88， ：
／
第 24卷 第 4期
2000年 8月
武 汉 交 通 科 技 大 学 学 报
Journal of Wuhan Transportati。n University
Vo】．24 No．4
August 2000
拟线性效用的替代效应与收入效应
(北京理工大学管理与经济学院 北京 100081)
(武汉 汽车工业 大学管理学 院 武汉 430070)
F 1午7
1 7
、 美键词：避 尊 、书J、叛十 划
中图涪分类号：F224．9 、 、
消费者拟线性效用 函数为 f，(z。， ，⋯，工 j
一 。+“h 一， )，其中 “ 一，z )可能是线
性 的，也 可能 是非线性 的，如 果 z。一0，则 z。+
“ l，⋯，z，．)一“( ，⋯， )就变成 了一般形式的
效用函数 ，本文只讨论 z。≠0时的情形．设与消费
柬(zo，zl，⋯， )相应 的价格 向量 为(户。， ，⋯，
)，那么在拟线性效用的情形下消费者是如何选
择商品的?价格向量发生变化是如何影响消费选
择的?
1 两模型解值的特性及联系
模 型 一是指 预算 支 出 为 m 时 ，消 费者 为使效
用最大化应如伺选择消费柬．即在∑P^ 一m
的预算约束下使 目标 函数 。+“( ，⋯ ， )最大
化．为此构造拉格朗 日函数 L 一z。+“(z ，⋯ )
+^ (m一∑ _)，目标函数最大化的一阶条件
为方程组(I)：_aLt
一 0( 一0，1⋯ ， )，方程组 (I)
可化简为方程组 (Ⅱ)： au P s( --1，⋯，n)．显然
方程组 (Ⅱ)的解 具有 如下形式 ：z ( ，P ，⋯，
P )，⋯，z：( 。， ”， ， )．代人约束条件∑
一 可得 ( ， ，⋯， ， ) 麦‘m
收穑 日l朝 2000 04—15
李先柏 ：男 ，3s岁，瑚士，讲师
一 ∑P z )．因此最大效用为：v(p。，P ”⋯P
17"1)一zj+ (工 ，⋯，z )．值得 注意的是 ，最优 消
费柬 中除 z 与 有关外 ， ( 一1，⋯， )均与 ／7"l
无关．
模型二是指消费者面对的价格向量仍为( ，
， ⋯ ， )时，为实现一定的效 用 U，应如何选择
商品才能使其支出最小．即在 。+ “，z )=
U的约束条件下使目标函数∑P 最小，同样通
过构造拉格朗日函数L 一∑Pm+ [-gmx。一
“( ，⋯，32 )]，目标函数最小化的一阶条件(必要
条件)为方程组(Ⅲ)：尝：0( 一0，1，⋯，n)，方程
组(Ⅲ)可化简为方程组(Ⅳ)：墨一象( —l，⋯，
)，方程组(Ⅳ)与(Ⅱ)完全相同，其解仍为 z
( ，P 一，P )，⋯，z ( 。， ⋯，P )，代人约束条
件 可 得 o的解为 o^(户。，P ，⋯⋯P U)一U一“
(z ，⋯ ． )，即
。^(户 ，户1，⋯ ⋯P U)+ “(z ，⋯ ，z )一 U
(1)
所有解值代人目标函数就得到实现效用 u的最
小支出：
( 。， ”，户 ，u)：poh。+∑P z (2)
模型二的最 优消费束中除 z。的解 h o( o， ，⋯，
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】
第 4期 李先柏等：拟线性效用的替代效应与收^效应 ·389·
P ，U)与 有关外 ，其余解值 (i=l一⋯ ，H)均
与 U无关．
上述两模型中的 ，U是相互独立地取值的，
这往往会使 ≠ 。^，当 ≠ 时 ，必 有 P。 ≠
poh。(因为Po≠o)，从而posS+∑P ≠poh。
+∑P．2- 即m≠ ，也就是说当 ≠ 时必有
md=e；其逆否命题必然也成立，即当m—e时．必
有 一 ，因此
；(户0，P】，⋯ ⋯P e(p。，P ，⋯ ⋯P U))一
h。(户。，P】，⋯ P U) (3)
当 — 时 ，两模型的解值向量完全相等，并且模
型一的目标函数值
v(p0，Pl，⋯ ⋯P (户。．P ” P U))一
+ “( ，⋯ ，z：)
也正好等于模型二 中的 U=ho+ ( ，⋯， )．
对于更深入的一些数量关系，下面我们做一
些推导．
式(1)两边对 p 0一O，1，⋯， )求偏导得
+ 当 一。( 0 1．-I 4)
．
。 一 ⋯
式(1)两边对 u求偏导得 一l (5)
式(2)两边对 P．( 一0，1，⋯， )求偏导得
蠹 +耋户 鬟 ㈤
老一r + 象一耋户
( 一 1．⋯ ) (7)
式(2)两边对u求偏导得 一户0 (8)
式 (3)两边对 P ( =0，1，⋯， )求偏导得
ar ． 3h。
ap! a ap
( 一 0，1，⋯ ， ) (9)
式 (3)两边对 U求偏导得
警斋U： U ㈣ a a a ⋯
因为 ( 一1，⋯， )是方程组老一是( —l，⋯，
”)的解，所以有斋一瓦Pj 』．一1，⋯， )并将其代人
式(4)得
一一去害 ， 一⋯一
即
豢+ 一⋯一 _．
式 (11)当 i一0时
式(6)得
式(11)当 一1，⋯
一
一 。
． 时代人式(7)得
(11)
一。代人
(12)
蠹 “_l，⋯ ) (1 3)
式 【5)代 人式 8)得
8 e
— P。 (14)U a ⋯
式 (8)代人式(1O)得
等一麦 ⋯ a e 声 ～
将式(12)、(15)代人式(g) ：0时的等式得
一 一 一
ho (16)
aP0 aP。 P0 ⋯
将式(1 3)、(15)两式代人式(9) —l，⋯， 时 的等
式可得
一 一 ； ( l，⋯ (1 7) ap ap p
0
。
2 对 z 的替代效应 与收入效应 的
分离
莸们讨论 Po发生变化且向量(户¨ ⋯，P )中
有r十元素发生变化的情形，记向量( ，⋯ p )
中发生变化的，个元素为 P ⋯，户一，那么， ，≠
O(i一1，⋯，r)，而向量(户 ，⋯，P )中其余( —r)
个元索 保持 不 变．由于 z；和 的函数 形 式 为
j(户。，Pl，一一 P P(户o，Pl，⋯ P U))和 e(p o，pi，
⋯⋯P U)，所以我们有
： + 一 。
+ +等d (18)
肘a~p~dp 。 蠢 + d。
(19)
对于我们所讨论的情形 ，根据式(18) (19)，其总
效应(此时 de=0)为
d葡 一 +骞瑟 - (2。)
分析总效应时 ，我们有 de=0，即
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· 390· 武汉交通科技大 学学 报 2000年 第 24卷
+享 _+翥au一。
分析替 代 效应 时．dU=0而 de≠ 0，根据 【18)、
(19)两式可知
= 十 耋 l+
毒 +耋耘㈨
将式 (12)、(1 5)代人上式，则
出 静户。+ dAl+
。+ 杀 ) 【22)
记 Po发生 变化之后成 为 P 。，记 向量(户 ．_1P．．)
发 生变化的 r个元素在变化之后成 为 P ，，(i一，
⋯ ，n)，则分析收A 效应时 dp 一一0，dp 。=0，dU
≠0，de≠0(此时的支出函数 是指价格变化之后
的函数值)，对于新的价格 向量 ，用类似于式L18)，
式(19)全微分可得
= 。+享 +篝×
(寰 +耋 + ∽一
凳·筹·dU (23) a ， ⋯
将式(1 2)、(1 4)代 ^式(21)得
去( p。+砉 a ed (24)
将式 (14)、(1 5)、(24)代 人式 (23)得
一 击【 户 a e d )(25)
式(20)，(22)，(25)三式OP是我们所推导的结果，
比较这三式就可知道我们所熟悉的等式
dr — d #— d (26)
式(20)．(22)．(25)是适用于 一般情形下 的通式 ．
下面根据这 三式对几种特殊的情形作出相应的结
论．
1)dp。≠0．而 dp 一0( 一1，⋯，n)，此即只有
Po发生变化的情形，因而
dp一一 u (i一 1，⋯ ，r)
所 以
∽ n= ，
一
* =鬟 + 。
2)dpo~-0，d ≠ 0tl= 1，⋯ ，n J，但 dp 一 0 J
≠ ，J—l，⋯． )，此即除 P 发生变化外，向量
(P 一，p )中还有一个元 素发生变化 ，因而 P，-一
P．，dp，=dp，所 以
n一 t- dp ⋯ 'H)
出 一麦 。dp。+dp 一
一
po
(hcd + dA) ( 一 1，⋯ ， )
打 *一鼍 十 dA一击( 肘
dp ( 一h~)dp。+( 一
p
Z)dp
，+去( 户。+ 一
豪 +象
( = 1，⋯ ， )
3)dp o≠O，dp ≠O( 一1，⋯ ， )，此即价格向
量(p。，P --．P )中每个元素都发生变化的情形，
此时，i =i，P -一P ，dp =dp．，r=n所以：
一 + 耋
一 去( 户。一-耋嘉 )一
一 m。d户¨ +
*= +耋等 +
麦( +善 c3 e )
甏 一耋 d肘
麦(^0d +善 7dp。
4)dp。=o，dp ≠0( =1．⋯，月)但 d户 一0( ≠
i，J=1．⋯ ，月)，即P。不变，向量( ，⋯，P )中只有
一 个元素发生变化 +这 时 i 一i，P．，一户 ，d户 -=dp ，
所 以 ：
一 。_ 1+⋯ )
纯 一击’ a e’t’ip,一生Po 一一 ’ 一 一。pf
(i= 1，⋯ ，n)
= dp，+瓦1·豢 = +
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第 4期 李先柏等 ：拟线性教用的替代效应与 收^ 效应 ·391·
丢 =c 一丢 +
XI" 参
( ： 1，⋯ ，n)
5)dp 一0，dp ≠0，dp ≠0但 dp =0【 壬 ≠
五； ， ， 一1，⋯，")，即P。不变 ，向量 (户。，⋯，P )中
有两个元素(r=2)发生变化时的情形．所以
dz： 幕dp +
一 等 + +
去 去 +参a 一 寥一丢)d ．+
( 一
P o
+ ；dp
+参
( ≠ J；i， 一 1，⋯ ， )
6)dpo一0，dp ≠0( —l，⋯，")即 P。不变，向
量 (A，⋯ ，P )中每个元素都发生变化．这时 i =
，P —P ，dP =dp．，r=H，所以
d e =
一 一 焘
dz 一∑
耋 a
骞塞 —一去喜
一-P
。 ~= t
Oe
一
耋 象一 一麦耋 一耋 aA
上 述 6种特 殊情形 的讨论 中，多处使 用式
(13)、(16)、(1 7)来进行化简，讨论中未一一指出．
3 对 z 的替代效应与收入效应的
分离
我们 已经知道 ，z 的函数形式 为 ( P
”
，P )( — i，⋯ ，")所
一 瓮
+ (27)
在 P 变化且 向量( ⋯， )中有 r个元素变
化时 ，将这 r个变化的元素重新依次记为 P ⋯ ，
，则 dp。≠O，d户，≠0，( 一1，⋯，r)，余下的( 一
r)个元素保持不变，根据式(27)我们有：
一 砉
( = 1，⋯ ，n)
因为 既与预算支出 无关，又与实现的
效用水平 U 无关，因此 根据式(27)，替代效应 与
总效应相等 ，即：
一 一 + 窨筹
( — i，⋯ ，") (28)
设 变化之后为P 。，P -变化之后为P‘，，则分析
收入效应时 dp 。一0，dp ，-=0，对价格变化之后的
求全微分即为收八效应，所以
一 。+ 一一 。
( = 1，⋯ ，n) (29)
下面根据式(28)对几种特殊情况进行讨论．
7)向量(户。，P ”，P．．)只有 Po变化，其余元
素不变 ，则 ：
dx； 一 d
(i： 1，
8)向量( 。，P ，一--， )中只有一个元素 P (
=1，⋯ ，”)变化， 4
- d墙
( =：i，⋯ ，")
9)Pc发生变化，向量 (户t，⋯，P )中只有一个
元素 P ( 一1，⋯，”)变化，则
一 * 一 十
( = 1，⋯ ，n)
10)向量(户。，⋯，P )中有两个元素 P 和
变化( ≠ )，P。不变，则
= 一 一 鼍
11)向量 ( ，P ，⋯，P )中所有 元素均发生
变化，则 ：
_ d 一
(i= 1，⋯ ， )
需要指出的是，上述讨论的总效应、替代效应
和收入效应均以微分的形式给 出，对于有限变化。
有近似的表达式．根据式(20)，(22)，(25)分别有
一
( ● ～
一 一
一 一
砖
d
肇
+
～
d ，
●
T (
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·392· 武汉交诵科技大学学 报
一 鼍 ～耋 —
一 + 耋
击∽ 1。 墨
— 1(^ +砉 (B e )
对于式 (28)有 ：
；n一 一鼍 +窨 0．Tci*
t 一 1，·--， )
2000年 第 24卷
以上对各种具体情况的讨论 ，有助于我们更
清楚地认识总教应 、替代效应、收人效应 的概念 、
推证、计算及相互关系．其推证过程有一定的假设
条件，比如我们假设各有关偏导数存在且连续，方
程组(Ⅳ)存在唯一解等等，至于消费者的行为、商
品的特性怎幺样才能满足这些假设条件 ，本文不
对此加以论述．
参 考 文 献
1 哈尔 t瓦里安．微观 经济学．周 洪 ，李 勇译．北京
经济科学 出版社．1997．174
2 保罗 ·A·萨缪 尔逊．经济分析基 础．甘华鸣译．北京
北京经济学院出版社 ，1990．176
3 黎诣远．西方经济学．北京 ：清华 大学 出版社 ，1 987．82
Substitution Effect and Income Effect
Simulated Linear Utility
Li Xianbo
(College o|A4anagement ．Economics Beijing University o{Techonology Beijing 100081
Li Haiying
(CoUege of Management，IMuhan Automotive Polytechnic University，Wuhan 430070)
Abstraet
First，this article discusses pecuIiarties and relationships between solutions of maximum and mini—
mum models；then separates the substitution effect and income effect of goods from each other with
1inear utility．finally separates them from each other with nonlinear utility．The discussion offers us a
general formu[a about the mentioned effects above．It can．therefore．be used to discuss all kinds of
specific situat[ons In terms of the formula．
Key words：total effect{substitution effect；income effect
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