x| )π( )
π(θ｜x)是观察值为x的后验概率密度。
例：A 坛中白球30%黑球70%
B 坛中白球70%黑球30%
两坛外形相同，从中任取一坛，作放回摸球12次,其中白球4次，黑球8次，求所取为A坛的概率.
解：设观察值4白8黑事件为x，记取A坛为 , 取B坛为
在未作观察时，先验概率p( )=p( )=
则在作观察后，后验概率
P( |x)=p(x| )p( ) p(x| )p( )+p(x| )p( )
= × × ( × ×+ × ×)
= EMBED ( × )
=
=
显然, 通过试验、观察、可修正先验分布.
§ 贝叶斯分析的正规型与扩展型
一、正规型分析
由Baysean原则：先验分布为π(θ)时，最优的决策规则δ是贝叶斯规则 ,使贝叶斯风险
r(π, )= r(π,δ(x))
其中：r(π,δ(x))= R(θ,δ(x))
= [ l(θ,δ(x))
= EMBED l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ (1)
据(1)式，选 使r(π，δ)达到极小，这就是正规型的贝叶斯分析。
在解实际问题时，求使(1)式极小的δ(x)往往十分困难，尤其在状态和观察值比较复杂时，Δ集中的策略数目很大，穷举所有的δ(x)有困难，且计算量颇大。实际上可用下法：
二、扩展型贝叶斯分析(Extensive Form Analysis)
在(1)式中因l(θ,δ)>-∞，f(x｜θ)，π(θ)均为有限值。
∴由Fubini定理，积分次序可换
即r(π,δ(x))= EMBED l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ
= EMBED l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθdx (2)
显然，要使(2)式达到极小，应当对每个x∈X，选择δ，
使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ （2’）为极小
∵δ(x)=a ∴若对给定的x,选a，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 为极小
亦即，
使 EMBED (θ,a) f(x |θ)π(θ) dθ
=l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)p(|x) (3) 达极小，即可使(1)式为极小.
·结论：
对每个x，选择行动a，使之对给定x时θ的后验分布π(θ｜x)的期望损失为极小，即可求得贝叶斯规则。
这种方法叫贝叶斯分析的扩展型，由此确定的贝叶斯规则叫formal Bayesean Rule
——Raiffa Sehlaifer,1961年提出。
·Note
·使(3)式达极小的行动可能不只一个，即可能有多个贝叶斯规则；
·扩展型比正规型更直观，也容易计算，故更常用；
·许多分析人员只承认扩型，理由是：
i，π(θ｜x)描述了试验后的θ的分布，比π(θ)更客观，因此，只要损失函数是由效用理论导出的(即考虑了DMer的价值判断、风险偏好)，在评价行动a的优劣时就应当用后验期望损失。
ii, r(π，δ)是根据π(θ)求出的，而用先验分布π(θ)来确定行动a并不一定适当。
从根本上讲，这种观点是正确的。
·无论从何种观点来进行贝叶斯分析，从理论上讲，结果是一样的，所以采用何种方法可视具体问题，据计算方便而定。
·已经证明，形式贝叶斯分析对一类非随机性决策规则是成立的，也可以证明它对随机性决策规则同样成立。使所有x上后验期望损失极小的贝叶斯规则也是随机性规则集Δ*中的Bayes规则，因此，总可以找到一验期望损失极小的非随机性规则。
三、例(先看无观察问题)
农民选择作物问题，设某地旱年 占60%，正常年景 占40%; 种植耐旱作物
种不耐旱作物，后果矩阵为:
20 0
60 100
决策人的效用函数 u(y)= (1- )
解：i令：l(y)=1-u(y)
ii,作决策树：
iii, 在无观察时, R=l, r= l(,a)π()
r(π, )=l( , )π( )+l( , )π( )
= ×+ ×
=
r(π, )= l( , )π( )+l( , )π( )
= ×+0 ×
=
风险r小者优, ∴δ= ，是贝叶斯规则, 即贝叶斯行动.即应选择耐旱作物。
四、例(续上)
设气象预报的准确性是，即p( | )= p( | )=
其中， 预报干旱
预报正常年景
则 m( )=p( | )π( )+p( | )π( )
= ×+ ×=
m( )=
π( | )=p( | )π( ) m( )
= ×／=
π( | )=p( | )π( ) m( )
= ×／=
π( | )=
π( | )=
正规型分析
①策略 : = ( ) = ( )
r(π, )= EMBED l (, ( ))p( |)π()
4-7
= l ( , )p( | )π( )+l ( , )p( | )π( )
+ l ( , )p( | )π( )+l ( , )p( | )π( )
=××+ ××+ ××+× ×
=
②策略 : = ( ) = ( )
r(π, )= EMBED l (, ( ))p( |)π()
= l ( , )p( | )π( )+l ( , )p( | )π( )
+ l ( , )p( | )π( )+l ( , )p( | )π( )
= ××+××+×× +××
=
③策略 : = ( ) = ( )
r(π, )=
④策略 ： = （ ） = （ ）
r(π, )=
∵r(π, ) ＜r(π, ) ＜r(π, ) ＜r(π, )
∴ ( ( ( 是贝叶斯行动。
4－82.扩展型之一：据(2’) : l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 记作r’
①给定(预报干旱):
采用 r‘=l (,)p(|)π()
= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
= ××+ ××
=
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=
∵风险小者优 ∴给定应选
②给定(预报天气正常)
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=×× + × ×
=
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=×× + 0
=
∴给定应选
由此得形式Bayes规则 : = () = ()
3.扩展型之二：据(3)式 即l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)π(|x)(记作r”)
①给定,
采用 r”= l(,)π(|)
= l(,)π(|) + l(,)π(|)
= × + ×
=
采用 r”= l(,)π(|) + l(,)π(|)
= × + 0×
=
∴给定，应选行动.
②给定
采用 r”= l(,)π(|)
= l(,)π(|) + l(,)π(|)
= × + × =
采用 r”= l(,)π(|)
= l(,)π(|) + l(,)π(|)
= × + 0 × =
∴给定 应选择行动.
∴形式Bayes规则 : = () = ()
§ 非正常先验与广义贝叶斯规则
一、非正常先验(Improper Prior)
概率测度的三个条件：
i,规范性：P(Ω)=1
ii,非负性：0≤P(A)≤1
iii,可列可加性
在设定先验分布时，若不满足规范性，则称为非正常先验.
二、广义贝叶斯规则(General Bayesean Rule)
1.定义：
决策问题的损失函数为l(θ,a)，π(θ)为非正常先验分布，对给定的，使
i, l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 为极小，或者
ii, 0＜m(x)＜－∞时,使 l(,a) π(|x) dθ 为极小的策略(行动)，构成广义贝叶斯规则.
：①在许多重要场合，所有允许的都是GBR
②在无法得到正常先验时，除此别无良策；
③GBR不一定是最好的决策规则
§ 一种具有部分先验信息的贝叶斯分析法
一、概述
1.思路：在部分先验信息难以唯一地确定π(θ)时，抛开唯一性要求，转而确定与已知先验
信息相符的先验分布的集。
2.符号
i, Θ 和A为有限集：Θ={,,…, }
A={,,…, }
损失矩阵L={ } =l (, )
ii,根据贝叶斯分析的扩展型
给定x，应从集合A中选一行动 ，使
q(a)= l (,a) p(|)π() 为极小,亦即
= arg q(a) 或 q( )≤q( ) j=1,2,…,m (4)
则 为贝叶斯行动.
记p(|)为 (x) , π() 为
( =[ , ,…, ] π={ , ,…, }
则 l (,a) p(|)π()=( [diag{ (x) }π]
(4)式可表示成 ( [diag{ (x)}π]≤( [diag{ (x) }π] i=1,2, …,n (5)
j=1,2, …,m
(5)式即 [ (L -1 ( ) diag{ (x) }] π ≥0 (5’)
记 (L -1 ( ) diag{ (x) } 为D (x), 式(5’)可表示为:
D (x) π ≥0 (5”)
3. (5”)式的含义
(1)给定x，先验分布为π时，应选 使5(即5’, 亦即5”)式成立。
对给定的x，要使 成为贝叶斯行动,π应满足 5(即5’, 亦即5”)式.
由(2)可以定义
(x)={ π∈Π| D (x) π ≥0 ; , ≥0 }
式中, Π是先验分布的所有可能的集,
(x) 是Π的一个子集，它能i,使 对给定x为Bayes行动
ii,满足规范性和非负性
二、分析步骤
1. 确定 (x)
2. 确定先验信息对先验分布π(θ)的约束：
Q={ π∈Π| Aπ≥0, , ≥0}
式中, Aπ≥0是先验信息对先验分布π(θ)的约束.
3.结论：
当 (x) 与Q有非空交集时， 为Bayes行动.
三、例
已知：i, Q={ π∈Π| ≥, ≥ , ≥ , }
ii,由已往的统计资料，三种病患者的白血球计数：
f(x| )= N( 3000, 1000 )
f(x| )= N( 3000, 1000 )
f(x| )= N( 3000, 1000 )
iii,观察：x=5000
要求判定：患者得什么病
解：p(x|)= p(5000|)
= EMBED e dx 令x =
= EMBED e EMBED dx
= - =
同理可得:
p(x| )=
p(x| )=
∵L= , 1 = , ∴L-1 = ,
diag{(x)}= D=
D(5000)( π≥0 即≥
∴(5000)= { π∈Π| ≥0, ≥0, }
同理可得(5000)和 (5000)
三、几何意义
由
: 由先验信息确定红框内为Q
3.从 D(x) π ≥0 得, , .
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