2009年8月
第 1O卷 第4期
西南交通大学 学报(社会科学版 )
JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
(Social Sciences)
Aug．2009
Vo1．10 No．4
基于保留价格的关键字竞价模型研究
阳成虎 ，杜青龙
(1．福州大学 八方物流学院，福建 福州350108；2．西藏大学 经济管理学院，西藏 拉
萨850000)
关键词： 关键字竞价；保留价格；Winner．pay支付规则；All—pay支付规则
摘 要： 关键字竞价排名服务已引起越来越多学者的关注和研究，但 已有研究成果均未考虑保留价格对关
键字竞价双方的影响。在 Winner．pay和 A1l—pay两种支付规则下的保留价格关键字竞价模型基础上，分析保留价
格对两种支付规则下搜索引擎提供商期望收益的影响，结果表明：保留价格的放大效应会导致 Winner·pay支付规
则下，搜索引擎提供商的期望收益不小于 Al1．pay支付规则下，搜索引擎提供商的期望收益。
中图分类号： F’224．32 文献标识码： A 文章编号： 1009-．4474(2009)o4—0109—06
Study on Ad Words Auction M odel with Reserve Price
YANG Cheng·hu ，DU Qing-long
(1．All—Trans Logistics School，Fuzhou University，Fuzhou 350108，China；2．School
ofEconomics and Management，Tibet University，Lhasa 850000，China)
Key words：Ad Words auction；reserve price；Winner-pay auction；All-pay auction
Abstract：Ad WoMs auction is studied quantitatively．This article，based on Ad WoMs auction
model with reserve price proposed in the Winner-pay and All—pay auction，analyzed how reserve price is
influential to the bidding strategies and search engine providers’expected revenue in the two auctions．
And it is shown that because of the amplification effect of reserve price，the expected revenues in the two
auctions may not be equivalent．
在网络经济时代，搜索引擎是未知状态下发现
有效信息的最有效方式，已成为网络用户利用互联
网资源最好的工具之一。网络用户在使用搜索服
务过程中，搜索引擎能够对用户进行自然筛选和分
流，更精准地把企业广告投放到目标客户群中，为
企业提供了极富价值的网络营销平台⋯。搜索引
擎被认为是继广告、网络游戏、无线增值之后互联
网的第四桶金，其中关键字竞价排名服务又是最大
和增长最快的收益来源。
关键字竞价排名服务是一类特殊的异质多物
品网上拍卖。随着搜索引擎技术和业务模式的持
续创新，竞价排名服务的竞价方式也在不断发生变
化，主要有 All—pay和 Winner-pay两种支付规则。
其中All-pay支付规则是按照时段收费，所有的被
接受的投标，无论排在哪个位置都要支付投标价；
而 Winner-pay支付规则是根据用户的点击率进行
收费，广告如果被点击，则根据点击的次数收取费
用，否则不收取广告费 。
近年来关键字竞价排名服务逐渐成为研究的
热点，受到越来越多学者的关注和重视。许多文献
通过经验研究或实证研究的方式对投标者的竞价
策略和用户的搜索行为特征进行了分析 。。。随
着研究和实践的深入，相关学者开始对投标者的竞
价策略、竞价排名的机制进行定量研究。Liu等基
收稿日期： 2009-03—12
基金项目： 国家自然科学基金(70563005)；福建省社科规划项目(2008B2033)；福州大学社科研究项目(826535)
作者简介： 阳成虎(1980一)，男，湖南湘潭人。讲师，博士，主要从事收益管理研究。E-mail：hcysun@126．eom。
· l10· 西南交通大学学报(社会科学版) 第l0卷
于包含投标者估价信息的数据，分析了关键字竞价
模型，但其模型只涉及到一个广告位置¨¨ 。李俊
提出了基于贝叶斯网络模型的关键字竞价效果预
测方法，在此基础上建立了各种全局及局部限制下
的全局最优竞价模型，并给出了具有实际应用价值
的关键字竞价拍卖的全局最优策略和决策方
法 引¨。张娥等分析了在两种典型的不同拍卖形
式——投标信息公开与不公开方式下，以及投标者
具有不同的信息结构，关键字广告位和投标者人数
相对数量不同等情形下，Winner-pay和 All-pay支
付规则下拍卖收益的大小，得出了在两种支付规则
下卖方收益相等的结论 引¨。张娥等在另一篇文献
中采用静态贝叶斯博弈分析方法得到了类似的结
论【1引。但卖方收益相等的结论不能解释实际中大
多数搜索引擎提供商选择Winner=pay支付规则的
原因。Feng等采用不完全信息博弈模型分析了不
同竞价排名机制下的收益差异性 ¨。然而上述文
献都没有考虑保留价格对关键字竞价双方的影响。
保留价格是搜索提供商对企业购买关键字广告位
设置的最低价格基数，传统上是拍卖方最大化期望
收益的主要工具 ¨。实践中像 Google、Baidu等主
流搜索引擎提供商对关键字竞价都设置保留价格，
因此有必要对关键字竞价排名中的保留价格进行
研究。本文在文献[13一l4]的基础上，引入保留价
格，着重分析不完全信息下 Winner-pay和All—pay
两种支付规则的收益差异，明确搜索引擎提供商选
择 Winner—pay支付规则的原因。
一
、模型构建
(一)模型假设
为了建模方便，本文特做如下假设：
(1)假设搜索引擎提供商提供 k个具有顺序价
值关系的关键字广告位。
(2)假设有n个投标者参加竞价。采用独立私
有估价模型，假设投标者是风险中性的，而且对称。
设投标者i(i=1，2，⋯，n)对排在首位的广告位的
估价为 ， ∈[ ， ]，其分布函数为 F(·)，概率密
度为 ·)，F( )=0，F( )=1；而投标者 i对 位广
告位 的估 价 =G (tj )，且 G，( 。)=tJ ，
G ( )>G川( )，( =1，2，⋯，k)。
(3)假定投标者采用的投标函数 b=B( )(其
中 是投标者对排在首位广告位的估价)为严格单
调增函数。
(4)搜索引擎提供商对每个关键字设置的保留
价格为r。
(二)模型的建立
首先分析Winner—pay支付规则投标者的投标
策略。投标者 (i=1，2，⋯，n)对排在首位的广告
位的估价为 ，竞价为 b ，b 在所有投标价中排名
第 位。若 大于该关键字的保留价格 r，投标者
投标，其收益为 G ( i)一b ，其概率是其他 n—1个
投标者中有 一1个投标者的投标都大于 b 的概
率，即为
c,j -
一
I
。[F(B一 (b ))] ’ [1一F(B一。(bi))] 一 ，
其中B (·)是日(·)的逆函数。投标者i的期望收
益 丌l( ，b )为：
7ri v ，bi)
k
f∑( ( (6 ))一6 )x
l， I
{ [F( (6 )) × 。 (I)
l [1一F(B (b ))]卜 ， ≥r 【
o， < r
由包络定理和纳什均衡，结合投标者的对称
性，可以得到投标者 i的竞价策略：
b =B( )=
(∑ ( ) 。[F( ) ×
[1- 一 G )
[F( )]o-J[1一F( )]川dx)／。(2)
∑ [ ( i)]n-j[1一F(v ) ，
≥ r
0， <
具体 推导过 程略。 类似 过程 可参 考文献
[13—14]。
当k=1时，
f f‘I F(x)] dx
6 ( ) 一 币 ’
【0， i < r
是带有保 留价格 r的首价密封投标价格⋯ 。当
r=0时，即为文献[13]中的研究结论。
同理，在All—pay支付规则下，投标者i对排在
第4期 阳成虎 基于保留价格的关键字竞价模型研究 ·1 1 1·
首位的广告位的估价为 ，投标价为 6 时，投标者 i
的竞价策略如下：
6 =B( )=
I
( ) [F( )]叫[1一r(v。)]广 一
J‘∑G’ ) r F( ) × 。(3)
r -=t
[1-F(x)]川 ， ≥r
Vi < r
二、模型分析
设置保留价格是为了有效控制竞价的下限，防
止投标者故意报低价。由式(2)和式(3)可知，当
<r(i：1，2，⋯，n)时，投标者 i不会参与竞价，当
≥r时，投标者 i会参与竞价，但此时竞价并不都
是有效的，即B( )有可能会小于 r。下面的性质
说明了这种情况。
性质1 对于任意投标者 i(i=1，2，⋯，n)，当
r≤ <B (r)时， ( )<r时竞 价 无 效；当
≥8 (r)，B( )≥r时，竞价有效。
证明 首先讨论Winner—pay支付规则下的情形。
令 =r，由式(2)得：
B( )=B(r)=
∑ (r) 。[ (r)]--J[1一 (r)
I
∑ It(r)]叫[1一F(r)
』：l
(4)
由假设(2)可知，r=G。(r)>G (r)>G⋯ (r)，
( =2，⋯，居)，式(4)的分子，
∑ (r) [ (r)]“。[1一F(r) <
J I
I
∑r 。[ (r) [1一F(r) 。
1 I
因此有
日(r1 =
‘
∑G，(r) l= (r) [1一 (r)] 一
I I
∑ ． r) [1一 (r)] 一
= I
∑rc： 一。，： (r)] — [1一 (r)] 一
t I
∑c：，
J= I
<
即对排在首位的广告位估价为 r的投标者实际的
竞价价格小于 r，竞价无效。
由B(·)为严格单调增函数可知，若B( )≥r，
则有需要 。>r。令 = 时，有 B( )=r，
= B (r)，且 >r。由B(·)为严格单调增函数
还可知，如果r≤ <， ，B( )<r，即在[r， )区间，
虽然大于保留价格 r，但投标者实际的竞价价格
小于 r，竞价无效。只有当 ≥ ，B( )≥r时，竞
价有效。
同理，在 Al1．pay支付规则下，性质也成立。
证毕。
由性质 1可知，从投标者的角度看，r没有体现
保留价格对投标者竞价策略的真实约束效应，可以
认为 r只是名义保留价格；保留价格存在一个放大
效应，实际的约束效应更大，由r 表示，因此把
称为实际保留价格。
出现这种现象主要原因是 为投标者对排在
首位的广告位的估价，其他位置的广告位的估价按
G ( )函数关系递减。当r≤ 。< 时，投标者获得
排位靠前的广告位的概率低，获得排位靠后的广告
位的概率高，竞价考虑的是排位靠后的广告位的估
价，因此其竞价较低，甚至低于r。
上面证明了在 Winner-pay和 Al1．pay支付规则
下保留价格具有放大效应。然而不叫支付规则下，
放大效应对搜索引擎提供商的期望收益的影响是
不相同的。
首先对 Winner．pay和 Al1．pay支付规则下投标
者的有效竞价进行分析。文献[14]证明了只有在
拍卖物品数量远小于投标人数，即 《n的假设下，
Winner-pay支付规则下的竞价价格大于 All—pay支
付规则下的竞价价格。下面说明当关键字广告位
的数量为任何数量时，Winner—pay支付规则下的有
效竞价价格都不小于 All-pay支付规则下的有效竞
价价格。
性质2 VIi}∈N，Winner—pay支付规则下的有
效竞价价格都不小于 All-pay支付规则下的有效竞
价价格。
证明 通过比较式(2)和式(3)的大小，可看
出Winner—pay和All—pay两种支付规则下有效竞价
价格的分子表达式相同，因此要证明Winner．pay下
的有效竞价价格不小于 Al1．pay下的有效竞价价
格，只需证明式(2)中 ≥r时的分母的值不大于 1
即可。其分母表达式如下：
· ll2· 西南交通大学学报(社会科学版) 第 10卷
∑ [F(v。) [1一F(v ) =
J I
一 l
∑c,j -I[F( ) [1一F(v )] 。 (5)
当n≤ 时，投标者的人数小于关键字广告位
的供给数量。此时式(5)巾的求和上界由 k变为
n， (5)相应可简化为：
I
∑ [ ( ) [1一F(，’，)] =
』=‘l
，t—l
∑c_：．．． (I"i) [1一 (1；i)] 1
J=●J
1 n>k 11寸，
k—I
∑ [F(v。) [1一F(Yi)] <
J=0
n—l
∑ 。[F(v。) [1一F( )] 1。
J=0
k
由此可知，∑c 。[F(v。) [i— ( )]广’
≤1，因此，Winner-pay支付规则下竞价价格 小
于All-pay支付规则下竞价的价格。证 ：
Winner—pay支付规则下关键字广告位足根据
点击效果付费，表面上对投标者有很大的优惠，能
够刺激其竞价的积极性，投标者希望采用 Winner-
pay支付规则，更愿意支付高价格，因此其竞价价格
会更高。
为了方便，设 Winner—pay和 All-pay两种支付
规则下的竞价函数分别为B ( )和日。( )。若设置
的保留价格为 r，则两种支付规则下的实际保留价
格分别为 和rn，其中 = ：(r)，r。=B (r)。由
性质2很容易得到 ≤r。，即All-pay支付规则下保
留价格的放大效应更加明显。这导致了不同支付
规则下搜索引擎提供商的期望收益存在差异。
性质3 在投标者具有不完全信息时，若设置
保留价格，Winner-pay支付规则下搜索引擎提供商
的期望收益不小于 All—pay支付规则下搜索引擎提
供商的期望收益。
证明 根据投标策略对称性，当有 n个投标者
时，Winner—pay下搜索引擎提供商的期望收益是前
k个估价大于 的投标者投标之和的期望值，为：
， ，
7r =E l∑b¨ I= 一
J： J 一
∑f 6c ，(F(￡))州(1一 (￡))卜 ×
J l
．J
f(t)dt=n J b∑cj -I(F(￡)) ×
(1一F(t))’卜 t)dt。 (6)
把式(2)代人式(6)，进行整理可得：
7r”
n』， (Jt g ( ) d([F( )] _J×
[1-F(x) )+∑ (r)c,j -I×
[F(r)]叫[1一F(r)]卜 l t)dt。 (7)
同理，在 All—pay支付规则下，搜索引擎提供商
的期望收益是所有估价大于 的投标者投标之和
的期望值，其值为：
7r =E[nb]=几J f)dt：
J r
"
n ( k )C~Jld F训 ×
[1一F( ) )+∑ (r) ×
[ (r)]，， [1一F(r) ‘ t)dt。 (8)
对比 (7)和I (8)I1r以发现，两式的被积分
项卡II 为 r ≤r 所以 7r ≥7『 ，即 Winner-pay
支付规则 卜搜索rjl警提供商的期望收益不小于
All-pay支付觇lJ!lJ卜搜索，jl警提供商的期望收益。
特)jIJ地， 1没钉改 保 价格时，r =rd=0，
Winner—pay和 All-pay 种支付规则下搜索引擎提
供商的期望收益相等， 文献 [13—14]的结论
一 致。
综上所述，当设置保留价格时，不同支付规则
下期望收益的差异性加上投标者的选择意愿，是目
前大多数搜索引擎提供商选择 Winner-pay支付规
则的重要原因。以 Baidu为例，Winner-pay拍卖方
式带来的收入占到其总收入的80％。
三、算例
假设某关键字有 10个广告位，投标者对该关
键字排在首位的广告位的估价服从[0，10]的均
匀分布，相邻广告位的价值关系变化为 G ( )=
0．95 t)，投标人数为 30人，保留价格 r为 1．5
元，同时假设在 Winner．pay支付规则下某投标者
对排在首位广告位估价为 8元，把参数带入式
(2)即可得到其竞价为 5．05 为 r直观了解
第4期 阳成虎 基于保留价格的关键字竞价模型研究 ·1 13·
保留价格的影响，下面用图 1和图 2说明推导的
结论。
从图1可以看出，两种支付规则下保留价格都
存在放大效应。在Winner—pay支付规则下，当1．5
≤ <2．5时，竞价小于保留价格，该关键字的实际
保留价格为2．5元。Al1．pay支付规则下保留价格
的放大效应更加明显，实际保留价格为6．4元，只
有当b≥6．4时，竞价才是有效的。结论与性质 l、
性质2一致。
V
图1 估价与竞价的关系
图 2 期望收益与保 留价格的关系
从图 2可 以看 出，在保 留价格 的影响下，
Winner-pay支付规则下搜索引擎提供商的期望收
益 小于 All·pay支付规则下搜索引擎提供商的期
掣收 IfI r ．pay支付规则下所有投标者都要
支付I，i 踅价的价格．你fi，f价格的放大效应导致过
多投 1 冬 j也价．搜索 jI警提供商 能获取这
部分投 的 芝f寸 ．收 童人人减少一与之相反，
、、．IlI I’一 f、fM叭I卜 ff}价格的放大效应对搜
索tjl 提供l新I9J‘划 i 的影响小得多。结论与性
质 3 ·敛
从 l ⋯n0分fJIllf l， 没 保留价格时，搜索
t』I擎提供商 允分 fg保 价格的放大效应，不宜
把 价卡}}没 过“．以免5fl碍过多的投标者参与
竞价。特别是在 All-pay支付规则下，保留价格的
设置应该更加慎重。至于搜索引擎提供商设置最
优保留价格以最大化期望收益的问题，因篇幅所限
将在另外的文章中进行阐述。
四、结论
本文在分析关键字广告位的性质和特征、投标
者行为的基础上，推导出不完全信息下基于保留价
格的投标者的竞价策略和搜索引擎提供商的期望
收益，得到了一系列的有意义的结论：保留价格存
在一个放大效应；Winner—pay支付规则下的竞价价
格不小于 Al1．pay支付规则下的竞价价格；Winner—
pay支付规则下期望收益不小于All-pay支付规则
下期望收益。本文只分析了保留价格对不同支付
规则下搜索引擎商期望收益的影响，没有考虑最优
保留价格的设置方法，这有待于进一步研究。此
外，本文考虑的是不完全信息下的情形，对完全信
息下投标者的竞价策略和搜索引擎提供商的期望
收益也需要进一步探讨。
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