第 3卷 第 1期
】999年 3月
电 机 与 控 制 学 报
ELECTRIC M 4~CHINES AND CONTROL
VOl 3
M ar
N O 1
l999
有限差分法的一种边界处理方法
凌跃胜 ，醚
(1河北工业大学电气工程与百动记系，天南
垫一z：陈子痛 ，颜威利 弋¨ f j l 1 f 。f、j
3o0130：2保定天威集团大型变压器公司，河北保定0710％) ／
摘 要：针对有限差分 法在使 用 q-的 一些缺点，提 出了一些有效的改进措施 ，并进行 了必要 的
膺式推导，得到 了相应的4kq-应用数值 计算的结果，使原来缟程难 以处理 的边界 线和 内部媒
质分界线有 了较方便的处理方法，这将使有限差分法在工莓计算和科学研究中发挥更大的作用，
关键词：在 墨坌鸯， ； 墨 鸯畦 簟 ＼专甫、
中图分类号：O241．3 文献标识码：A 文章编号：10cI7~449x(1999)0"1一ool8—04
A new method of boundary treatment in
finite difference method
LING Yue—sheng， ZHANG Xiong， C皿 N Zi—tong， YAN W ej lj
(1 Hebei University of Technology，Tianjin 300130，China；2 Baoding
Large Power Transfo rmer Company Baoding 071000 China)
Abstract：In this paper．aiming at disadvantages of the Finite Difference M ethod a new meth一
0d of dealing the boundary
．
is introduced．By deducing the necessary expressions、the useful
results are gained that can be used conveniently Since being easy to deal with interface and
boundary of the solving region the new way makes the FDM become useful again in the
engineering calculation and research．
Key words：finite difference method；clectro—magnetic field；boundary treatment
1 引 言
有限差分法的应用 已有相 当长的历史，早在
5O～60年代，就应用到电机 电磁场数值计算 中来
了，如 Erdelyif1963)用差分法计算二 维磁场，并考
虑了磁场的非线性。一般情况下有限差分法是从微
分方程出发，将求解区域经过离散处理后，近似地
用差分 差商代替微分、微商，这样微分方程和边
界条件的求解就可0j结为求解一线性代数方程组，
从衙得到数值解 建立差分方程时，可以用泰勒级
数、积分法，也可以使用变分法
尽管有限差分法具有比较直观 公式和计算程
序不太复杂、网格划分 简单、准备 数据省 时等优
点，但遇到如边界线和内部媒质分界线形状较复杂、
有二类边界，以及场域内场 的分布变化较大等情
况，就难以适应，使用不便。正困有此缺 点，有限
差分法在现代工程计算和科学研究中几乎被对边界
适应能力较强、网格划分较灵 活的有 限元 法所代
替．对无界问题，则被积分方 程法、边界积分力程
法 (边界元法)等代替。近年来有 关用有 限差 分 法
求解电磁场数值解的文章不多。
本文针对有限差分法的缺点，提 出一些改进措
施，赋予有限差分法新的生命，让它在工程计算和
科学研究中发挥更大作用
2 改善有限差分法对边界的处理
2．1 二维情况下有限差分法的改进
有限差分法处理二类边界和内部边界时，要用
积分方法，即使用磁通连续 tCSg-~} ·ds：0干¨安
．
J ^
培环路定理．{l ·d，=∑』去求对应的差分方程。由
于边界形状各异，不好使用统一的差分格式、为此
峻稿 R期 l998—12一
作者简介：凌蛙胜(1962一)，男，现任河北工业太学电机教研室王任． 教授．研宄领域曲电机电磁蝎 计算机控制等
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第 】期 有限差分法的一种边界处理方法 19
传统的有限差分法是事先准备好很多特殊的差分
方程，然后根据需要选择使用。这样使用是不方便
的，因此使用一种统一的差分格式来代替，使 问题
得以方便解决
2 1 1 内部边界 的统一差分格式
内部边 界上 的 节点， 它 与它 四边 的 节点 (多 于
四点也可同样处理)可以构成一些三角形单元(如图 1
所 )。使用统一的积分表达式
口罢dl=-j J fdxdy ⋯
式中 ?闭合 曲线为 12341；S闭合 曲线 为所围面。
“
U●
圈 1 内 部 可 点 口与周 围节 点的 系
F 1 Interal node and surrounding nodes
以往使用差分代替 现用如下方 法实现，
即每个三角形现构造插值函数 再用其函数的方向导
数代替实际的 (图2) 最简单的插值函数是
“ = 1+ 2 + 3
式中 玄 ( “m)
z 去(b u+bju~+b．u．)
9：3 去 ( c m)
其中：口、b，c为常数；△为单元面积 。利用
f 鲁 f (罢dy+号㈣·式(1】可写为
p(罟dy+ dx)一J ，dxdy (2)
式(2)左边=l卢】(z2】dx+a31d +l卢2( 22d + 32d )+
J1 2 J 23
l卢3( 2)dx+z]3dy)+l卢4( “dx+ 4dy)
J J_I
若 口在每条边均为常数，则有
』 dx ㈣=一告 +国
(bob 2 4-coc：)“2+(白0b 1+coc )“1】
其他几项可 以推出相同形式的表达式 (与有限元法
形成的节点表达式的左边相差一常数)， 式(2)最终
可表述成
+ lUl+ 2^14 2+ +k 一 ，!△ (3)
式中 一丢( 一去( 一
去( 瓯一去( 国
一 去(bobl+cocl 一去(bobl+coc!)4I
k 2= -去(b ：+coc2)-厂去(b。b c1)
b：一去(b ob~+coQ 一去(6 3+C0C3
一 去(6ob,,+Co 一去(b~b,+coc,
若有 L个节点与 0号节点相关联，则对应的通式为
一 去( 2。t,i+l--去 啪
kl= -告(6 I+CoC1)_ 一去(b obt+CoCt
一 (bob,+coc,k．．．一去(bob,+coc, ，+
1<i<1
一
一 岳(b ob,,+cog)
2．1 2 二类边界上 的统一差分格式
用前 而的青法 ．同样可 以律 立二 娄边 界 ￡的节
y^ 点差分方程。如图3 式(1)的左边为
／＼ 左边 詈叭 叭
图 2 三角单元
Fig．2 T血 n glllar element
』 鲁a ㈣
对于 12和 23两段的积分结果于前面情况一样，而30
和 01两段积分完后可移到等式的右边，最后可写
出点 0的差分方程，如下式所示
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20 电 机 与 控 制 学 报 第 3卷
+k “ +k：“2=～I fdxdy—l q 2dl—l qldl
J J 0 J
上述构造差分方程的方法同样可以构造 内部节点的
差分方程
2
图 3 边界点 0关联关系图
fig．3 Connection of node 0 and other nodes
2．2 三维情况下有限差分法的改进
三维情况下，主要讨论内部边界点的差分方程
处理方法，对于二类边界可以仿照二维时的方法进
行 由于三维问题无法找到 同时 可 以适应 于标 量位
和矢量位 A的统～差分形式．为此需要分别加
以考虑 ，
2．2l 用标量住 求解
用 求解一般用于 无旋场中，此时磁通连续
性定理(I)B·ds=0仍可用来构造内部边界点的差分
方程 如图 4所示，节点 O有 6个节点在其四周，
这 6个节点围成一个八面体，对此使用 串B·ds=0
可求的关于 O节点的差分方程。
将式 Ⅳ：一v 代人 B·ds=0可得下式
J
(V )‘ds=0 (5)
J
写成标量形式 为
鲁州=+鲁a：a-x+鲁捌炉0(6)
四面体 的线性插值 函数可写为
=d+bx十cy+dz (7)
’
3
图 4 八个面与节点 0构成八个三角形面
Fig．4 Fjghtfaces and nod e0 coaslirate eight啊 a gIl1arfaces
代人式 (6)可得式
占~(bdydz+c~zdx+ddxdy)=0 (8)
J
将八个面分别 用式 (8)积 分，然 后合并 后可 得 0
节点的差分方程
ko 0+ 1 1+k2 2+ 3 3+
k。 4+ 5 5+k 6 6=0 (9)
式中 。 (q + +s；)．
击 ( rf+ _jJ
． 5, fi告(qoq~．+ror2+sos2)
k：熹去(q Gq 6 q-rnr6+SG86)．
每个单元有 P ，P ，P ．P (图 5)，其 中
l M y M【 ； YK
l
I
l-1
y
儿
l x Y
PL=l x"
。x -^ YN
1 1 y
g v= I Y
l I L
l 1
q E：l 1
I 1 yⅣ
K l
r 【xN 1
l 1
图 5 四面体单元
Fig．5 Tehedral dement
●
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第 1期 有限差分 法的一种边界处理 方法 2l
一
xL
yM J
Y 1
YL 1
Y 1
y 1
YL 1
1
1 ：K
1 ： f
1 ：
Y 1
YⅣ 1
YL 1
Y 1
y 1
YN 1
l9j例 用 雨 限 兀 在 0节 点 处 构 适 的方 程 一 教 。
2 2 2 用 矢量位 A泉 t,t
坩矢 量 位 A 求解 时 ． 内部 边 界点 和二 类边 界
点的．~／D-方程不能直接使用安培环路定理，但可使
用下面t1．0方法构造。在求解区域中有电流时才用矢
量位 因此此时是有旋场．定义 =V×A可得方程
V vV× =J (10)
按图4所围的体积对式(10)两边求体积分j (V×
vV× 4Ⅺ =f Jd 将旋度体积分公式用于上式可得
扎( 咄一J一胁 (
姆 =4 f+4 j十A：^ 的 旋度 VxA=( 一
+( g
z 百0,4 z州鲁 一 州 x V
dzd 十dxdyk的 叉积
(V 咄= 百gA x一等 (盟gx一
d洲 Ox一
( 一等 md 』+ 一
(单 一～单 一)d d：1 (12)
0： 0X
代人式 (】1)、可得下 面 3个方程
一
gx )dxd 鲁 一 m叫=
一 f d (13) J
鲁 一鲁 c 一 Oz =
(14)
导 一 脚州 一鲁
一 1 dv (1 5
使用图4可求出式(13)～式(15)的差分方程 如
体 0123(四面体 )面 123的式 (13)的积分形式为
( 一百OA,)dxdy 等
一 1 dv (1 6)
若每个四面体单元都使用线性插值 函数 ．其形 函
数为
～ 1 (p q
．
x+ ， +
．=)，。=O，1，2，3)(17)
再将
g A 毫 1 s 毫专 ，
盟Ox =毫专 =毫 1
代人式 (16)，得
(奎 1 一熹 1 sD卜
1
q ．一熹 1 叫=一 ～
将所有的面都计算完后相加，可求出关于节点 0
的差分方程(与四边节点的关联)。如果被求点 0是
非一类 边界 上 的点，要分 别处 理。若边 界 满足
Hx =0，可直接使 用前面的方法求 若是满足条
件 ( )·A=0的边界点，需对上述方法略加修
改后才能使用。
3 结 论
有限差分法对边界规整的、单媒质的区域求解
是很方便的，尤其表现在差分方程形成和网格划分
方面。改进后的有限差分法．可适用于任意形状的
多媒质 区域，而且可发挥有限差分法原有的特点；
这是因为复杂的区域总可分解为部分规则和部分不
规则，对规则部分仍可适用传统的有限差分法。
参考文献：
I【l 汤蕴瑶 电机内电谌场 (第二版tIMI．北京 科学出版社．1998
卫l 陈王璋．严烈通．姚若萍 电机电磁坜理论 与计算 北京：科
学 出版社 1986
【3l 胡之光 ．电机电磁场的分析与计算口订】． 晾 ：机械工业出癌 ±．1982
Hl 盂庆龙．颜成刊 电器数值分析口 】，1993．
M L X
=
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