西安工程大学学报Journal of Xi’an Polytechnic University 第26卷第5期(总117期〉2012年10月,No. 5(Sum. ) 文章编号:1674-649X(2012)05-0667-05 有交易费用和红利的美式期权的紧差分逼近李建辉，贺兴时，杨睿通(西安工程大学理学院，陕西西安710048)摘要:基于Black-Scholes期叔是价方程，建立带有交易费用和支付红利的美式期机定价模型，并采用紧差分方法给出了该模型的求解算法.进一步通过具体实例，利用Matlab分别计算出期权处于多头、空头反元支易费用时的价格，最后将计算结果做了比较.关键词:美式期杠F支易费用s紧差分远近中固分类号:0211文献标识码:AO引言期权作为重要的金融衍生证券之一，具有良好的规避风险的功能，在风险管理和投资理财等方面起着重要的作用.随着全球经济和金融市场的迅速发展，其重要性日益剧增.期权按照合约中有关实施的条款可分为欧式期权与美式期权等，只能在到期日交易的期权称之为欧式期权，能在到期日之前的任何时刻(包括到期日〉执行的期权称之为美式期权.众所周知，期权的定价是期权交易的核心问题.著名的BlackScholes模型CB-S模型〉是第一个完整的期权定价模型，它给出了欧式期权的解析定价公式，成功地解决了欧式期权的定价问题.然而对于美式期权，到目前为止，还没得到精确的解析定价公式.从数学的角度来看，美式期权定价是一个抛物型的自由边界问题，很难求得解析解，目前只能通过蒙特卡洛模拟方法、二叉树方法及有限差分法等数值方法逼近.文献[1-4J在市场完备即无交易费用的假设下，分别做了美式期权价格的两种差分格式及其比较，有红利的美式看跌期权定价的Crank-Nicolson有限差分法，美式看跌期权的隐差分方法，欧式美式期权的有限差分法.然而在现实市场上交易的期权大多带有交易费用.文献[5J在Leland的带交易费用的欧式期权定价模型的基础上，推导出一般费用模型的定价公式.本文考虑带有交易费用且支付红利的美式期权定价问题，采用紧差分方法求解，同时归纳出紧差分方法的计算步骤，给出了数值算例，并借助于Matlab得到了期权价格的数值解.1 美式期权定价模型 基本假设(1)市场上有且只有2种资产z一种是元风险资产S?满足价格过程d5~= r(t)5~dt;另外一种是风险资产，其价格5，满足随机微分方程d5，= 5，(μ(t) -—(t))d t十Sρ(t)dB，，其中r(t),—Ct)， σ(t)和B，分别表示无风险利息率，红利率，标的资产的期望收益率，波动率和标准布朗运动p收稿日期:2012-04-26 基金项目:陕西省教育厅专项基金项目(2011JK0188,2012JK07 44) 通讯作者:贺兴时0960-)，男，陕西省富平县人，西安工程大学教授.@
668 西安-工程大学学报第26卷(2)风险中性定价原则，即标的资产的期望收益率μ(t)= r(t); (3)标的资产无限可分，即投资者可以买卖任意数量的证券;(4)允许卖空，即投资者在没有资产时也可以出售证券;(5)无套利定价原则，即市场上不存在套利机会;(6)市场交易有摩擦，即存在交易费用和税收. 模型的建立设V(S"。为t时刻期权的价格，在Black-Scholes期权定价方程的基础上，考虑交易费用和红利，得到偏微分方程[6]2θV I r_J.’\ r./.’\’\Ca V I 1 r-r.’\ 2c2 av 一+(r(t) -D(t))S一十一〔σ(oJ2S一τ-r(t)V = 0, (1) θt z -,-" -aS . 2 <--,-’... -as其中;(0对于同一个期权的多头和空头是不同的.在多头时;(0= J if (t) -2k(t)u .j2穴否了，空头时;(t)= .ji f (t) + 2k(t)σd穴TC(Jt;了，其中k(t)和(Jt;分别表示交易费用的比例因子和交易频率.设T，K，和S.(t)分别表示期权在t时刻的价格，到期日，执行价格和最佳执行边界.美式期权定价问题就是一个抛物型方程的自由边界问题.这个自由边界是待定的，区域(0，∞)X (0, TJ被分成2个部分:一个继续持有区域41= (S. (t)，∞) X (O，TJ，另一个是终止区域42= (O,S. (t)) X (0, TJ.求出最佳执行边界后，在区域41中寻找一组函数(V(S，,t) ，S，)满足式(1)，并且具有终值条件V(S, T) = max{K -S,O} ,S ε(0 ,S’ (T)), 其中最优执行边界S'(t)在到期日的值为S'(T) = max{K, (r(T)/D(T) )K}，同时在最优执行边界上有V(S. (t) ,t) = K -S’ (t) ,avcs’ (t) ，0/θS =-l，tε(0， TJ, 以及边界条件limV(S，t)= 0, limV(O,t) = Kexp(一(T-t)r(t)). 5-+国5-+0+综合以上，对美式看跌期权的价格V(S，。有2(vgV1~zzw 一+(r(t) -D(t)) S一十一[;;(t)JS2~，一-r(t)V = 0, (S，。ε41'as ’ 2 -J ~ aS2 V(S,t) = max{K -S,O}, (S，t)ε42. 即为带有交易费用和支付红利的美式期权定价模型，对其采用紧差分方法求解.2 基于改进的B-S模型的紧差分方法为了用紧差分方法求解带有交易费用和支付红利的B-S期权定价方程，给出紧差分公式[6]2(12/h)(!H -2!k + !k+1) = /’H + 10/’k + /'酬(2)其中!. = !(x雹)，/'.= /’(x),i = k-1，k，k十1.利用变换公式[ητ= (1/2)曰(t)]2(T-t)，(3) x = In(S/K)十(k-1计(4)2X幡=In(S. /K) + (k-1)., (5) 2 u(x,r) = (exp(kr)/K)(V(S,t) ,S -K), (6) 1 对美式看跌期权来说，其中k= 2r(t) /[;(t) J2 ，也=2[r(t) -D(t) J/[;(t) J2 .通过变换，期权价格方程(1)1将变成风=(7) u= + g(x,r), X.(r)<x<十∞，0<τ<(T/2) [;(t)]2 ,g(x,r) = exp付lr)((k-k)exp(x一(k-1)τ) -k).并且1221满足初始条件和边界条件z u(x,O) = max{e(8) -1,0}, X. (0) = min{O,ln(r(O)/D(O))}, (9) u(X. (r) ,r) = O,uz(X. (r) ,r) = O. (10)
第5期有交易费用和红利的美式期权的紧差分逼近669 lim u(x.,) = exp(k，)(exp(x一(k1><)-1). (1) 12一r叶∞由于美式期权的价格V()~ max{K }.S > > ε(0. TJ.所以u(x.τ) ~ (exp(k，)/K)max{exp(x一(k-1)，)}.(2) 12为了解决上述问题，采用文献[8J选定的参数范围zε[-2.+2J.应用紧差分方法求解美式期权的定价问题，只需将参数Z的取值离散化，即Xj= ih-2且Uj= u(x).i = .….(N+1).则Xo=-2及Z阳= 2.因此，可以得到以，)关于Z的二阶导数满足2ctf’1 (τ) + U"2 (τ) = 0/ 02h)) [OOc。一1)uo(，)一(15co-1)U1 (,) -2(2co + 15)u2 (,) + o2(7co +8)U3(')一(6co+ 1)向(，)十coUs(，汀(13)其中参数Co= 5 + = .参见文献[8J.对u(τ)运用差分式(2)得到2tf’i -l (τ;-1) + 10tf'j衍;)十un仲1(τ仲1)= (12/h)[Ui-l (τ←1) -2Uj(’;) +u叶1('仲1汀，其中i = .….N-1时式(12)成立，当i=N时，有2u" N-1 (’N-1) + 10tf’N (’N) = (1/(2h)) [10uN-4 (’N-4) -61uN-3 (’N-3) + 15uN-2 ('N-2)一70UN-1 (’N-1) -134uN(’N) + 99u肿1('肝1汀，先将式(11)--(13)写成矩阵形式AU" = MU+H. (14) 其中tf’1 (τ2) Co 1 0 o 1 f 1 10 1 u飞('3) A= 10 O .U"= l 10 1 lJ#1b O O 1 10 u飞('N)1-15co 2(2co + 15) 2(7co + 8) 6co + 1 Co O O 144 144 144 144 144 1 1 一2O O O M=一12 O 1 -2 1 O 2 hO O O 1 一21 10 一16156 一70-134 O O 144 144 144 144 144 H = _ _1_τ((10co -1)uo(,).O. .+1 (τ〉户.U= (U1 (,) .U2 (τ) .….UN(τ))T. Z 12hT 矩阵A可分解成A= LoU= W * L.其中D*= diag(.....co). =~. o Co W AUlFPWOO 1 0 0 O O 唱i 1 0 nu U 一一内HV, O Lo = 10 1 0 o Co 1 O o 1 O o 0 Co 接着将式(14)式改写成AU"= = MU+H.则AU" = (LoUo)U" = Lo (UoU") = b. (15) 在式(1日中令UoU"= Y，则LoY=b，而且有Y= (Yl'为，…，如沪，b=仙，句，…，如)T.只=仇，只=bj- Yi-l ,i = 2，….N.同时有.，j'N= Y N .tf’j =λ(-ti飞1十y;).i= 1,2....,N-1. 综合以上，紧差分方法对应求解步骤为( I )通过式(8)给出初始条件U(O);( ii )假设已知时间步长为m时的U(τ〉值，通过它来计算时间步长为m十1时的值，用紧差分方法求
670 西安工程大学学报第26卷MMm解线性方程组A[J"(♂)= b(r)和b(俨)=MU(♂)+H(俨)，在每个时间步长处，记[J"(r)=φ(r) ，向m量H(俨〉通过边界条件(9)~ (11)在区间Zε[-2， +2J上的取值获得，则式(7)可改写成队=φ(U)mm+G(r) ，这里G(r)= (g(X1'τm) .g(码，♂). ,g(XN,rm))T; ( iii )检测自由边界的位置.记录解Um-I-1的最后位置，记第t个点处的值为U俨满足U俨1:::;; O.由于U肿1随Z递增，所以Vk> i.要使得Uzrr1> O.重新赋值U俨1=O,k= 1,2, , i.这时保留自由边界在时1间步长为m+1时的值，若U俨0，则保留Xó作为自由边界的值F否则保持U俨1<0且Um>0，用线1性方程的零点通过点(XnU俨1)和点(X旧.Um)去逼近自由边界的值z(Iv)重复(ii )和(iii )直到r时1= (T/2)[;;(T)J2，求出u(X时1，τm-I-1)的值，然后通过变换(3)~ (6) 将u(x时-l-1)的值转换成V()即为期权价格.表1两种方法的计算结果比较3 数值算例期权价格/$标的资产I AV/V I 首先，采用文献[9J的一个数值算例，价格/$紧差分方法高阶有限差分方法将计算结果与文献[9J中高阶有限差分法5 80 21. 869 4 21. 870 4 4. 572 6 X 10-的计算结果做比较.其中参数r(吵.DCt) 5 90 8 9 1 X 10-u(t) .k(t)取常数.100 1 X 10 音u考虑执行价格K=100 $.到期5 110 2 0 2. 995 3 X 10-5 日T=6/12(年)，元风险利息率r=O. 07, 120 4. 709 4 X 10-红利率D= O. 03.波动率σ=的美式看跌期权，并取定交易费用比例因子k(t)三0，即有红利无交易费用的美式看跌期权.计算结果见表1.表1中的结果表明，紧差分方法具有较高表23种期权价格比较的计算精度，从而说明本文的期权定价方法有标的资产价格/期权价格/$效，可用于求解具有交易费用和红利的美式期$ 多头元交易费用空头权定价问题.80 其次，给出算例，分别计算同一个期权分别90 24. 161 1 5 在空头、多头和无交易费用时的期权价格.100 5 f9~ 2 考虑执行价格K=100$，到期日T110 120 5 = 3(年)，无风险利息率r= O. 07，红利率D=，波动率σ=O. 40.交易费用比例因子k=.交易频率&= 1/12的美式看跌期权.数值计算结果见表2.例3考虑执行价格K= 100 $.到期日T=2(年)，无风险利息率r= ，红利率D= ，波动率σ=O. 30，交易费用比例因子k=，交易频率&= 1/12的美式看跌期权和看张期权.计算结果见图1和图 60 20 也吊静40、、、是IS华$ $30 与运10瑞摄察205 10 0 70 80 90 100 110 资产价格/$图13种看涨期权价格比较图23种看跌期权价格比较
第5期有交易费用和红利的美式期权的紧差分逼近671 4 结束语本文建立了带有交易费用和支付红利的美式期权定价模型，运用紧差分方法求解。计算结果表明，处于多头位的期权价格小于不含交易费用的期权价格，而对于空头则恰恰相反.然而当考虑随机波动率和随机利率时，是否有相同的规律，有待进一步研究.参考文献:[1] 李玉立，金朝篱.美式看跌期权的差分格式[JJ.重庆建筑大学学报，2004，26(2)，110-111.[2J 唐耀宗，金朝篱.有红利美式看跌期权定价的Crank-Nico\son有限差分法[JJ.经济数学，2006，23(2),349-350. [3J 张德飞，崔向照，赵金娥.美式看跌期权的数值解法[JJ.兰州大学学报g自然科学版，2009，45，104-105.[4J 吴金美，金治明，刘旭.支付连续红利的欧式和美式期权定价问题的研究[JJ.经济数学，2007，24(2)，147-152.[5J 刘霞倩，柴俊.带有交易费用和红利的欧式期权定价的数值方法[JJ.经济数学，(4)，302-306.[6J JULIA Ankudinova,MATTHIAS Ehrhardt. On the numerica\ so\ution of nonlinear Black-Scho\es equations[JJ. Com›puters and Mathematics with Applications, 2008,56,799-812. [7J TANGMAN D Y GOPAUL A,BHURTH M. Numerica\ pricing of options using high-order compact finite difference schemes[\ of Computationa\ and App\ied Mathematics,2008,218 ,270-280. [8J ZHU Songping, ZHANG Jin. A new predictor-corrector scheme for valuing American puts[]J. Applied Mathematics and Computation,2011 ,217,4 439-4 452. [9J TANGMAN D A,BHURUTH M. A fast high-order finite difference algorithm for pricing American op›tions[JJ. Journa\ of Computationa\ and App\ied Mathematics,2008,222,17-29. Compact finite difference approximation of American option with transaction costs and dividend payments LI ] ian-hui, HE Xing-shi, YANG Rui-tong (Schoo\ of Science, Xi’a n Po\ytechnic University, Xi’a n 7100础，China) Abstract:Based on the Black-Sch les option pricing equation, American ption pricing model which in›ch des transaction costs and dividend payments wer established. The compact finite difference method was used to give the algorithni for solving the model. In addition, the numerical examples were given. Using Matlab,option prices with long position, bear position, and no transaction costs were calculated, respectively. At last the calculated results were compared. Key words:American option; transaction costs; compact finite difference approximation 编辑、校对z黄燕萍
