第四章 投资组合工具
学习目的
1.计算两种收益率的协方差和相关性。
2.用单个收益率的均值和协方差计算资产组合的收
益率的均值和方差。
3.理解均值—标准差坐标图，熟悉其基本要素。
4.用股票收益协方差计算股票收益和投资组合收益
之间的协方差。
5.理解一个概念:协方差是表示投资组合微小变化的
“边际方差”。
6.计算一组风险资产的最小方差投资组合，理解相
关方程。
1
投资组合中的数学与统计符号
2
投资组合权数
一、相关概念
1. 投资组合权数
2. 股票i所占资金
3. x i = ——————————
4. 投资组合的资金总额
5. 注：∑ x i =1
6. 例,
3
2. 卖空（sell short）
概念：卖掉现在没有的投资。
种类：卖空普通股、债券，向银行借款，
发行证券等。
意义：设置了负的投资组合权数。
例：P100下
3. 其他：空头（short position）,多头（long
position）,空头轧平（short squeeze）。
4
投资组合的收益率
两种计算方法
1. 比率法
2. ~ 期终投资组合资金数（需加入分配到的现金）
3. RP= —————————————— — 1
4. 期初投资组合的价值
5. 2. 投资组合加权平均法
6. ~ N
7. RP = ∑ xi ri
8. i=1
9. 例
10.
5
投资组合预期收益率
1.结论
投资组合预期收益率等于单个股票预期收益率的加权平均：
- N -
RP = ∑ xi ri
i=1
2.杠杆投资（leveraging an investment）
卖空预期收益低的一种投资，用其产生的收益去增加预期
收益较高的投资，带来的收益率大于仅投资于高预期投资
时的收益。理论上说，投资者可以通过对收益率较高的资
产做多，对较低的资产做空，取得任意高的投资组合预期
收益率。
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- - - - - -
证： R P -r1= X1r1+（1-X1）r2-r1 =（ X1-1）（r1-r2）
若X1为高收益投资，则X1越大，即 1-X1越小（为负），投资组
合收益与单纯投资于高收益投资的差值越大。
例：Ｐ104
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方差和标准差
1.收益率方差
• 大多数投资者不但关注收益率，也关注风
险。一般要提高投资组合的收益率必须增
大风险。均方差分析将投资组合的风险定
义为其收益率的方差。
注：
• 方差估计：前瞻法，用历史数据估计；修
正
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2.标准差
为了使表示变量平均离散程度的指标与变
量本身的单位相同，引入标准差作为工具。
标准差等于方差的平方根。
注:
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协方差和相关系数
• 协方差是衡量相关程度的指标，它的值取
决于度量单位。两个收益率的协方差等于
两个离差乘积的期望值。
• 协方差与联合分布：计算协方差需要利用
两个收益率的联合分布，仅仅依据计算均
值和方差的数据，无法得到协方差。
例，
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• 协方差估计：前瞻法、利用历史数据估计
例
• 与方差、相关系数的关系 P109
a.方差是协方差的特例
b.协方差转化为相关系数
c.相关系数转化为协方差
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投资组合方差与投资组合之间的
协方差
1.两支股票组成的投资组合的方差
注：由公式可得，若两支股票的权重均为
正，则两者协方差越大，投资组合的方差
越大。
例，（回顾法）
12
2. 多种股票的投资组合
等三个方差公式（P114）
注：每个公式都是N2项相加，其中N个方差
项， N2 — N 个协方差项。
例
13
3.相关系数，分散化与投资组合方差
• 方差公式的变体
结论
若两支股票的权重均为正，则两者相关系
数越小，投资组合的方差越小。
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• 两种投资投资组合中包含一种无风险投资
时的投资组合方差
a. 若风险和无风险资产的权数皆为正，即都
小于1，则投资组合的方差小于单纯投资
于风险资产的方差，即
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b.若无风险资产的权数为负，即风险资产的
权数大于1，则投资组合的方差大于单纯投
资于风险资产的方差，即
此处杠杆投资增加了风险。
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• 投资组合中的两项投资完全相关时，投资
组合可能风险为零，即方差和标准差为零。
例
• 结论
以下两种投资组合的标准差都等于其两项
投资各自的标准差的加权平均数的绝对值。
（1）其中一项为无风险投资（2）两项投
资完全正相关。特别的，若两项投资中风
险较大的那项投资的权数为正，则可去掉
绝对值符号。
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• 投资组合收益与股票收益的协方差
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均值—标准差图
1. 意义：汇总所有信息，理解投资者在选择
投资组合权数时，如何权衡均值和方差。
2. 均值—标准差图各要素
3. 考虑三种投资组合
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• 一种无风险资产和一种风险资产的组合
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分析
结论
当投资组合的均值和标准差等于两种投资
的均值和标准差的加权平均时，均值—标
准差图上的投资组合由连接两种投资的直
线（AB）表示。证明、表达式见P116。
1. (1) 两者的权数都为正
2. 根据结论，，，此种投资组
合符合结论所描述的情况。
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1. (2) 风险投资权数为负(表达式推导见
P117)
2. 此种投资组合的图像为直线AC，由其
标准差和均值的表达式可得，卖空越多的
风险资产，投资组合收益的均值越低，标
准差越大。
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1.(3) 无风险投资权数为负
2. a.此处情况同ppt16，图像为直线AB的B以
上的部分
b.由此得出结论
当投资者通过借入无风险资产来增加风险
资产的持有量时，投资组合的风险也随之
增加。(根据权数大小，通过卖空一种风险
证券来增加另一种风险债券的持有量时，
风险也可能增加。)
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•两种完全正相关或完全负相关资产的投
资组合
(1)完全正相关
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分析
a.图上信息
A:全部投资于股票1 B:全部投资于股票2
AB:两支股票的权数都为正
A以下:卖空股票2，股票1”过分多头”
B以上:卖空股票1，股票2”过分多头”
由图可知有消除风险，即使得投资组合方
差为0的可能性。只需按C点的投资组合比
例使一种投资处于多头，一种处于空头。
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b.表达式推导
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27
(2)完全负相关（图像见下一标题）
分析
a.图像与完全正相关类似，也是一对直线；
区别:通过持有两种投资的多头消除风险。
b.表达式推导
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•其他资产组合可能的收益率均值和标准差
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分析
a.图上信息：这些投资组合的图像都位于两
支股票完全正相关时图像的左侧。
b. 释图 ：本图假设前提是两支股票的权数都
为正，不完全相关。根据结论（权数皆
正时，相关系数越小，方差越小），这些
投资组合收益率的标准差将小于两支股票
完全相关时的标准差，即小于两支股票收
益率标准差的加权平均值。
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c.说明：图形的弯曲程度取决于两种收益率的
相关系数，相关系数越小，曲率越大。
d.总结：取得最小方差投资组合时
若两者收益率的相关系数不大，则两者权
数都为正。
若两者收益率的相关系数足够大，需在一
种投资上处于多头，在另一种出于空头。
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将协方差解释为边际方差
1.结论
保持其他股票的权数不变，卖空一项与投
资组合协方差为0的投资来增持股票，该股
票在投资组合中权数发生微小变化时，该
投资组合收益率方差的变化与该股票与投
资组合的收益率的协方差成比例。
证明：见P120
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2.两种影响
• 若股票收益率与投资组合收益率正相关，则增持
股票将加大投资组合的方差。
• 若股票收益率与投资组合收益率负相关，则增持
股票将减小投资组合的方差。
3.边际方差结论的几种数字说明（P121）
• 通过减少无风险资产的仓位或卖空的融资方式增
持股票，即结论所描述情况。
• 通过减少一种风险资产的仓位或卖空的融资方式
增持股票，边际方差与这两种股票各自与投资组
合收益率协方差的差成比例 → 结论
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• 结论
当股票A与股票B各自的收益率与投资组合
收益率只之间的协方差之差为正时，略微
增加股票A的持有量并减持相应金额的股票
B，会提高投资组合的收益率的方差。当二
者之差为负时，这种调整会减少投资组合
收益率的方差。（例）
• 说明：当投资组合进行很小但不是无限小
的调整时股票收益率的方差会影响投资组
合的方差。
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求最小方差投资组合
1.最小方差投资组合的特征-----结论
最小方差投资组合的收益率与其中每一种
股票的收益率的协方差都相等。
2.调整投资组合至最小方差投资组合的步骤
（见P123）。
3.求两种股票的最小方差投资组合（例）
4.求多种股票的最小方差投资组合（例）
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