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管 理 工 程 学 报
(")*+,# "- .+/)01*2,# 3+42+55*2+4 6 3+42+55*2+4 7,+,4585+1 9::;年 第 %期
上交所利率期限结构的三因子广义高斯仿射模型
范龙振
（复旦大学管理学院，上海 9::<==）
摘要：本文以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为分析对象，首先利用主成份分析法对利率期限结
构的变化进行分析，发现需要两个至三个状态变量，利率模型才可能反映利率期限结构的变化。同时在以前的研
究里，发现利率期限结构具有一定的可预测性，因此本文选择三因子广义高斯仿射模型描述上交所的利率期限结
构。利用卡尔曼滤波法以及极大似然估计法，估计了连续时间的三因子广义高斯仿射模型，模型可以描述上交所
利率期限结构的相对变化。
关键词：广义高斯模型；利率期限结构；上海证券交易所；卡尔曼滤波
中图分类号：>?=:$&% 文献标识码：@ 文章编号：%::<AB:B9（9::;）:%A::?%A:B
收稿日期：9::=A:<A9; 修回日期：9::=A:&A99
作者简介：范龙振（%&B;—），男，河南虞城人，副教授，博士，主要研究方向：中国资本市场的实证分析，资产定价及动态投资组合管理。
! 引言
在我国，上海证券交易所从 %&&% 年开始交易国债，后
来，%&&B年深圳证券交易所也开始了国债交易，银行间国债
交易市场也在最近形成。国债市场是资本市场的一个重要
组成部分。国债交易的一个重要作用是提供了一个基准市
场利率期限结构。通过国债交易价格，可以准确地了解短
期、中期和长期利率及其变化。利率不仅直接决定了国债价
格，而且也对其他金融资产的价格变化有重要影响。提到当
前的市场利率，人们还习惯于以银行储蓄存款利率作标准。
从 %&&%年以来，银行储蓄存款利率的历次调整中，%、9、=、;
年期利率如果都换算成年实质利率（5--5C12D5 *,15 ,++),##E）的
话，它们几乎没有差异，即银行存款利率不能反映利率期限
结构。而从 %&&%年至现在，我国利率的变化之大，超出了世
界上很多发达国家市场，因此银行存款利率既不能反映人们
对利率变化的预期，也不能反映长期存款与短期存款在利率
风险之间的差别。与银行储蓄存款利率不同，交易所债券市
场的债券价格是由投资者交易债券形成的价格，是一个市场
化的价格，其价格变化反应了利率的变化，利率变化的预期，
以及不同债券的风险。随着利率市场化的改革，债券市场规
模的扩大，交易活跃程度的提高，以及投资者的理性，交易所
国债市场隐含的利率期限结构将很大程度上代表当前的市
场利率。事实上，国债交易隐含的利率与银行存款利率一直
有明显的差异，债券市场利率表现出了非常明显的期限结
构。
由于国债市场和利率的重要作用，国外有大量的关于债
券市场的实证分析和市场利率变化模型的研究。与本文有
关的重要研究如下。>,8,，F#200［%，9］对美国债券市场进行了
实证研究，发现经济学中的预期假设不能够解释债券市场的
价格变化，远期利率可以预测债券的超额回报率。%&&% 年
G,8H5##，IJ2##［=］发现利率期限结构的斜率也可以预测债券的
超额回报率。利率的可预测性对利率模型的发展产生很大
影响，早期的利率模型以现代金融理论为基础，对利率的可
预测性特征及其解释关注较少。以传统的仿射模型（@-2+5
8"/5#）［<］为代表（大部分常见的利率模型都可以看成是它的
特殊情况），模型假定债券的超额回报，也就是风险金等于债
券的波动率乘以一个常数。这种假定与超额回报率完全来
自于风险的现代金融理论一致，但这些模型无法解释实证中
债券的回报率为什么表现出那么强的可预测性，以及债券市
场表现出的较强的波动率和较小的超额回报率，甚至是负的
超额回报率。对利率可预测性的关注导致了新的利率模型
的产生，如 K)--55［;］提出的广义仿射模型（ 5005+12,# ,--2+5
8"/5#）。广义仿射模型的关键改进是假定风险金不仅与利率
的波动率有关，而且也直接与利率的当前水平有关。在我
国，关于利率模型的研究出现了一些综述性的文章［B］，但还
没有见到关于利率模型在我国债券市场的实证性的研究。
本文以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为
分析对象。首先利用主成份分析法分析需要多少状态变量
利率模型才能描述上交所债券市场的利率期限结构及其变
化，发现需要两至三个状态变量。由于上交所利率期限结构
的变化也表现出较强的可预测性（结果省略），本文选择三因
子广义高斯仿射模型描述上交所的利率期限结构变化。利
用卡尔曼滤波法（L,#8,+ -2#15*）和极大似然估计法估计三因
子广义高斯仿射模型，并对估计结果进行分析讨论。
" 利率变化的主成份分析
我国早期发行的国债主要是到期时一次性还本付息债
券，最近发行的债券以付息债券为主。但这两类债券都不能
直接告诉投资者某个时间点的利率期限结构，利率期限结构
必须通过适当的方法估计出来。由于利率期限结构的重要
性，国外已经出现很多从国债价格估计利率期限结构的模型
方法。基于中国市场的特殊情况，本文利用月度交易价格数
据，采用 ’5#0"+，I2545#参数估计模型［M］估计中国债券市场的
—%?—
利率期限结构。估计出的利率期限结构如图 !。
图 ! 上交所债券交易价格隐含的利率期限结构（!""#年 !月至 $%%$年 #月）
不同到期日的利率虽然不同，但其变化具有很强的关联
性，一般认为它们受某个或几个共同变量的影响，这些变量
称为状态变量。可以利用统计方法反映利率的强相关性，主
成份分析方法是一种合适的统计分析方法。从理论上讲，要
能够用主成份分析方法分析影响利率变化的状态变量个数，
利率变化必须服从如下形式的模型
!"（!）# $"（!，%#）!# &#（!）!’# （!）
其中 %# 是状态变量，它可以是一个多维向量，’# 是与状态
变量具有同样维数的标准布朗运动。在模型（!）下，状态变
量只影响利率的预期变化，不影响利率的波动率。广义高斯
仿射模型可以表达成（!）的形式，因此可以利用主成份分析
法决定广义高斯仿射模型的状态变量数目。记时间 # 的 !
至 "年期利率为（ "（!）# ，"（#）# ，( ( (，"（"）# ），主成份分析方法如下：
!）计算利率的变化$"（!）# $ "（!）# % ! & "（!）# （!$ !，#，⋯，"）；
#）计算利率变化的协方差阵! $ ’()（$"（!）# ，$"（#）# ，⋯，
$"（"）# ）；
*）求正交矩阵 )，使 )!)*为对角矩阵，对角阵元素记
为%!（! $ !，#，⋯，"），并且满足%! +%# + ⋯ +%"。且 )满
足
)!)* $ +,-.（%!，%#，⋯，%"）
/）记 ,!# $!
"
- $ !
)!-$"
（ -）
#（! $ !，#，⋯，"），则 ,!#互不线性相
关，其方差为%!，称为利率期限结构的第!个主成份。
利率期限结构的主成份分析结果如表 !。表 ! 可以看
出，要解释利率期限结构的变化，需要两个到三个状态变量。
一个状态变量对利率期限结构变化的最大解释能力不超过
利率变化方差的 0/1，两个状态变量对利率期限结构的解释
能力可达到 2!1以上，而三个状态变量则可以达到 231以
上。在解释利率变化的主成份中，第一个主成份反应了利率
期限结构的平均水平；第 #个主成份反映了长短期利率的差
别，相当于利率期限结构的斜率；第三个主成份相当于反应
了利率期限结构的曲度（456)-7568）。从主成份的直观意义
看，上交所利率期限结构的变化与国外债券市场具有类似的
特征［3］。
$ 三因子广义高斯仿射模型
由于上交所债券价格隐含的利率表现出一定的可预测
表 ! 利率变化的主成份分析
（样本区间：!""#年 !月至 $%%$年 #月）
9:;<=>?@4A <B 4<:;<@A@>C
4(DE(F8F7 ! # * / "
C7-F+-6+ +8),-7,(F GHG#" GHG!I GHGG3 GHGG* GHGGG2
;6(E(67,(F (J K-6,-F’8 GH0/ GH#I/ GHGI/ GHG!# GHGGG3
45D5L-7,)8 ;6(E(67,(F GH0/ GH2! GH23I GH222 !HG
M(-+,
"（!）# GH!/# & GH33G & GH/*3 GHGGG GHGGG
"（#）# GHG & GH*2I GH0"" & GH!2* GH0!!
"（*）# GH#/0 & GH!"0 GH"*# & GH##* & GHI0*
"（/）# GH"** GHGGG GH!3! GH3#/ GHGGG
"（"）# GHI2" GH#G# & GH#"# & GH/3! GH!3G
性，而根据有关研究，广义高斯仿射模型可以较好地描述这
种可预测性［"，2］，因此本文讨论广义高斯仿射模型。通过主
成份分析知道，三因子模型可以解释利率变化方差的 231以
上，因此本文对三因子广义高斯仿射模型进行实证分析。本
文讨论一类较简单的三因子广义高斯仿射模型下，在此模型
下，短期利率与状态变量具有关系
.# $ /G & 0! # & 0# # & 0* # （#）
其中 .# 代表短期利率，/G为常数，0! #，0# #，0* #是决定利率取
值的三个状态变量。在风险中性概率 1 下，状态变量的变
化服从均值回复过程
!
0! #
0# #
0*
#
$
2 3! G G
G 2 3# G
G G 2 3
*
0! #
0# #
0*
#
!#
&
#! G G
G ## G
G G #
*
!4! #
!4# #
!4*
#
（*）
其中参数 3!，3#，3*分别反映了状态变量 0! #，0# #，0* #的均值
回复速度，参数#!，##，#* 代表状态变量的年波动率，4! #，
4# #，4* #是三个相互独立的标准布朗运动。在风险中性概率
—#3—
范龙振：上交所利率期限结构的三因子广义高斯仿射模型
下，状态变量的无条件均值为 !，因此 !!是风险中性概率下，
短期利率的长期平均值。
在现实概率 "下，状态变量的变化服从过程
#
$" %
$# %
$$
%
&
’ (" ! !
! ’ (# !
! ! ’ (
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! !# !
! ! !
$
#!*" %
#!*# %
#!*$
%
""!，"#!，"$!，"""，"##，"$$，是风险金参数，""!，"#!，"$!反映的是
风险金不随时间变化的部分，"""，"##，"$$反映了风险金随状
态变量发生变化而变化的部分。记
, &
(" ’""# ! !
! (# ’"## !
! ! ($ ’"
$$
# &
(" ’""" ! !
! (# ’"## !
! ! ($ ’"
$$
’" ""!
"#!
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!" ! !
! !# !
! ! !
$
， $% &
$" %
$# %
$$
%
在现实概率下，状态变量的变化可表达为
#$（ %）& ,（# ’ $（ %））#% )!#-（ %） （&）
如果进一步记
$ &
’()（’（ (" ’"""）.） ! !
! ’()（’（ (# ’"##）.） !
! ! ’()（’（ ($ ’"$$）.
）
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!#"
" ’ 0 ’#（ ("’"""）.
#（ (" ’"""）
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" ’ 0 ’#（ (#’"##）.
#（ (# ’"##）
!
! ! !#$
" ’ 0 ’#（ ($’"$$）.
#（ ($ ’"$$
）
在现实概率 "下，状态变量的条件期望和条件方差为
1（$%) . 2 $%）&# )$［$% ’#］ （*）
+,-（$%) . 2 $%）& / （.）
给定短期利率与状态变量的关系，债券价格、长期利率的取
值由风险中性下短期利率的过程决定。时间 3 到期的面值
为 "的不付息债券的价格为
"（3’ %）% & 1/%［’()（’"
3
%
45#5）］
& 1/%［’()（’"
3
%
（!! ) $" 5 ) $# 5）#5）］ （/）
经过推导，知道时间 % 时，期限为%的即期利率为
6（%）% & !! )
" ’ 0’ ("%
("%
$" % )
" ’ 0’ (#%
(#%
$# % )
" ’ 0’ ($%
($%
$$ %
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" ’ 0’ (#%
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#([ ]#
’ !
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% ’ #
" ’ 0’ ("%
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’#("%
#([ ]"
’ !
#
$
(#$%
% ’ #
" ’ 0’ ($%
($
) " ’ 0
’#($%
#([ ]$ （0）
! 三因子广义高斯仿射模型的估计方法—卡尔曼
滤波法
本文对模型的估计采用卡尔曼滤波法。由于可以观测
到的只有 "，#，$，%，&年期利率，短期利率和两个状态变量都
是不可观测的，要根据利率期限结构的观测值估计三因子广
义高斯仿射模型的参数，一种自然的选择方法是卡尔曼滤波
法。在卡尔曼滤波法下，可观测变量是 " 至 & 年期利率，三
个状态变量是 $" %，$# %，$$ %。
记
7（%）! & !! ’
!#"
(#"
" ’ # " ’ 0
’ ("%
("%
) " ’ 0
’#("%
#("[ ]%
’!
#
#
(##
" ’ # " ’ 0
’ (#%
(#%
) " ’ 0
’#(#%
#(#[ ]%
’ !
#
$
(#$%
% ’ #
" ’ 0’ ($%
($%
) " ’ 0
’#($%
#([ ]$
7（%）" &
" ’ 0’ ("%
,"%
，7（%）# &
" ’ 0’ (#%
,#%
，7（%）$ &
" ’ 0’ ($%
,$%
由（0）式，可观测变量与状态变量的关系可表达为
6（%）% & 7（%）! ) 7（%）" $" % ) 7（%）# $# % ) 7（%）$ $$ % （"!）
记
8% &
6（"）%
6（#）%
6（&）
%
，7! &
7（"）!
7（#）!
7（&）
!
，
7" &
7（"）" 7（"）# 7（"）$
7（#）" 7（#）# 7（#）$
7（&）" 7（&）# 7（&）
$
，0% &
0（"）%
0（#）%
0（&）
%
用向量形式表达可观测变量与状态变量的关系为
—$/—
1234"0，524" 管 理 工 程 学 报 #!!&年 第 "期
!" # $! % $"&" % ’" （""）
从理论上讲，利率完全由状态变量的取值决定，但这儿有五
个可观测利率，仅有三个状态变量，必须引入误差项 ’"。误
差项可以认为是观测值的随机误差，或者从交易价格求利率
过程中造成的随机误差，其数学期望为 !，方差为
#$%（ ’"）# (
由（&）式，状态变量的变化可表达为
&"% ) #! %"［&" *!］%#" % ) （"’）
其中#" 是随机误差项，其数学期望为 !，方差为 +。由于在
高斯仿射模型下，利率仍服从正态分布，利用卡尔曼滤波法
估计模型中的有关参数是一种最优的估计方法。参数估计
的基本思路如下，详细估计方方法见 ($)*+,-.［"!］：
,&" 的初值及初始条件方差取它的无条件均值及无条件
方差
,&! #!，#/0（ ,-!）#［ . *（"!"）］*"#/0（+）
,&" 的预测方程为
&" / "* ) #! %" ,&"* ) *!」 （"1）
预测值的条件方差为
-" / "* ) # ",-"* )"0 % + （"2）
记
1" # !" * $! * $"&" / "* )，2" # $"-" / "* )$0" % (
则 1" 服从正态分布，其似然函数为
* ’+.3" # +. / 2" / % 10"2*"" 1" （"&）
参数的选取应该满足
)*.
｛45657’"’68｝"" ’+.3"
在卡尔曼滤波法中，状态变量估计值及估计误差的递推
算法为：
令
9" # -" / "* )$0"2*"" ，3" # . * 9"$"
估计值和估计值的方差的递推算法为
,&" # &" / " * ) % 9"1"，,-" # 3"-" / " * )
! 实证结果及其分析
"332年左右发行的部分国债实行通货膨胀保值贴补，保
值办法是这样的：在到期日，考察到期日以前一年的通货膨
胀率，如果高于债券的票面利率，对高出部分实行贴补。对
于这种国债，其价格表现出的利率与市场名义利率有一定的
差别。但 "334年以后，保值贴补的影响就几乎不存在了，因
为通货膨胀率已经下降到一个较低水平。考虑到保值贴补
的影响，本文拟合 "334年以后的利率期限结构，数据区间从
"334年 "月至 ’!!’年 2月，共 52个月度数据。估计出的参
数的取值如表 ’。:!反映了风险中性下短期利率的期望值，
取值为 16"78。 ;"，$"，%" 决定了第一个状态变量的变化，
;’，$’，%’决定了第二个状态变量的变化，;1，$1，%1 决定了第
三个状态变量的变化。从它们的参数取值可以看出，第一个
状态变量具有较小的均值回复速度参数 ;"，平均大约需要 4
年完成一次回复过程，较小的波动率参数，负的风险金参数，
负的风险金参数与国外大部分实证结果是一致的。第二个
状态变量具有较大均值回复速度，平均 "6’& 年就可以完成
一次回复过程，同时具有较大的波动率，第二个状态变量也
具有负的风险金参数。第三个状态变量的各项取值都很小，
需要很长的时间才能完成一次回复过程，波动率也很小，具
有负的风险金。在反映不随时间变化的风险金的参数中，只
有状态变量 ’的风险金参数不为 !，反应出模型只需要一个
不随时间变化的风险金参数。图 ’直观地反映了三个因子
的取值及其变化，它们是根据 "年期，’年期利率和 1年期利
率的样本数据，以及估计出的利率模型，求出的三个状态变
量的取值。下面考察模型是否能够反映上交所债券价格隐
含的利率期限结构。在模型下，利率期限结构的取值如图 1。
它是根据图 ’中状态变量的取值，以及估计出的利率模型，
求出的利率期限结构。比较图 "与图 1，发现利率期限结构
的观测值与模型下的利率期限结构具有非常一致的形状。
为了仔细比较两者的差异大小，图 2给出了 2年期利率的观
测值与模型下的 2年期利率，图 &给出了 &年期利率的观测
值与模型下 &年期利率的取值。从图 2，&可以看出，模型能
够较好地反映利率期限结构的相对变化，模型下的利率与利
率的观测值基本一致。这儿不再给出 "，’，1 年期利率的观
测值与模型下的取值的比较，由状态变量的求解过程知道，
它们完全一致。
表 " 三因子广义高斯仿射模型的参数估计值
参数 ;" $" %"! %"" :!
估计值 9 !6"17" !6!"1’ !6!!!! 9 !6"17! !6!1"7
参数 ;’ $’ %’! %’’ ’+.3
估计 !67"73 !6!5’7 9 !6!34& 9 16’47" 11426!
参数 ;1 $1 %1! %11
9 !6!""7 !6!!!’ !6!!!! 9 !6!"13
图 " 模型下状态变量的取值
# 小结
本文以上交所债券价格隐含的利率期限结构数据作为
分析对象，首先利用主成份分析法分析需要多少状态变量利
—27—
范龙振：上交所利率期限结构的三因子广义高斯仿射模型
图 ! 模型下利率期限结构的变化
图 " 模型下的 "年期利率与 "年期利率
观测值的比较
图 # 模型下的 #年期利率与 #年期
利率观测值的比较
率模型才能描述上交所债券市场利率期限结构的变化，然后
估计了三因子广义高斯仿射模型，主要结论如下：
!）对利率变化的主成份分析结果表明，利率模型要反映
上交所债券市场的利率变化，需要两个到三个状态变量。单
状态变量对利率变化的最大解释能力不超过利率变化方差
的 "#$，两状态变量可以解释利率变化方差的 %&$以上，三
状态变量可解释利率变化的 %’$。
(）用三因子广义高斯仿射模型对 !%%)年以来利率期限
结构数据进行拟合，发现模型基本上可以描述上交所利率期
限结构的相对变化。
利率模型是金融理论应用到实际中最成功的范例之一，
已出现了很多利率模型，如较早的 *+,-./0模型（!%))），稍后
的 123模型（!%’(），455-6/模型（!%%"），最近出现的广义仿射
模型（(&&(）等，利率模型从理论到应用仍以较快的速度发展
着［#］。首先人们认识到与实际接近的利率模型是一个多因
子模型，其次认识到这些已有的模型并不能完全反映利率的
变化，特别是反映利率的可预测性。它们的大多数可以近似
地反映利率期限结构的相对变化，因此可以用来对利率产品
进行定价。但由于不能完全反映利率的可预测性，用来对利
率的变化进行预测会损失一些信息。当前利率模型发展的
一个主要目的是发现符合金融理论的能够反映利率变化可
预测性的利率模型。主要方法是使利率的风险金形式足够
灵活，以便反映利率风险金的动态变化，因为从理论上讲，利
率的可预测性只能从利率的风险金变化来解释。在我国，随
着利率市场化改革，固定收益资产市场的扩大，交易的活跃，
利率模型在固定收益资产的定价和风险管理方面的作用将
会引起重视，立足于国内市场，首先做好已有利率模型的实
证研究，在此基础上，研究能够反映中国债券市场的利率模
型。
参 考 文 献
［ !］ 7+8+ 9: ;/<8=,><?.>?</ 5@</.+,>, @5 -6>/</,> <+>/，-65A+>-@6 +6B </+A
</>?<6,［C］: C@?<6+A @5 D@6/>+<E 9.@6@8-.,，!%%&，(#：#% F )":
［ (］ 7+8+ 9，GA-,, 3: ;H/ -65@<8+>-@6 -6 A@6I=8+>?<->E 5@<J+<B, <+>/,［C］:
48/<-.+6 9.@6@8-. 3/K-/J，!%’)，))："’& F "%(:
［ L］ 1+8M/AA C: N6B/<,>+6B-6I <-,0 +6B </>?<6,［ C］: C@?<6+A @5 O@A->-.+A
9.@6@8E，!%%"，!&P：(%’ F LP# :
［ P］ Q?55-/ Q，R+6 3: 4 E-/AB=5+.>@< 8@B/A @5 -6>/</,> <+>/,［ C］:
D+>H/8+>-.+A 7-6+6./，!%%"，"（(）：L)% F P&" :
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@5 G?,-6/,,，!%’)，"&：P)L F P’% :
［ ’］ U?6/, C: +6B W/XX/< UC: T@J B-8/6,-@6+A BE6+8-., +6B ,>+X-A->E @5
>H/ YCD >/<8 ,><?.>?</ 8@B/A,：［W@<0-6I M+M/<］: N6-K/<,->E @5
W+<，!%%) :
［ %］ Q+- Z:，V-6IA/>@6 R: 9[M/.>+>-@6 M?\\A/,，>-8/=K+<E-6I <-,0 M</8-+，
+6B +55-6/ 8@B/A, @5 >H/ >/<8 ,><?.>?</：［W@<0-6I M+M/<］: V>+65@<B
N6-K/<,->E，(&&(:
［!&］ Y+8-A>@6 C: ;-8/ ,/<-/, +6+AE,-,［D］: O<-6./>@6：O<-6./>@6 N6-K/<,->E
O</,,，!%%P：L)( F P&’:
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责任编辑：许冠南
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