商业银行度量同质性风险总额的计算方法何患珍(浙江金融职业学院，杭州31∞18)摘要:在金融混业经营的大背景下，商沈银行面临客户风险的同质性现象越来越典型，大的商业银行经过对，客户进行适当的风险分类，分组后的贷款对象的某些风险也注现出问质性特征，由于风险标的数量一般较大，相关的金融计算也十分复杂，文章证明了短期个别风险模型当或赔次数随机变量为0-1分布时，可以寻求一个级期聚合风险模型与之等价;爱为1重要的，当个别风险模型的风险随机变受服从较小参数的Poisson分布时，也可以寻求到一个复合Poisson分布与之近似。为此，本文章解决了…些特定风险损失随机交量和的分布计算问题。关键词:风险管搜;商业银行;风险计爱;复合Poi~son分布中图分类号:文献标i只码:A文章编号:1002-6487 ( 2ω8)19-∞29-03 伴随着…轮轮级济周期，商业银行应对经济周期的风险管甥技术日益成熟，理论界也创股出了大最的有关商业2 榄翻在具体遮用中将在的问踊屁政册方法银行应对不间经济周期风险的理论文献。因此本文的研究槟弃了商业银行应对经济周期风防的方法，转而研究商业在商业银行的风险管理实务中，随辛苦风险单位数的增银行在经营过程巾面临客户的网有风险的计盘问题。笔者加，计算锻会变得十分庞大。特别是对数以千万计的问质风险对在实务中应用广泛的短期个别风险模攒的运算进行了研单位，要进行千万次数的态棋运算，即使娃计算浓度相呜快的究，并得出了一些结论，这歧结论可有效地解决短期个别风计算机，也需要令人难以忍受的等待时间。因此北美的风险管险榄琐的计算问题。这在些结论的核心思想是寻求短期个别理专家Panjer挺附了Panjer算法，该算法使复杂的卷积运算风险模型与短期聚合风险模型的关系，而短期聚合风阶槐变成了简单的选代运算η但是Panjer算法是J在于复合PoÍsson盟中复合PoÍsson模型义可以用Panj创造代算法解决风险分衔模咽，因此要利用Panjer算法.我们必须将t述的短期个总额的分布计算问题，由两个模础之间的关系，进而且I以得别风阶模现~LH重合Poissoll分布模础建立关系.为此门的我们到短期个别风险模型的风阶总额或总和随机变最S的分在接下来的第三部分进行r一嗖结论的证明，从结论一的证布。以下部分笔者展开阐述这个核心思想并对文中提出的明入手，渐渐推出结论二，在结论工的基础上，1JOJ~--喧假设结论予以证明。条件，得出结论节。其实纺论平与结论工玉的得iU，就已级建立了短期个别风险模搜与复合Poisson分布模型之间的关系。’ 棚型来渊3 结论与证明商业银行面临大量的同质性风险，特别是我们将风险进行隔离、筛选或分类之后，也就是说将我们讨论的风阶进行为了解决商业银行计算同质性风险总额的计算效很问标准化之后，我们说讨论的风险就可以用风除理论巾的短期题，我们必须寻求上述的短期个别风阶模型与复合PoÍsson个别风险模型来捕端，由于经过严格的信贷审核程序，每一分布模础的关系，为此我们先从最简单的短期个别风险模型个风险源发生信用违约的概率都应该是小概率事件，这样找(1)入手，给州相应的结论和证明。然后再将条件进一步扩们就叮以用模型展，给出对结论工的探讨，最后得到我们所需要的关系，为解决相关计算提供理论依据oS= L Xi=L IiBi 结论…:对于个体风阶模型Ii时P(λÍ=.…，n米描述我们所讨论的风险源6其中S为所研究的某类同质风( 1) S=L ，X，=汇I，B;险损失总额随机变蟹，X，为每个风险个体造成银行损失的损失额随机变量.B;为每个风除个体每次造成银行损失的损失其中，Ii的分布列为额随机变量，1，为每个风阶个体造成银行损失的损失次数随机变簸。λ为POÍsson参数，表示在风险度敏期内风险个体发生借用损失平均次数，n为风险单位数。这个模现在风险理那么有:论中称为短期个别风险模础。统计与决策2∞8年第19期(总第271期I29 짌?췲랽쫽뻝뫎⣕햪튪튵럧믺쿕컄맘훐냩틸뇷뛔뺿탍ퟜ떽늼뷡㇄탐뇪룶쏇猽䤽䥩살쪧뛮짺싛㋄퓚볓떥볆샭뇤럖뇰쏷쳵쇋㎽캪쳢⠱햹뻶웤ㆣ쓇춳椽??볆춼쿗싛ꆪ沣뷓죋쇋?쎴ꎺ틸쿕뇤쯦헂볼맜탐웺퓚ꎬ쒣훐뛮뛌ꆣ튵룴ힼ뇰럧뻍쏨쯰탅짌캻쯣돉늼볾⧈쿠폚㇒?믝ꏐꇆ폫럖뇪뇠ퟅ퓚쒣폨倨갲쿂쫖뷢뭐폐궽퓚탐뇪솿믺뷢듊샭펦쇋쪵늢탍뢴뗄웚틔틸샫뮯럧쿕뿉쫶쪧쯦폃돆튵볆ꎬ볒ꆣ컒쯊룸맘튻룶뻶샠쪶뫅튻뺭탍틔堩ꆣ살ꎮ뻶ꎺ튵札췀塪췔?닟뷰뺭뗄캪뇤뻶ꎺ벼뛔짌컱뗃뫏럖룶쿂탐ꆢ횮쿕풴틔컒ퟜ믺ꆣ쯰틸쯣튪ꎬ偡볲탍쒣쏇횣돶볆쳥䥩뫅싫ꎺ싖펪폫횤ꆭ뗄붥짌㈰?죚맽쫽〭솿쇋럧쫵늻튵훐돶볆偯늼뇰늿쏦즸뫳쒣랢폃쏇뛮뇤죫쪧탐뷸튲湪떥ꎬ탍뇘뗄겸뛔쯣ꎺ싖맽뛌쏷듔ⶡꎮ?뗚붥튵硬〸냒믬뛔솿ㆷ럾튻쿕죕춬틸펦쇋쯣楳볆럧럖쇙톡ꎬ탍짺쒣쯹쯦캪욽뗄믡탐탨敲틲폫뷡탫맘쳡쓪䘸?〲뺭돌웚ꆣ죽췆틸?왬?꓃㶡뗚뗑튵뿍튻횲듓킩맜㌰ꆪ볃틦뺭탐뷭폃컊뻛獯쯣쿕뇊듳믲컒살탅탍쳖믺ꎬ䦣偯뻹룶럧뇤잧튪쳡뗼듋뢴늿돶싛톰쾵릩쒣늼ㄹꎮ㘴훜쏦뫏뷡볆뺭뮧냣볊뷏쳘샭돉볃펦맣킩쳢滄컊쒣헟솿럖쏇쏨폃싛뇤䊣껎楳듎뇰쿕뗃췲쇮淁듺튪㷈쟳ꎬ뛾탍쇐楢?왉웚㤱㠷웚䧁럧뷸싛쯣⣗몣펪뷸뷏놣킡뚨ꎻ쫬훜뛔랺뷡ꆣꏐ쳢탍햹뗄샠쮵쫶캥솿믎獯쫽맜쪮듎죋쭐퓋샻偯ﶡ짏캪ꚵ탐⠲ꎮ?쿕ꎻ쯓뛾춬ⱂ?겺뗄탐듳겿닎럧짌ꎬ웚뺭싛헢췒뾪춬횮쳖풼뾸溲쿕샭럖쫽쓑慮쯣폃楳ꏆ폫쫶듋쒽첽틀?〰짌춻쒣쇋ꎬ훊볖듳쫊ꎮ짒쫽쿕튵샭럧볃뛌ꎬ킩평닻훊뫳싛뗄墡뾸컊滎쒣쏖쪵엓틔橥ꆣ偡獯뢴컒쳖뻝?㜱㠩튵ꞵ탍튻퓚탔웚?놳떱쿠퓑뗄쯰틸싛쿕훜웚헢뷡짒솽쫶탔ꎬ폚룅풴ꏎﶣꪷ탍컱듳뻭죌氢떫湪溷떽뫏뛌쏇?ꆣㄹ쓍킩럧뛈킴ꎬ뺰뗄맘냇偯쪧탐ꆪ뷧웚곓룶킩싛퓓ퟜ헢럧튲뺭싊ꆣ햸겱훐믽쫜쯣쫇敲횲뷡쿕쿈췖ퟮ㈹〰펦킷쾵싛뛾ퟜ〱쿂럧뗄楳쯦ꎻ튲샭뇰뷡썐쒣뛮룶쿕뻍맽뚼웤뾸햸햵ꆣ쳘퓋램偡쯣별?듓꓃뫳㈹뛔ꎮ뗄뛮㠩ꎬ쿕뷰뮸獯믺럧뒴싛뫋慮탍믲쫇뻍퇏펦훐뻔ꗎ쯦뇰쯣뗈湪램ꏐﻓퟮ뗃솿?ⴰ뺭햵뛸횤믹뗄짌럖죚溷뇤쿕퓬컄뗄뿉탄橥횮ퟜ쳘쮵룱룃収?믊ퟅ쫇ꎬ듽敬ꎮ춽럧볲ꏈ떽?볃쒼뛌쏷뒡볆쓎튵샠볆쳆횲솿돶쿗랽쒣폐쮼犵컊뫍뇰붫틔뗄쫇햸뾴짒ﶡ럧뛔벴쪱쯣⋋컒ꣁ쿕떥뮺훜웁웚ꎮ짏쯣틸ꎬ쯣?볊뫍솿쇋ꆣ램탍킧쿫ﲴ뗄쯦쫇컒폃탅킡六컔햶ꏕ쿕쫽뇣볤쏇ꊹ?별쒣춬웚뿎뻛쫌듓ꎮ탐럖튲?놣뗄ꎺ듳틲ꎮ쫌뗘쫇뫏頋맘믺늢컒쏇럧듻룅킾탋죁떥틔ꆣ쪹뇘?뷡볓ﶵꏐ싊탍뛌?쯹럧싛짏컊쏦ퟩ쪮쾷곒럖뢴솿듋퓋뷢톰쾵뇤뛔쏇쳖쿕짳싊뾵짒뿆캻잧볆틲잻탫떣쒵췖폫웚ꯌ탨ꎱ쿕튻훊ꎬ뫳럖늿늼뫏뗄놾뛸쯣뻶쟳ꢽꎮ솿컄붫싛샭뫋쫂쓄짒ꞵ?ꏐ낸쫽췲듋퓓陸껎썟꺼뢴룶튪쫕쒣뗄튻쇙뗄뢴헄짒볆偯폐컄퇐뷸뛌厵훐럧싛돌볾돀탋쓋?췔쯙놱?늷ꪴ綡뫏뇰ﺽ?쒽횤킩뿍듻퓓ꏐ퓑쯣䱳맘뗄뺿탐웚뛸쒷쳡쿕럧훐탲ꎬ탋?퓶뛈쏀뻭뒺쫶쯈뺣쒹偯볙탔뮧뿮ꎬ췓냇컊獯짌퇐쇋룶뿉?돶뷸쿕뗄ꆣ헢곖ꞵꞴ햸춬쿠믽콐햵뮣?楳뮲쾵짨럧뛔컄쳢溷튵뺿퇐뇰?틔뗄뷸뛌쎿퇹쪷ꞵ쓋컊헀훊떱퓋潩쓎겾떡獯쒣뷀ꎬ붷쿕쿳헂꺵뷒ꆣ횲럧뗃탐웚튻컒?쓋뿬쯣獳틃췒탍캪럧뗄횤좼뮸?쿕맜潮룶톾뷢춬쒳쏷?궽훊킩쇋뮸뒺ꣁ쿕탔럧뛌ﳎ콐?쿖쿕웚潩쿳튲룶?獳ퟜ풽돊뇰ꪵ潮살쿖럧쒣럖풽돶쿕꺵늼뛮뗤춬쒣놸폫탍훊횮ꎮ탔떱뷼뗄듳쳘샭쯆뗄헷엢헄ꆣ볆짌ꎮ듎ꏐ캪평쫽춵듋폚쯦쒷ꆣ쯣?놾랽램
nTIMH 由前述，(7)式与(9)式是近似的。问样的，此种情况下(8)式:HFnM 「(2) 也可由下式:[1+λ(M试t)叩1)]"，即[1…λ+λM的)]n近似。当N-B(n，p)时(1)与(2)表述的S是间…概率分布。也就是说，当λ较小时，(7)式与(8)式也是近似的，由此证明:对于(1)式，其矩母踊数为:我们可得出结论二如下。M，(t)=E(的结论主:=(el，~X，) 在k较小时，(5)模型与(6)模础是近似等价的。也就是说复合Poisson分布可近似描述(5)式的短期个别风险模型。=[ (1-p )+pM8 (t)] (3) 由前丽的推理，由结论的传递性可知结论四。再推导(2)式的矩母函数:结论四:风lt)=M(InM(t)) N 当>..=p且较小时，z I l FP +pel. M刷H盹阳刷阳例(阳，1叫)，](2)、(5)与(6)式描述的模型或相互近似戎相互取代。=[1 阳叩p叩+pM川(川t)f忡4)B4届E用可见(1川)式生与普(川2)式袭达的随机变量S的矩f母寻函数是…样的。放在题设的情形下，短期个别风险模型与短期聚合风由于短期个别风险模型一般都要用到比较繁杂的卷积险模型是统→的o运算，在实务中应用极广泛的模型(1)与模型(5)也不例外。顺着这样的思路，我们可给出应用性更广泛的Poisson夜缩论…的情形下，如果个别理赔额随机变量仅取正整数分布的一个猜想值.!lIIJ用本文结论可使Panjier的选代公式取代繁琐的卷棋对于运算，而且Panjer选代得出的数值是梢确的。在间样的假设(5) 5=LX严LIiBi下，模础(5)的计算画I由本文的结论兰来解决，不过这个结论得到的数值解是近似的。只要Poisson参数k不是过大，用结L时P(λ盟....,n 论旦得到的JlÍ似解是足够可{富的。下面我们用…个例子来说与明结论旦的应用。(6) 例:对于某企业产品的损失随机费量，某商业银行的风5= LBi 险管理师用模型(引来描述，假设n=3，l-P(À)=P()，I=íN町P(n'>")1，2，3随机变0:1:1，可以表示风险发生的级别。那么(5)式与(6)式表达的随机变量S是杏是同一分布Bí同呢?我们给出证明如下。证明:对于(5)式的5.其矩母函数为:M，(t)=E(e吗4叫(y+)i=1,2,3o 因此，我们可求出模型(5)中的Xj，i=1，2，3的分布列如下:司啡申机'e-l<，呐击飞+川份(盹:咖tt耐)+?苦μ二←泸4训M叩P(Xl嚣。)=∞5对于(恬6)式的隧机变最5，我们求矩母函数如下:P(XI=I)=O.∞33 M.(t)=M试InMB(t))P(Xl=2)=O.∞3317 M棚，(1)-1)P(Xl=3)=O.∞33 =e P(Xl白4)呻.仪朋17=[YAM)lm(8) P(X严5)剧。(7)与式(8)式显然有较大差别，到此为止巳证明我们的P仅1=6)用。刷刷17猜想是不正确的。{旦仔细观察(7)式并将其变形，仍会有较丰P(XI= 7)=P(xl=8)=p(直1=9)=…=0厚的收挠。~λ--10()时，隐去λ的高阶无穷小项，(7)可变形为:[1-λ仙M试~r(9) .1 s [(5)-(6)) 虽然，此式与(4)是一致的。如果λ叩，我们就可得出如x (0) (X32 (x4,) ) 的(6问) (2) (5) (5)=(7) 下结论。。0，9例锁阳∞50 例ω46 0% 结论二:O.∞33∞ O.ω3300 O.似)33ωO.α)9704 O.∞9704 0% 2 。∞3317O.∞3317 。仪13317O.创)9786O.∞9753 % (5)式所描述的个别风险模型与(2)式所描述的聚合风3 O.ω33∞ O.∞33∞ O.∞33∞ O.创m69O.∞9802 % 险模型在一定的条件下是可相互近似的。也就是说(5)式中。朋J00174 αJOI7 O.仅J0147O.仪即% 的λ比较小且λ叩时，(5)式所描述的短期个体风险模裂可O.创则αJOO.悦刚JOOO.仅以创则<阳)985 % 用。)式描述的短期聚合风险模型近似oO.阳湖17。刷J0017O.制J0017O.阴阳<阳496 % <附ωO.脱JOOOOO.()()()(削。αX削l。7 0% 结论二已经得出，那么模型(5)与(6)果真没有关系吗?O.似则创lO8 。"α则JOOO.仪均创JOO.以刚刚)。"似X刚JO0% 答案是否定的，我们继续观察(7)式(8)式，仍然设λ比较小，主\.侃"ω11.()()()∞l 1.αm∞l O.∞15% 30 统计与决策2(刷年第19期(总第271期)?췲랽쫽뻝匽ꎻ⠲떱횤䴭㶡⠳䶣ꎺ⠴뿉퇹쿕쮳럖뛔猽⠵폫?椽亡쓇쓘ꆢꎯ㶿䴸殡㵥⠸⠷닂뫱ꆾ⠹쿔쿂뷡뗄폃듰㌰춳평튲컒퓚쮵㓓퓋횵뗃싛쏷샽ㆣ䊣틲倨塬堲堳昨⠰ィ侣㔰ィ侣ㆣ쓒⠶㵬䥩椽?퓙낽ィ侣기ꎮ긨깯볆믒沣砩⠵ꎯ긳?폚㿎뷡뿉쏇欭⦡쯣떽긹ィ깏기깯中쏷⡴븨긨嬱븱볻뗄쒣ퟅ늼꩐쎴⧓쿫泒좻싛⧊죫⠲낸잰ㄫ뻍뢴ꆣꎬ죽ꎺ맜갲듋塬墣報퀭?긹ィ깏侣⠩㜶기⥦〰漰ꆪ沣䕦ꆾꛓꇆ폫?갲⧒⠵⠳㤰긹ィ㌷〰기侣㌳⠩췆틃ゲ싛평뿉쯄ⴭꈨꎬ뗄?ⴱ긽긭㤰긹侣估기〰ꎥ㐱ꆿ㤹⠴흋䈨ꎺ⤽㇒琩⵰튻⠱ꆣ탍헢뗄⡮⠵?⠶쫇쫕믈ꎬ뛾뷋뇈⧊쫶죫죽뷏뫏쏦뛌퓲쒣뗃뛔샭?㴰갽ⴵⴶⴷ〵㤰긹〱〰기ꎮィァ㤹倨갲뻶묨㢣뜱?〵㜰ィ〱〰깏기侣㤸䐰ꎮぬ㤳떼잸ꎺ旖ꆣ쿂뗃烇㔩퓚쫽죽?⤽㌩ⴴ〵㜰侣〱⠩㔸기〰ꆾ뺣㤵䊣硩?닟㘩⠷㐴기侣ㄴ漨〰〸ㄳ㖣溣뛔䔨뭰㵍⭰瀫⧊맊쫇퇹튻栩ꎬꆮ㵅䶡봨늻믱듋ꎺ遼퓚뷏뷃틑럱⡍쮵킡偯뗄웚폃뛸탍떽폚쪦㎡컒⦣㈩⧒⤽?㐴기ィ〰ꎥ〴⤰갰쪽돶튽폫쪵횵뗄侣ⴭ⤭〳기⤰〰ァꎥꆣ⠲㈰?ꆿ〳기㤸〰ꆭ뛵?거폚旉⤫丨敪灍뷓퓚춳뗄룶ꆧ⡥ꪡ붵끬㠩헽ꆣ죫쪽튻킡뺭뚨⠷ꆰꎬ쪱楳췆놾쟒⠵쒳폃ꏋ쏇먰ⴭ묰倨㌰〹?ィ〰븩⠱?ⶡ䣖〸ꎺ뷡쿐⠶컱뷢펦기ィⴭ㌨㌰〹侣⧊?㜰기ィ〶〰ꎬ⤰㜰기侣⧊⠱?灍ㅮⵎ䈨쳢튻쮼닂⠵짗쓋湍쪽좷떱䶡폫뚨쟒뗃뗄쓪琩獯샭뇰쟩컄偡⦵뷼웳쒣뿉ꎮィ硬꓃ꆮ싛ꇊ훐쫇폃〳기〳기붵?왬뗚㌱〳기긳ィ넨⧊䈨䵮䠬琩㈩짨뗄슷쿫㘩꭫쿔죫끴⠴쒸栭쒶돶ꎬ뷓튻墽죽⠵溷놣뷃럧펦탎뷡湪쒼뷼쯆ꆣ튵탍缾쟳㤹?기〳〰弸㌱〹侣?㌱簰㌷기侣ꆮㄹ쒾?㜸기ィ죧?폃쯆㤷㊣기侣ㄩ붣琩⡴⡯ꆿ쪽뗄ꆣꎬ붵缾좻ꆪ⦡⧊쳵ⴧ쳆컒쿐⧄횲평쿕쿂싛敲웋뷢닺⠵돶〰〳⤽楂웚?기㔳?㌰〳기?슡늷쿂벫뗄〱㌰〹⣗폫곆ꆿ⤩嶡ꆰ뇭쟩컒쑓닺?폐떫俊뽮쟒볾烊?쓇쏇㤩ꇊꏐ벿뷡쒣ꎮ뿉뗼쫇욷⧀뽉㌱ㄷ瀨㌰⠩?㜶뢺ꎻ??ꆣ쓄맣㤸⠲?듯탎쏇ꎬ뽓ㆡ뷏ퟐ놣믖쿂?쎴볌쪽ꆰ췓즽싛탍죧쪹듺짓ퟣ뗄듃ꎮ硬〲?ꏐ랺횻꿊⦱?뗄쿂뿉웤䵅ꎬ듳쾸곒습헄쫇갨쾷쒣탸㜱ﳋ튻맻偡뗃즱릻쯰⠵ꎺ꾡춻뗄튪ﶣ웚뢺쯦ꎬ룸뻘컒닮맛ﻈ쒡ꏐ뿉㔩탍뷼䥬㜩㘩웃뒫냣룶湪돶뻎쪧틔⧖㤩쒣偯?뾡꿊믺뛌돶쒸⡴쏇뇰달ꗈꏈ췓쿠쪽헄⠵쯆偛쒣뗝뚼탍楥뗄쒵楳탅쯦ꎼ뇭킵㶡?ꖽ⠱獯쑓뇤웚펦몯쟳ꎬ⠷뮥쯹ꏐ⧓뗄ㄭ폫탍탔튪샭犵쫽쒽믺?쪾쑘괭ﳋ⧓溲쫇ꪣ솿룶폃쫽⤫뻘떽⧊쒸ﭨ㈩뷼쏨춽ꆣ欫⠸㔩뿉엢쒵횵뇤럧扩ⴰ욻컊춬?厵뇰탔及캪쒸듋붲?㵰쪽쯆쫶ﳋ㘩봨歍⧊뷼횪떽뛮ﲴ쫇?쿂솿㴳쿕㵬ꏐ튻쒾럧룼잷ꎺ볎몯캪ꊽퟎꎬ쯹뗄욡맻㠩퇹䈨뷒쯆뷡뇈쯦調뺫ﷀ쏦ꆣ랢촨룅?쿕맣쫽횹ꯆ?컒쏨ꆣ뛌?헦쪽뗄琩닊뗈싛뷏믺ꯊ좷뒽쒳䥩짺㊣ꗈ㔩믊싊뢺쒣랺쟍뛾죧틑쏇쫶튲웚쎻ꎬ嶡잽볛쯄ꆴ랱뇤뷈뗄잹짌ꆫ갳瑱늻ﶴ럖꿊탍뗄곒쿂횤ꇏ뻍룶폐죔듋낽ﳋꆣ퓓솿ꆴ폃튵倨벶?샽늼폫偯뮷旖ꎺ쏷캣뿉뻛쫇쳥맘좻훖ﳋ욵ꆣ뇰뗄뷶覆퓚겲튻틸죫럖췢곓ꆣ쟒뛌楳횲컒곈갨뗃뫏쮵럧쾵짨쟩욡쒣튲뻭좡뇋춬뮹룶탐⤽늼ꆣ쎽?웚獯?쏇풻㜩돶럧⠵쿕싰죫뿶곓뻍믽헽퇹샽뗄倨쇐?뻛?뗄뿉죧⧊쒣뇈쿂즴쫇헻쒾ퟓ럧澣뫏⠲킽뇤뷖탍뷏⠸?쫽볙살기쿂럧쾷탎?뿉킡⧊ꆣ짨쮵ㄩꎺ琩?캪ꎬ붣ꎺ?䤽⮡便쓄䈨㍴늷ꆭꆿ幮ꇗ
3同样模型(5)中X和凡与凡是独立间'量2$ x ((5)"((6)) ] 分布的f(O6) o(1) (X32) (X43) (2) (S) 5)也7表l第(2)、(3)、(4)、(5)列分别列出了。州朋50。.9999创αJ0050 创则 0% α)03333∞ O.创顺)3333∞O.刷J003333∞α)099970 O.侃用0999700% X.，X2、凡与S=LXi的分布列。2 。'。侃)09999\7O.以阳9999\αXl9999\7 O.阳刚)锁沟99975O.ω4% 仪泊3333ω3 仪)03333∞∞ 。.0创泊创则99980O.∞3% 根据本文的结论立，我们可用模型(6)来4 O.仪则XJO∞\7O.仪泊αm∞17O.()(脚X削αmα)0\5096 αmα泊% 近似描述本例的短期个别风险模型，且可知对5 O.αX刚X泊创泊O.α)()()αmα)0 创附创直刚)0O.以则仅m∞666O.αH附则创99950% 6 。刷)0()(刷17。刷刷刷α则仅附017O.棚"创则)8431O.饥X均创泊04999740国70%应的分布是复合Poisson分布，Poisson参数是7 。脱瞅瞅X削似均创X刷)0。以阳刚灿α)00.(刷刷仪削∞α则以)00% 队，即口，因此我们可用Panjer选代8 αmαX刚到O.伽X沁仪削)()()创泊以灿锁)0O.仪沟似泊以JOO。‘。()()()(泊创JOO0% 公式来近似求出S的分布列，为此，由风险理褒4论的知识我们可求出Panjer选代公式:λ=\ ~=O.∞l λ=0.侃)0\λ工如O.∞1λ笃O.以)01(1) 的相对误~的相对误靠在的相对误差的绝对说爱的绝对~靠在的绝对说皇宫你)=汇上，入·胁i).i=1，。0% 0% 0% 。。。i.. X 0% 0% 0% 。。。其中的入分别为:2 % % 。"ω4%α)033 -07 4.∞E-09 3 % % O.∞3% -0.α)0033 -07 由-09叶=，i= % % % 。.OOC刷9l∞ι08 1.ωE-IO 5 % 毛50% 峙。.0α汩汩-07 刊"这样Panj创造代公式实际上就是:6 % % % 。"。α)-07 -09 ? 0% 0% 0% 。。。际)寸阴附-1)+(x-2)阳孙孙]8 0% 0% 0% 。。。x=O,,3, . 其中f(O)时而加均唰=例46P(XI=3)=O肌则3333∞表中第(6)列就是f(x)的值。在此例中，当λ=时，有:P(X.=4)=O.仪刷刷刷17P(X.=O)=α)()50 P(X.=5)翩。P(X.=6)=O.创刷刷刷17P(X.= 1) =∞ P(X.=2)=0脱)()333P(X.=7)=P(x.咄咄(x.=9)嚣…=017 P(X卢3)嚣O.则333ω与前面的步骤一致，表3第(2)、(3)、(4)、(5)列分别列P(X.=4)=O.创刷刷17出了X.几品与S=LX;的分布列。P(X.=5)悔。.2 表中第(6)列同伴是用相应的Panjer选代公式:x s /l(5)"(6)) l f{(6x) (1) (X3z) (X43) (2) (5) (5)α(7 你)寸[0删阳)呻0ω2f(x-2)础侧如3)]。侃)锁)唰阳。。.997创创】450% x=O,1,....... O.仪)0333∞O.删333ωO.α)0333ω 仪)997ωO.以刘997ω0% 2 O.创)033317O.创)033317O.以)∞99785 O.创)% 其中:f(O)吨飞泸脚=则453 O.α)0333∞ 。删333∞O.似)0333ωO.创则99767O.创阳98ω% 计算出的f(x)的筒，是S的近似分布。4 αX刷17。刷刷JOOI7。脱阳JOOI7O.制X削151O.仪防∞% 我们可以比较表中第(5)列与(6)列的值，可分别。翩翩翩。()(JOO()()67O.翩翩lω5 O.刷刷刷0.(附似X刚到% 算出它们的相对误盖，并分别列在以上诸炭的第(7)列% 6 O.αK阳湖17O.仪则侃)何泊(川017O.仪阳)0084O.仪削:J0050O.仪阳刀仪)()α以)000O.α)0()()α)0 7 O.仪附创泊∞O.以刚X刚到0% 之中。为丁说明λ越小，结论拟合得越好，我们计算当8 。α泊创以)()10.创X削泊ωO.αmα刷)0I O.创附刷刷O脱泊α旧ω0% λ=，λ=与À=O.∞01的结果，并将前丽计算的P(X.=6)=O.α刚刚17结果汇总以便于比较(见表的。P(X.=7)=P(x.=8)=P(x.=9)=...=O 由表4可以看出，随着λ的逐步减少，相应值的相对误差与前面的步骤一致，表2第(2)、(3)、(4)、(5)列分别列越来越小，且相对误差相对较大的事件的概率也是小概率学件，几乎不会对赔付总额随机变量S产生影响，因此，此例可出了几儿凡与如LX的分布列。i以说是比较完荒地印证了用短期聚合风险模型来近似短期袋中第(6)列问伴是用相应的Panjer选代公式:个别风险模型这个结论的实用性。际)zf阴阳)呻∞孙2川∞3制)]参考文献:x=O,,3, .... .. [l]panjer，忧Hand Willmot. G卫Insurance阳skModels [M]. Schaum嗣其中:f(O)=e~加'=e-O.刷=∞45burg, m: Society of Actuaries,1992. 计算出的叫吟的值，是S的近似分布。[2JBuhlmann, H. Mathe Matical Methods in Risk白1ωIry[M]. New 阿样的，当À=O.α)()1时，有:York: . [3JDaykin, C. D. Practical阳skTheory for Actuari叫M]Chapm刷&P(X.=O)=ω50 Hall, I 994. P(X.=l)=O.αJ003333∞ {责任编辅/滔矢)P(X.=2)吨以削333317统计与决策2∞8年第19期(总第271期)31 ?췲랽쫽뻝춬럖뇭ꎬ碡榣룹뷼펦滈릫싛ꆮ昨椽?웤欽헢砭쿥塬堲墣ꆾ⠱⠲⠳⠴⠵ィ侣㔰㐰쓒欭栽ꆪ㎣偦倨傢瘨폫돶堳⠶㐹볆ㄷ砽컒쯣횮뷡평풽볾틔룶닎慮坩䥮䵯扵潦䅣䵡楮剩周奯景䅥䡡⣔춳ィ欭侣㌳㐱㐰쓒⠶뗄⠲ꎯ剩䵥멬?긹侣기깏㤶긶ィꎥ깯ⴭ欭㎣ㆣ긴?砩⠵ꎯꎮ⠳獵牧瑵瑩獫牫볆ⵏ긹깏기깯ⴭ欭侣긶㔰㐹ⴰⴳ긴墣⤨塬墡⦡念塉硬뾼ㅝ汬㉝敯㍝퇹늼ㆵ뻝쯆뗄쪽훐잰砭쯣쏇돶맻뇭살ꎬ쮵뇰?쿠뻸⠴⠵獫瑨絸㤹기〰⠩っ〴〳㘶ァ䑏䐰❏ィⴰ긳〨㍅㤷깏㌳㘷䑃住㈵估〱䐨摥ꎡ砩⧒⠵㤹〰䐨㜰⠩ィⴭ?㔸㘷㘶ꎮꎥㄳ㐸쇋㌵⡘ァ〨っ塬牡Ⲣ慲敡ꎺ特폫ꎬ㤰㜰㜨⠩〳〹〰ꎥ䐰㞣っ븩住〱〨ꎮ기?ぅ㍅⤰ꆪ긽ㄽⴲꌽ뺡䘵갽ⴭ張㴶㌳㤹ㄹ漨⤨㐸估䑏걬컄偡浯䉵特䑡慲뛔⤽潤훐쒣뗄?놾쏨럖겼살횪偡㤰〳塘〰〨기侣?㞣㜶㈵い㌰ꆰ뗚㴷쏦㌳⤰븩䡄ⴷ돶㵉㴲뿉쯼ꆣ믣㒿풽벸쫇럧캱묨⤽ꎥ湣楥印뻶侣㵽〨〰⤰㌳㤹ㄹ⠩䐰?⡏住⤨ꆾ佬ぬꆪ튻㜰㌴〹䠵⡈㌰⤳㌱㜸㜵㤷㤸✰〱ㄵ⥯〸⠧估⡘㷉컳⠷〵〵沣〰㌳⤰⥯깏?기侣ꎥ䖡ꆪ〱ㄩ⤽㌩ꌭ⦡ⴴ⧒⤭㌰漨⠩没ꎬ쿗牴琬汳桬ꆾ祫楥ꉸ㶡㘩⠷⤰〵㐵〴㌳㌰㜰㤹㤱㤷㜵㜷㠰估〱〰?ㄴ〶⠩⤨ァ侣⤹㐹〸〹碡㘷㕬⣎〨堩㵽ꎺ멓猬物㤴닟탍ꆣ㈩컄쫶늼됳뷼쪶殷湪껉伩⠶⤽뗄⤭ꎬ昶틔쏇캪ㆣퟜ짒킡뫵뇈쿕〵㌰〰〴估꺢?㌳ꨰꆿ〱ㄷ닮기ꆾ갲㔰㌳㤹㤱〱ㄷ〰挱㘶〨⤨븩ꎥ〷㴰ⴭィⴴ혰⤭묰ⴰ⤰ꌲ콛㊣ꎺ楥䝅浡䶡楮獛ꆿ?潣ㄹ湧ꎮ㈰ㄷ㤹〰〱짫⠵ꆢ뗄놾쫇砰쯆컒횱敲〰ㄷ?堩ⵥ⧁倨늽떱ⵏ뇈쇋걫틔풿늻뷏쒣궣ꎺ웉ꎬ㤷?ィꎮ澣기ⵯ⤭ⴰꎡꆾ昨㴰갳爬楥㤲湮뾣敲䶡〸㌽ィ?〰긳㎣㒣?⧖⠳뷡샽뢴ꎮ쟳쏇뗼㑬킾硉훨碡탍砩欭뷏쿠쮵뇣뒳쟒믡췪瑹ꆣ꾺쓪㎣⤸ꋨ기깏ィ㤹〰ⴭꎬ経卥깎䎣뽃㌷긵깏ィ侣ⴰꆪ昨ꆢ쾡ィ기〨㌵〴漰긳ꉸ澣〩ㄹ뗚큸⦡싛뗄뫏〱돶뿉ꪣ듺겡븰㐳㊣ぅ佅기ꎮ㎣氽췊㤰〰㌳侣ⴸ튻ꌽ결ⵏꆭ뇭뛔쏷폚쿠쏀헢?䢣敷깄桡워ꎥ〳㌷桡㜰ㄹ?ꆪ튻㌳〳〰긳기ㅦ궡㢣〰㌳㌱〳ꆭ깍灭㊺ꈨ죽뛌偯ⴭ厵쟳?릫斡읦⤽훂㠩횵ꎮ훐컳죫뇈곋뛔엢뗘룶墣꒡〷〹ꎥ〰ぅꎺ㊡㵥㤹웚?〩?〰㌳ꆪ㔰㌰畭慴偲慮⣗쵘㐩ꎬ웚楳ィ쒷돶ㆣ쪽⡸끂倨㵐쟓ㅦ뗚닮풽〱뷏컳뢶펡뷡〷곓ꮡ?〰㌳ㄷꉘ〱튲㤹桥慣?㏓ꆢ컒룶獯기횲偡쪵ㄷⴰ⦵砱뇭⡸쏏쫇〱㌳?⠵ꎬ킡폫⢼었닮ퟜ횤싛ꆪ걩ⴱ㵥?〰〱ㄷ瑩⠵쏇뇰溷㎡볁湪ꑦ볊ꎮ쓖ⴹ㎵碣ㄭ㊵ꎬꆤ斡厵쪱〰⧁늢栭ﮱ쿠뛮쇋뗄㜱㵬⤫?ⴱ捡웚ꆣ⧁뿉럧횲ꏒ킡敲짏㤷떡⤽?㤩ꚵ쒽탓럖뷡ⴭ쓖뛔쯦폃쪵튲?㶡⡸ꎬィ곓폫昨낡〰⤫⤳쫇킷폃쿕벣ꏎ뗼뻍〴ꏔꆭ㈩㶡쑐ﳋ폐뇰싛ィ⦡뷏믺뛌?㊣기侣왘ꆪ匽碡ꌽ㔰뛀횱쒣깐쯎ꪴ듺쫇㐶?ⴭꆢ괭慮욷ꎺ於㘩쇐쓢기?붼듳뇤웚탔갳㉦기솢탍潩틃쮣릫ꎺ쯀?⠳ⴰ橥횲쇐퓚뫏〰뗄솿뻛ꆣꎻ椩㶡ꇆꨱィ⡸〰켽춬킳⠶ꆣ獳잿곓쪽⦡犵벡뗄틔뗃ㆵ?쫂厲뫏뗄❩왘塩⤫긹⧀쟒潮짓즷ꎺⴲ킣ꈨﲴ?㉦횵짏풽쒽ꏏ볾韛럧?뿉닎썐겵㐩調ꎬ훮뫃䀘쿕럖㵬⥝ꎻ뗄ィ㤷⡸횪쫽慮헀녨ꆢꯊ뿉뇭ꎬﮣꛖ룅냏쒣⭏ⴲ늼ꎬ뗄럖기〰긹뛔쫇橥?㴰⠵붣럖뗄컒겲떵싊탍ꎮ⤫쇐犵㊣ꎮ⧁럖늼?〲㐵뇰뗚쏇ꊽ쓏튲곒살㤹〳ィﲴ〰킷⠷볆ꯇ쫇뷼ꆣ갳늼쇐昨깯?㇊횱⧁쯣냃퓎킡쮣쯆㜰砭쇐ꆣ磒〰놣?떱룅겴뛌㌩곓?㍦웋싊쯀웚〰ꆣ묲킣쫂ﶿ?⡸⤫?㐵튻ィ㌩기ꆿ〳昨磒묳⦡?
