第三章 复合命题及其推理
复合命题即包含其他命题的命题，构成复合命
题的命题称为该复合命题的肢命题。
以复合命题为前提或结论的推理是复合推理。
一、联言命题及其推理
1.联言命题
联言命题即断定对象几种情况同时为真的命题。
例1：他既是慈父又是孝子。
联言命题由肢命题和联结项两部分组成。组成
联言命题的命题即为其肢命题（用字母p、q表示）；
将肢命题结合为一联言命题的逻辑联结词就是它的
联结项（符号为∧，读作“合取”）。
联言命题的逻辑公式：
p并且q，或者：p∧q
联言命题的真假取决于其肢命题的真假。
一个联言命题只有在它的所有肢命题都为真时，
它才真；只要有一个肢命题为假，它就不能成立。
联言命题的真假值可用“真值表”表示。
2.联言推理
联言推理即前提或结论中包含有联言命题、且
根据联言命题的逻辑特性进行的推理。有三种形式：
⑴分解式，逻辑公式为：
p∧q，
∴p（或者q）。
⑵组合式，逻辑公式为：
p，
q，
∴p∧q。
⑶否定式，逻辑公式为：
非p，
q，
∴并非p∧q。
上述推理形式的有效性，可以从联言命题的真值
表得到验证。
二、选言命题及其推理
1.选言命题
选言命题即断定对象的几种可能情况中至少有
一种为真的命题。
例2：章颖今天没有来上班，也许是因为身体
不好，也许是因为家里有什么急事儿。
根据选言命题所断定的若干情况能否同时为真，
选言命题分为相容和不相容两种形式。
⑴相容选言命题，即断定对象的若干情况中至
少有一个为真也可能同时为真的命题。
相容选言命题由肢命题和联结项两部分组成。
其联结项用符号∨（读作“析取”）表示。
选言命题的逻辑公式：
p或者q，或： p∨q
相容选言命题的真假亦取决于其肢命题的真假。
一个相容选言命题只有在它的所有肢命题均为假
时，它才假；只要有一个肢命题为真，即为真。
相容选言命题的真值表。
⑵不相容选言命题，即断定对象的若干情况有一
个并且只有一个为真的命题。
不相容选言命题的联结项用符号∨加点（读作
“不相容析取”或“强析取”）表示。逻辑公式：
要么p，要么q。
不相容选言命题的真假取决于其肢命题的真假。
一个由两个肢命题组成的不相容选言命题，在
其肢命题同真同假时为假，真假值不一时则为真。
不相容选言命题的真值表。
2.选言推理
选言推理即以选言命题为前提、并根据选言命
题的逻辑特性进行的推理。选言推理也有两种形式。
⑴相容选言推理，就是以相容选言命题为前提
进行的推理。例3：
此刻灯不亮或是因为停电，或是因为电路故障，
现已查明，此刻没有停电；
所以，灯不亮是由电路故障引起的。
相容选言推理的唯一正确形式为“否定肯定式
”：
p∨q，
非p ；
所以q。
“肯定否定式”对相容选言推理无效。由此得
到相容选言推理的规则。
⑵不相容选言推理，就是以不相容选言命题为
前提进行的推理。例4：
下届工会主席要么是小李，要么是小张当选，
选举结果小李落选了；
所以，小张当选为下届工会主席。
不相容选言推理有两种正确形式，“否定肯定
式”和“肯定否定式”均有效。
由此得到不相容选言推理的规则。
3.选言推理的评估
选言推理的有效性评估通常分三个步骤：
第一步：在一论证中区分出推理的前提和结论，
辨识推理的类型：是相容还是不相容的选言推理。
第二步：概括或提炼该选言推理的标准形式；
第三步：根据选言推理的正确式或推理规则验
证其是否有效。
三、假言命题及其推理
1.假言命题
假言命题是对思维对象的情况作有条件断定的命
题，故又称“条件命题”。例5：
如果一个人失血过多，那么他的生命就会有危险。
假言命题由肢命题和联结项两部分构成。根据肢
命题在整个命题中的作用不同，区分为前件和后件
（用字母p、q表示）。
由于肢命题之间的条件关系不同，假言命题分为
三种形式：充分条件假言命题、必要条件假言命题
和充分必要条件假言命题。
⑴充分条件假言命题
假设有两个对象A和B，每当A出现，B一定随之
出现，则A构成B的充分条件。
反映或断定对象之间这种条件关系的命题即为
充分条件假言命题。
充分条件假言命题的联结项用符号“→”（读
作“蕴涵”）表示。逻辑公式：
如果p，那么q ；或者：p → q
充分条件假言命题的逻辑含义：当前件p所断定
的情况为真，则后件q所断定的情况一定为真。但
是，当前件p断定的情况为假，后件q断定的情况如
何，对此充分条件假言命题未作任何断定。
充分条件假言命题的真假取决于其前后件之间
是否存在充分条件关系。例6：
如果明天不下雨，那么我们就去公园玩。
对充分条件假言命题而言，只有在其前件真而
后件假的情况下，它才是假的；其他情况均为真。
充分条件假言命题的真值表。
⑵必要条件假言命题
假设有两个对象A和B， 只要A不出现，B就一
定不出现，则A构成B的必要条件，或者说在A和B
之间存在着必要条件关系。
反映或断定对象之间这种条件关系的命题是必
要条件假言命题。
必要条件假言命题的联结项用符号“←”（读
作“逆蕴涵”或“反蕴涵”）表示。逻辑公式：
只有p，才q；或者： p ← q
必要条件假言命题的逻辑含义：当前件p所断
定的情况为假，则后件q所断定的情况一定为假。
但是，当前件p断定的情况为真，后件q所断定的
情况如何，对此必要条件假言命题未作任何断定。
必要条件假言命题的真假同样取决于其前后件
之间是否存在必要条件关系。例7：
一个人只有年满18岁，他才有选举权。
对必要条件假言命题而言，只有在其前件假而
后件真时，它才是假的；其他情况均为真。
必要条件假言命题的真值表。
必要条件假言命题和充分条件假言命题之间存
在着密切的内在联系。
这种联系的特点是：如果前件p是后件q的充分
条件，那么，后件q就构成前件p的必要条件；相应
地，如果前件p是后件q的必要条件，那么，后件q
就构成前件p的充分条件。
据此，可以把任何一个充分条件假言命题转换
成与它完全相等值的必要条件假言命题；反之亦然。
⑶充分必要条件假言命题
假设有两个对象A和B，每当A出现，B就随之
出现；而当A不出现时，B也不出现，则A构成B的
充分必要条件，或者说在A和B之间存在着充分必
要条件关系。
反映或断定对象之间这种条件关系的命题就是
充分必要条件假言命题。
充分必要条件假言命题的联结项用符号
“”（读作“等值”）表示。例8：
人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
充分必要条件假言命题的逻辑公式：
当且仅当p，则q；或： p q
充分必要条件假言命题的逻辑含义：当前件p
所断定的情况为真时，则后件q所断定的情况为真；
当前件p为假时，则后件q亦假。
充分必要假言命题的真假同样取决于其前后件
之间是否存在充分必要条件关系。
对充分必要条件假言命题而言，只有在其前后
件同真同假时，它才是真的；前后件的逻辑值不一
则为假。
充分必要条件假言命题的真值表。
2.假言推理
假言推理就是以假言命题为前提、并根据假言
命题的逻辑特性进行的推理。例9：
如果他是作案人，那么他定有作案时间，
现已查明，他没有作案时间；
所以，他不是作案人。
假言命题有三种形式，其推理也有三种形式。
⑴充分条件假言推理，就是以充分条件假言命
题为前提而进行的推理。
根据充分条件假言命题前后件之间逻辑关系的
特点，充分条件假言推理有两种正确形式，即“
肯定前件式”和“否定后件式”。
充分条件假言推理两种有效式的逻辑公式：
p→q， p→q，
p； 非q；
∴q。 ∴非p。
对充分条件假言推理而言，不能通过否定前件否
定后件，也不能通过肯定后件而肯定前件。
由此得到充分条件假言推理的规则。
⑵必要条件假言推理，就是以必要条件假言命题
为前提进行的推理。例10：
一个人只有年满18岁，才有选举权，
他不满18岁；
所以，他没有选举权。
根据必要条件假言命题前后件之间逻辑关系的
特点，必要条件假言推理有两种正确形式，即“否
定前件式”和“肯定后件式”。
必要条件假言推理两种有效式的逻辑公式：
p ← q， p ← q，
非p； q；
∴非q。 ∴p。
由于必要条件假言命题前后件的关系与充分条
件假言命题正相反，因此对必要条件假言推理而言，
“肯定前件式”和“否定后件式”是无效的。
由此得到必要条件假言推理的规则。
⑶充分必要条件假言推理，就是以充分必要条
件假言命题为前提而进行的推理。
根据充分必要条件假言命题前后件之间逻辑关
系的特点，“肯定前件式”和“否定前件式”,“
肯定后件式”和“否定后件式”都是有效的。
由此得到充分必要条件假言推理的规则。
⑷假言推理有效性的评估
第一步：在一论证中区分出推理的前提和结论，
根据假言前提的逻辑联接词，确定该推理属何种假
言推理。
第二步：概括或提炼出推理的标准形式。
第三步：根据正确推理模式或推理规则，验证
其是否有效。
四、负命题及等值推理
1.负命题及其特点
面对一命题“他是足球运动员”，要对它予以
否定，可采用什么表达方式？
例11：说他是足球运动员是不对的。
负命题就是否定其他命题而形成的命题。
负命题是一种较特殊的复合命题。它不同于其
他各种复合命题，其他的复合命题至少由两个肢命
题构成，而负命题只需一个肢命题便能成立。
负命题由肢命题和联结项两部分组成。其联结
项用符号“－”（读作“并非”）表示。
负命题的逻辑公式：
并非p；或者：－p
负命题的真假直接取决于其肢命题的真假。
若肢命题真，则否定它的负命题为假；若肢命
题假，则负命题为真。换言之，负命题与其肢命题
是矛盾关系。
负命题的真值表。
2.等值推理
否定一个命题，意味着肯定了与被否定命题相
矛盾的命题为真。一个负命题与其肢命题的矛盾命
题在逻辑上是等值的。因此，从一个负命题总是可
以推得一与它相等值的新命题，这一过程就是等值
推理。
3.直言命题的负命题及其等值推理
否定一直言命题即得到该直言命题的负命题。
由一直言命题的负命题推得一与其相等值的新命题
为结论，这一过程即为直言命题负命题的等值推理。
SAP：－（SAP）→SOP；
SEP：－（SEP）→SIP；
SIP： －（SIP）→SEP；
SOP：－（SOP）→SAP。
注意：一个单称命题负命题的等值推理，其结
论是一相应的单称命题，而不再是特称命题。
4.复合命题的负命题及其等值推理
否定一复合命题即得到该复合命题的负命题。
从一复合命题的负命题推得一个与其相等值的
新命题为结论，这便是复合命题负命题的等值推理。
p∧q：－（p∧q）→（－p∨－q）
p∨q：－（p∨q）→（－p∧－q）
p∪q：－（p∪q）→（ p∧q）∨（－p∧－q）
p→q：－（p→q）→（p∧－q）
假言变选言：（p→q）→－（p∧－q）
→ （－p∨q）
p←q：－（p←q）→（－p∧q）
p q：－（p q）→（ p∧－q）∨（－ p
∧q）
－ p： －（ － p）→ p
五、几种复杂的复合推理
复杂的复合推理是指由几个乃至几种不同复合
命题为前提而构成的推理。
1.二难推理
二难推理是由两个假言命题和一个选言命题为
前提而推出结论的推理。例12：
如果上帝能造出一块他自己举不起的石头，
那么上帝不是万能的；
如果上帝不能造出一块他自己举不起的石头，
那么上帝也不是万能的；
上帝或者能够或者不能够造出这样的石头；
总之，上帝不是万能的。
由于这一推理形式常使论敌陷于左右为难的境
地，故得名“二难推理”。
二难推理有四种不同形式。
⑴简单构成式：p → q，r → q；
p ∨ r，
∴ q
⑵简单破坏式：p → q， p → r ；
非q∨非r，
∴ 非p
⑶复杂构成式：p → q，r → s；
p ∨ r，
∴ q ∨ s
⑷复杂破坏式：p → q， r → s ；
非q∨非 s ，
∴ 非p∨非 r
2.反三段论
这种推理的特点是：大前提为一充分条件假言
命题，它的前件为一联言命题；小前提否定大前
提的后件并肯定其前件中的一个肢命题，结论否
定它的另一个肢命题。
其逻辑公式为：
如果p且q，则r；
非r并且q；
所以，非p。
3.归谬推理
这一推理的特点是：从一命题或假设出发推出
两个相互矛盾的论断，由此否定该命题或假设。
逻辑公式为：
如果p，则q；
如果p，则非q；
所以，非p。
4.反证推理
这种推理的特点是：否定一个命题可推出两个
相互矛盾的论断，由此肯定该被否定命题。
逻辑公式为：
如果非p，则q；
如果非p，则非q；
所以，p。
六、模态命题及其推理
1.模态命题
模态命题即断定对象之不同确然程度的命题。
例13：⑴今天晚上他一定不会来。
⑵明天可能会下雨。
数学用概率这一量化形式刻画对象的不同确然
程度，逻辑则集中讨论必然和可能这两种模态。
模态命题在结构上的特点：总是包含有“必然”
或“可能”之类的模态词。在现代逻辑中，用符号
“□”表示“必然”，用“◇”表示“可能”。
模态命题的逻辑公式：
□（◇）p
模态命题的形式：对模态命题可以从它所包含
的模态词或质两个不同角度进行分类。其基本形式
有四种：
⑴必然肯定模态命题，逻辑形式为：□p；其含
义是：断定某件事情的发生是必然的。
⑵必然否定模态命题，逻辑形式为： □－p；其
含义是：断定某件事情的不发生是必然的。
⑶可能肯定模态命题，逻辑形式为： ◇p；其
含义是：断定某件事情的发生是可能的。
⑷可能否定模态命题，逻辑形式为： ◇－p；
其含义是：断定某件事情的不发生是可能的。
同素材模态命题间的逻辑关系：在同素材的四种
模态命题之间也存在着真假上的相互制约关系。这
种关系与四种直言命题间的对当关系相同，故又称
模态命题的对当关系。
模态命题的负命题：否定一个模态命题即得到该
模态命题的负命题。一个模态命题的负命题与被否
定模态命题的矛盾命题在逻辑上是等值的。所以任
何一个模态命题的负命题都有一个与它相等值的命
题，用逻辑公式表示为：
－□p ◇－p； －□－p ◇p；
－◇p □－p； －◇－p □p。
2.模态推理
模态推理是指以模态命题为前提，并根据模态命
题的逻辑特点或相互关系进行的推理。
常用的模态推理有两种形式：
⑴根据对当关系进行的模态推理：已知一模态命
题为真或假，推得与其同素材的另一个或几个模态
命题的真假。
⑵模态命题负命题的等值推理：由一模态命题的
负命题推出与其相等值的新命题为结论。
进行模态等值推理，须同时实现“两个转换”：
即模态词的转换和命题形式向其矛盾命题的转换。
