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先后次序的施塔贝格
竞争均衡与纳什均衡的比较
刘艳春!，"，高立群!
（ ! 东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 !!###$；" 辽宁大学 数学系，辽宁 沈阳 !!##%&）
摘要：具有产品差异的两企业，在仅进行一轮的产品定价策略博弈中，先后次序的施塔贝
格竞争均衡与纳什均衡的结果是企业双方都具有较高的均衡价格和正的均衡利润。在伯川
德 ’ 施塔贝格市场竞争均衡下，追随企业具有后发制人的优势，能获得比领先企业更高的利
润，并且两企业的利润都高于伯川德 ’ 纳什均衡利润。但在多轮博弈的模型中伯川德 ’ 施塔
贝格均衡点并不稳定，最终会趋向于伯川德 ’ 纳什均衡点。
关键词：寡头垄断；产品差异；博弈构式；纳什均衡；施塔贝格均衡
中图分类号：(""$) %" 文献标识码：* 文章编号：!&+" ’ #%%$（"##$）#, ’ ##"& ’ #,
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U 收稿日期："##$ ’ #& ’ #&
U 基金项目：辽宁省自然科学基金资助项目（VW!#"##,）
U 作者简介：刘艳春（ !V&$ ’ ），女，辽宁沈阳人，东北大学信息科学与工程学院博士研究生，辽宁大学副教授，研究方向：计
量经济理论及应用等。
第 !+ 卷第 , 期
" # # $ 年 !# 月
管U 理U 科U 学
M*F*7DMDFS ;; .F *
Y<=) !+ F<) ,
84A<OB?，" # # $
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!! 引言
双寡头垄断市场中，著名的“伯川德（ "#$%$&’(）
悖论”是：“假设只有两家企业，生产的产品是同质
的，若企业的竞争战略是价格而不是产量，在均衡情
况下，价格等于边际成本，企业的利润为零。”［)］这一
结果与双寡头垄断相矛盾，解开这个悖论的方法之
一是引入产品的差异性。产品差异性是指企业向市
场供应的同类产品和服务项目存在着等质的区别，
即生产者通过选择不同的产品定位或不同的产品品
牌等向市场提供异质的产品。［*，+］这一研究的大部分
文献是围绕着两个经典模型展开的，一是 ,-%#../’0 提
出的线段模型和 1&.-2 提出的圆形市场模型，［3，4］另
一个是有关纵向差异化与质量竞争的 5/6/% 7 1%/0./%8
以及 12#’9# 提出的模型。［:，;］,-%#../’0 模型经常用于
竞争企业在市场中的选址、定价分析。( <=>2$#?-’% @
和 AB/>># C 等人讨论了企业最优选址问题以及均衡
存在的条件。［D］,&$%#$ C E F 建立了一个消费者偏好
分布不确定的 ,-%#../’0 模型，［G］最终的结论仍然是使
产品差异最大化，以规避激烈的价格竞争。顾锋等
人讨论了存在消费者购买选择情况下的企业选址、
定价问题。［)H］A&I&%->B/ 等人研究了消费者分布密度
函数为三角折线形式，最后得到了两个不对称的均
衡点。［))］这些讨论都是对原有模型中消费者不存在
购买选择问题和消费者均匀地分布在 ,-%#../’0 线段
上这一假设的拓展，以上都是假设所有企业同时进
入。J$#>9-%% 等人考虑到企业的进入顺序，研究了在
一个线性城市里各企业顺序选址的决策问题。［)*］
在一般的商业竞争中，由于企业进入的顺序不
同，各企业的利润都不相同。例如不同超市对同种
商品的定价问题、企业在工程项目招投标的报价问
题等。考虑到企业进入顺序的不同并对其均衡结果
进行比较分析是有意义的，本文在 ,-%#../’0 线段模型
的基础上，首先讨论了异质产品的价格竞争中双寡
头企业仅进行一轮产品定价策略博弈，先后次序的
施塔贝格（ 1%&9I#.K#$0）竞争均衡与纳什（ L&>B）均衡
的结果，然后进行了静态比较分析，并指出了在重复
动态博弈中先后次序的施塔贝格竞争均衡不具有稳
定性。
"! #$%&’’()* 模型与纳什均衡
"M !! #$%&’’()* 模型假设
假设企业确定产品的生产品牌和消费区域，这种
市场的“活动空间”可用一个长度为 ) 的 ,-%#../’0 线
段表示。市场上两家企业产品的差异化系数 !) 和 !*
代表产品的“位值”，分别用 "和) # $表示，其中H" "
" ) # $" )，并且假设：
（)）商家是理性的，市场上每一企业只能提供一
种品牌的产品，并只在一个消费区域内销售产品，所
以企业的市场位置惟一。
（*）两家企业在连续生产条件下产品边际成本
和固定成本不变且保持相等（%) & %* & %）。
（+）消费者均匀地分布在线段之上，并且为讨论
方便，设消费者有单位需求。
（3）市场上某一消费者的消费偏好为 ’（H " ’ "
)）。消费者到企业 ) 的市场位置 !) 的间距为 ( ’ # " (，
到企业 * 的市场位置 !* 的间距为 ( ’ #（) # $）(。产品
差异化使消费者产生的额外支出或费用（移动成本）
用二次方程表示为
))（’）& *（’ # "）
*
)*（’）& *［’ #（) # $）］
* & *（’ # ) + $）*
（)）
其中，))（’）、)*（’）为消费者到企业 ) 和企业 * 的移
动成本；* 为移动成本率或产品差异化率。* 值越大，
消费者的产品消费偏好与企业供给的产品特征相差
就越大，当 * & H 时，消费者对产品不存在消费偏好上
的差别，即 ) 值为 H。
"M "! 同时条件下的市场定位与价格竞争的博弈构式
在 ,-%#../’0 线段模型中，企业的价格策略容易变
动，属于短期市场行为，而产品差异化的市场定位则
属于企业的长期市场行为。若在双寡头的市场竞争
中，两家企业首先对产品差异化定位策略同时决定，
然后对产品的价格竞争策略同时决定，则同时条件
下的市场定位与价格竞争的博弈构式如图 )。
图 ! + 同时条件市场定位与
同时条件价格竞争的博弈构式
若,)、,* 分别为两家企业所生产的某种品牌的价格；-
为每个消费者消费该商品所获得的剩余，则位于 ’点
的消费者实际效用分别为
.) & - # ,) # *（’ # "）
*
.* & - # ,* # *［’ #（) # $）］
*
（*）
若消费者从任一企业购买产品所获得的实际效
用无差异（.) & .*），即
’#（,)，,*，!)，!*）&
" + ) # $
* +
,* # ,)
**（) # $ # "）
& !
#
+
,* # ,)
**!!
（+）
其中，!) & "，!* & ) # $，!
#
&
!) + !*
* ，!! & !* # !)。
则两企业需求函数（/)，/*）为
企业 )
/)（,)，,*，!)，!*）& 0’#（,)，,*，!)，!*）
& !
#
+
,* # ,)
**!!
（3）
;*第 4 期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 先后次序的施塔贝格竞争均衡与纳什均衡的比较
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
企业 !
!!（""，"!，#"，#!）$ %［" & ’#（""，"!，#"，#!）］
$ " & #
&
&
"! & ""
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（#）
利润函数（""，"!）为
企业 "
""（""，"!，#"，#!）$（"" & )）!"（""，"!，#"，#!）
$（"" & )）（#
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*
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$（"! & )）（" & #
&
&
"! & ""
!(!#
）（%）
!+ "& 同时条件下的价格竞争（第二阶段）
在产品竞争的第二阶段，产品的市场位置已确定
不变，市场的需求主要取决于产品的价格，企业的价
格政策要保证获得最大的销售利润。所以，同时竞争
条件下的市场均衡为企业价格应变函数的交点。
（"）若两家企业同一质量的产品实现了最大程
度的差异化，即两家企业分设在线段的两个端点（#"
$ ’，#! $ "）。由利润最大化条件"
,%
- $ ()*"-
"-（""，"!，
#"，#!）得
+,-.-)/0 1 2)34 均衡价格 & & ",%" $ "
,%
! $ ) * ( （5）
+,-.-)/0 1 2)34 均衡产量 & & !,%" $ !
,%
! $
"
! （6）
+,-.-)/0 1 2)34 均衡利润 & & ",%" $ "
,%
! $
(
! （"’）
（!）若两家企业的产品完全没有差异，即两家企
业位于 78.,99:/; 线段的同一位置，则
&
!"（""，"!，#"，#!）$
"& & "" . "!
’& & "" / "
{
!
!!（""，"!，#"，#!）$
"& & "" / "!
’& & "" . "
{
!
（""）
双方价格竞争的最终结果只能是
& & & &
",%" $ "
,%
! $ )
",%" $ "
,%
! $ ’
（"!）
（<）一般情况，企业 " 位于#" $ 0$ ’ 的位置上，
企业 ! 位于#! $ " & 1（1 / ’）位置上，且" & 1$ 0，则
由利润最大化条件",%- $ ()*"-
"-（""，"!，#"，#!）得价格
应变函数为
& & & &
"2"（"!）$
"! * ) * !(#
&
!#
!
"2!（""）$
"" * ) * !(（" & #
&
）!#
!
（"<）
其应变数的交点为 +,-.-)/0 1 2)34 均衡点（如图
!），其均衡价格、产量和利润为
+,-.-)/0 1 2)34 均衡价格
& & & &
",%" $ ) *
!
< (（" * #
&
）!#
",%! $ ) *
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< (（! & #
&
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（"=）
+,-.-)/0 1 2)34 均衡产量
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!
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",%" $
!
6 (（" * #
&
）!!#$ ’
",%! $
!
6 (（! & #
&
）!!#$ ’
（"$）
!> #& 同时条件下的定位竞争（第一阶段）
由!> < 的一般情况可知，若市场处于 +,-.-)/0 1
2)34 均衡状态时，企业的利润是市场位值（#"，#!）和
移动成本 ( 的函数。我们对两企业的利润函数求导得
&
%",%"
%#"
$ & ("5（! * #" * #!）（! * <#" & #!）
%",%!
%#!
$ ("5（= & #" & #!）（= * #" & <#!）
（"%）
图 !$ 同时条件 %&’(’)*+ , -)./均衡与先后条件 %&’(’)*+ , 0()12&34&’均衡比较
5! 管理科学& & & & & & & & & & & & & & & & & & !’’=年 "’ 月
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又因为! " !" " !# ""，所以
%!"#"
%!"
$ !，
%!"##
%!#
% !，
即企业 " 和企业 # 的利润函数分别是位值!"、!# 的单
调递减和递增函数，由此得出产品市场位值的纳什
均衡为!" & !，!# & "。
在纳什均衡条件下，两家企业的产品价格、产量
和市场利润与 #$ % 的（"）相同，即两家企业平分市
场，所获得的利润取决于移动成本的大小。
!& 先后条件下 "#$%$&’( ’ )%&*+#,-#$ 价格竞争的市
场均衡
若两家企业同时决定产品的市场定位策略，接
着先后决定产品的价格策略，则先后条件下双寡头
企业价格竞争与产品差异化定位策略的博弈构式如
图 %。
图 ! . 同时条件市场定位与
先后条件价格竞争的博弈构式
由于企业在确定产品市场位置时一定要考虑产
品价格竞争的结果，所以在分析市场博弈的前后顺
序时我们将采用“由后往前推”的方式，首先求出第
二、三阶段市场价格竞争的 ()*+,-./-01 均衡解，再求
出第一阶段的企业产品差异化定位的策略解。
!$ /& 先后条件下的价格竞争（第二、三阶段）
在异质产品的 ()*+,-./-01 价格竞争中，如图 %，企
业 # 为 ()*+,-./-01 竞争的追随者，则在第三阶段企业
# 的反应函数’(#（’"）由
%!#
%’#
& ! 解出
’(#（’"）&
’" ) * ) #+（" , !
,
）"!
# （"2）
在第二阶段企业 " 作为 ()*+,-./-01 价格竞争的
领先者，在计算其市场的最大利润时会考虑企业 #
将服从它的市场定价，将企业 # 的反应函数代入企
业 " 的利润函数中，即将（"2）式代入（3）式中得
& !"（’"，’#，!"，!#）&（’" , *）（!
,
)
’# , ’"
#+"!
）
& & & &（’" , *）（
, ’" ) * ) #+（" ) !
,
）"!
4+"!
） （"5）
我们对（"5）式求导得企业 " 的降阶利润函数为
%!"
%’"
&
, ’" ) * ) +（" ) !
,
）"!
#+"!
& !，则企业 " 的最优市
场均衡（ 6-0)0*78 ’ ()*+,-./-01 均衡）价格为（如图 #）
’"-" & * ) +（" ) !
,
）"! （#!）
所以由式（#!）减式（"4）得
’"-" , ’
"#
" &
"
% +（" ) !
,
）"!
即 ’"#" $ ’
"-
"
在市场均衡条件下，领先者企业 " 在追随者企
业 # 的最优反应曲线上选择一点作为产品的价格，
然后将领先者企业 " 的最优价格代入追随者企业 #
的最优反应函数中，得出企业 # 的均衡（ 6-0)0*78 ’
()*+,-./-01 均衡）价格为
& & ’"-#（’
"-
" ）&
’"-" ) * ) #+（" , !
,
）"!
#
& #* ) +（% , !
,
）"!
# （#"）
所以由式（#"）减式（"4）得
’"-# , ’
"#
# &
"
3 +（" ) !
,
）"!
即 ’"## $ ’
"-
#
由以上分析，在 6-0)0*78 ’ ()*+,-./-01 市场均衡条
件下，领先者企业 " 与追随者企业 # 的均衡产量与
均衡利润分别为
企业 "
&
."-" & !
,
)
’"-# , ’
"-
"
#+"!
& "4（" ) !
,
）
!"-" &（’
"-
" , *）·.
"-
" &
"
4 +（" ) !
,
）#"!$ !
（##）
企业 #
&
."-# & " , .
"-
" &
"
4（% , !
,
）
!"-# &（’
"-
# , *）·.
"-
# &
"
2 +（% , !
,
）#"!$ !
（#%）
由式（##）减式（"3）和式（#%）减式（"9）得
& !"-" , !
"#
" &
"
4 +（" ) !
,
）#"! , #5 +（" ) !
,
）#"!
& "%3 +（" ) !
,
）#"!$ !
& !"-# , !
"#
# &
"
2 +（% , !
,
）#"! , #5 +（# , !
,
）#"!
& ": ) %!
,
) :!
,
（" , !
,
）
:# +"!$ ! （#4）
在 6-0)0*78 ’ ()*+,-./-01 异质产品的价格竞争中，
价格追随者企业 # 对竞争对手提高价格的反应也是
提高产品的价格，所以先后条件 6-0)0*78 ’ ()*+,-./-01
均衡下两企业所获得的利润要高于同时条件 6-0;
)0*78 ’ <*=> 均衡下的利润水平。而又因为
’"-" , ’
"#
" &
"
% +（" ) !
,
）"!$ "3 +（" ) !
,
）"! & ’"-# , ’
"#
#
所以先后条件下追随者企业 # 的产品价格虽有
5#第 9 期& & & & & & & & & & & & 先后次序的施塔贝格竞争均衡与纳什均衡的比较
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所提高，但提高的幅度要比企业 ! 小。
!! "" 同时条件下的定位竞争（第一阶段）
我们对两企业的利润函数求导得
%!"#!
%$!
% & ’!#（$ ( $! ( $$）（$ ( %$! & $$）" &
%!"#$
%$$
% ’%$（# & $! & $$）（# & %$! ( $$）$ &
（$’）
与$! ( 相同，即企业 ! 和企业 $ 的利润函数分别是位
值$!、$$ 的单调递减和递增函数，由此得出产品市场
位值的纳什均衡为$! % &，$$ % !。
在施塔贝格均衡条件下，两家企业的产品价格、
产量和市场利润分别为
)*+,+-./ 0 1,-23*45*+6 均衡价格
"
)"#! % * (
%
$ ’
)"#$ % * (
’
( ’
（$#）
)*+,+-./ 0 1,-23*45*+6 均衡产量
"
+"#! %
%
7
+"#$ %
’
7
（$8）
)*+,+-./ 0 1,-23*45*+6 均衡利润
"
!"#! %
9
!# ’
!"#$ %
$’
%$ ’
（$7）
" "
)"#! % * (
%
$ ’ , * ( ’ % )
"-
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)"#$ % * (
’
( ’ , * ( ’ % )
"-
$
（$9）
" "
!"#! %
9
!# ’ ,
!
$ ’ % !
"-
!
!"#$ %
$’
%$ ’ ,
!
$ ’ % !
"-
$
（%&）
在施塔贝格均衡条件下，追随者企业 $ 的价格
低于领先者企业 !，追随者企业 $ 的产量和利润都高
于领先者企业 !。所以追随者企业 $ 具有后发制人
的优势。
#" 结论
综上可知，在一轮动态博弈中 )*+,+-./ 0 1,-23*4:
5*+6 均衡条件下，企业 ! 与企业 $ 的产品价格都要
高于 )*+,+-./ 0 ;-<= 均衡价格，但与企业 ! 相比，企
业 $ 的价格提高幅度要小得多。而且在 )*+,+-./ 0
1,-23*45*+6 均衡条件下，企业 ! 和企业 $ 的利润都高
于 )*+,+-./ 0 ;-<= 均衡利润。
若允许两家企业进行重复价格竞争，那么企业 $
就未必始终保持追随者后发制人的优势。因为在一
轮竞争中追随者企业 $ 的价格低于领先者企业 ! 的
价格，并且一轮竞争中追随者企业 $ 的利润高于领
先者企业 !。但是从长期来看，)*+,+-./ 0 1,-23*45*+6
均衡点并不稳定，因为只要企业 ! 也随之降价，则企
业 $ 的利润将会降低。这样在多轮价格博弈中，均
衡点总向 )*+,+-./ 0 ;-<= 均衡点靠近，但是在一个持
续的重复博弈中，只要一家企业采取主动的价格变
动，产品的价格就应该比 )*+,+-./ 0 ;-<= 均衡价格
高。模型的结论使我们容易理解在激烈竞争的中国
家电市场中，不同厂家都有自己的主打品牌，目的是
最大差异自己与同类商家的产品，同时由于厂家进
入市场的顺序不同，厂家所获得的利润也不尽相同。
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