谈初中学生数学思维能力的培养
我国古代思想家孔子说过：学而不思则罔，思而不学则殆。宋代学者程颐也很强调学和
思的结合，他说：“为学之道，必本于思，思则得之，不思则不得之。”这就告诉我们：作为
一个学生，如果只通过多问、多见、多识、多听等获得感性知识，而不经过思维加以分析整
理、引申归纳、对比推论，提高到理性认识的话，学习是不会有收获的。
思维能力的发展是在思维过程中实现的，而学生思维活动的正确展开，有赖于教师积极
的引导。在数学课堂中教师注意激发和引导学生的思维，使他们通过思维，自己发现规律，
运用知识，从而促进学生思维能力有序地、健康地发展。如何在数学教学中培养学生的思维
能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。本文谈谈初中学生数学思维的培养的
几点尝试。
一、要善于调动学生内在的思维能力
心理研究表明，当学生对学习对象有兴趣时，大脑中有关学习神经的细胞处于高度兴奋
状态，而无关的则处于抑制状态。孔子说过：“知之者不如好之者。”具有浓厚的兴趣会使学
生产生积极的态度。对某一学科产生强烈而持久兴趣的学生，会自觉克服学习中种种困难，
排除干扰，解决当前所面临的问题。所以在教学中，可从以下几个方面激发学生的学习兴趣。
1、利用课外知识，有效调动学生的学习积极性。心理学指出，青少年的求知欲如不再次激
发，难已维持长久。因此一节课不可能全是“高潮”，而应该有节奏。结合教学内容，有机地
穿插介绍科技新成就、化学家趣事等，既可调节节奏，又能再次激发学生的学习兴趣，为培
养学生良好的思维品质打下基础。
2、增强教师教学艺术性，同样可激发学生的兴趣。在教学中板书设计的独具匠心，教具模
型的恰当展示，多彩多姿的课堂演示实验，幽默形象的比喻，生动有趣的语言，都能激发学
生内在的求知欲，同时还要注意把师生间单调的课堂教学的知识交流转化为师生间情感交流
的舞台，会收到更好的效果。
激发学生学习积极性的方法很多，在教学中，教师只要针对学生实际和教材实际，采取适当
的方法来激发学生的兴趣，提高学生主动探究知识的积极性，为培养学生良好思维能力奠定
了基础。
3、鼓励学生独立思维。初中生受经验思维的影响，思维容易雷同，缺乏探索精神。因
而要多鼓励学生敢于发表不同的见解。例如比较大小，用“＜”号连接下列各数１６１５、１２１
１、９６９１、３２２９，大部分同学都根据以往经验，利用通分，化为同分母进行比较，因
而使计算量大，但也有一些聪明的学生已看出分子９６分别是１６、１２、３２的整数倍，
只要使分子相同就可作比较。对这种同学应该赞扬与肯定，促进学生思维的广阔性。
4、把数学知识生活化，以激发学生学习数学的兴趣
数学的特点是：抽象性、严谨性和广泛应用性。如果把数学的抽象性和广泛应用
性有机地结合起来，就可以体会到数学其实是博大精深、奥妙无穷的。在教学中，
从学生的生活经验和已有的知识背景出发，创设一个生动活泼，主动求知的数学
学习情景，使他们在“问题解决”的过程中，充分体会数学与自然及人类社会的密
切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。如初中的统计
初步这一章，给出了一批数据，让学生去算平均数、方差、标准差，这样学生感
到很枯燥，我改为让学生调查每位学生每月的零花钱，每十位学生为一个调查组，
然后，再算一下平均数、方差、标准差，相互比较。再如让学生计算全校教师的
应交薪金税各为多少？存1000元，一年后扣去利息税，可得本息多少？等等的数
学问题转化为生活问题，便于学生的理解和掌握，也便于学生学习数学兴趣的培
养。
5、注重学生的合作学习。让学生学会合作，互相互补，活跃思维。借助小组合作学习，
为学生创设了一个积极探讨合作研究的空间，通过反馈汇报，给学生提供展示自己思维的机
会，使学生获得成功的喜悦。
二、要教会学生思维的方法
孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得
良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方
法，这样有利于培养学生的正确思维方式。 要学生善于思维，必须重视基础知
识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。
数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好
数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能
力。在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学
生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样
想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由教师讲出自己的寻找过程。
在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有
挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数
学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算
公式。在解（证）题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用。
数学课堂是培养学生数学创新思维能力的主要阵地，数学创新思维能力的培养是现代数
学教学的要求，也是新课程改革的最基本的要求。因此在教学中，我设法通过学生学习数学
知识，全面揭示数学思维过程，激发、培养学生创新思维的积极性、主动性。
练习的目的是为了进一步巩固所学的新知识，同时让学生进一步活跃思维。活跃思维是
创新的基础。因此，每题的练习，要发挥练习的功能、作用和目的。既注重层次性，做到难
易结合，又有多样性即有填空、选择、判断等多种形式，从而培养学生多角度地思维，进而
培养创新思维能力。因此，在教学中必须发挥这些方面的训练。
例如，在讲“数轴”— 节时，最后 两道练习题：
(1)在数轴上表示：-I- O．75，-I-O．50，O，-I-O．10，结果出现了这样的局面：七个数都
集中在-I-1之间很小的范围内，甚至有的数都无法标出，而其余很长部分的数轴都没有用上。
(2)在数轴上表示：10OO，2000，一1500，一500，结果很多学生由于受练习本的限制，无
法在数轴上表示，怎么办?自己想办法!最后经过讨论，终于找到了解决问题的方法：单位长
度的选取要根据数据的特点来确定。比如，在(1)题中可用1厘米作为 O．1个单位长度，而(2)
题可用1厘米作为500个单位长度。
经过尝试，学生真正领会了单位长度的重要意义，并会针对数据特征选取适当的单位长度。
不难想象，如果能经常让学生亲自去尝试这种包括失败的经历，所学的知识定能印象深刻，
理解得透彻，掌握得扎实，运用得灵活，久而久之，还会迁移到其他知识、其他学科上，培
养创新能力。
此外，还要善于将书本知识引向实际应用，善于抓住课本中的典型例题和问题，进行变
式和引申拓展，将课本中隐藏的实际性还原出来。
例如学习“正方形的性质”一课后，编出引申题：用现有的一块正方形土地建一座花园，
打算将其四等分。在每一等份上种上不同的花草，请你设计出比较美观的方案。该题看起来
是简单的一种引申，但这种结论是开放式的问题，却营造了学生的求异创新思维的问题情境。
引起和刺激了学生的感官、思维，激发了学生的兴趣和创新欲望。不同层次的学生从不同的
角度去审视，把数学和美学有机地结合在一起了。
三、要培养学生良好的思维品质
1、探索数学概念的形成过程,培养学生思维的严谨性
数学概念的形成一般来自于解决实际问题或数学自身发展的需要。教材上的定义常隐去
概念形成的思维过程,教师要积极引导学生探索数学概念的建立过程,使学生理解概念的来龙
去脉,加深对概念的理解。
如:在讲述一元二次方程时，我们知道只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫做一元二次方程。若教师直接出示概念，学生可能对一元二次方程理解不深刻。
要强化加深学生对一元二次方程的概念的理解，可以通过举例来说明。如，下列方程中，是
关于 x 的一元二次方程的是：7x2 - 3y = 5、x2+ 2x=x2 - 7、2x2 + 7x =3。在学生做出选择之
前，教师应明确一元二次方程具备的三个条件：1）只含有一个未知数；2）含未知数的项的
最高次数是2；3）必须是整式方程。教师引导学生共同探讨，分析，最后做出判断。7x2 - 3y
= 5不符合（1）；x2+ 2x=x2 - 7不符合（2）；2x2 + 7x =3三个条件都符合，故，只有第三个式
子是关于 x 的一元二次方程。
2、探索公式、定理的发现过程，培养学生思维的独创性
数学公式、定理的形成过程大致有两种情况:一是经过观察、分析、用不完全归纳法、
类比等提出猜想,而后寻求逻辑证明;二是从理论推导得出结论。数学中的每个公式、每个定
理都是数学家辛勤研究的结晶,他们的研究蕴藏着深刻的数学思维过程。而现行的教材中只
有公式定理的结论和推导过程,缺少公式定理的发现过程,因此,引导学生探索公式、定理的发
现过程对培育学生创造能力都有着十分重要的意义。
如：在探索多边形的内角和的教学中，求一个凸五边形的内角和。
若我们只是为了完成这道题，则可以引导学生运用多边形的内角和公式直接求出这个多边形
的内角和，即，凸五边形的内角和=（5 - 2）×180= 3×180 = 540。这样的做法，不利于学生
对知识的理解与运用，学生的思维能力也不能得到充分的发展。我认为，教师应该引导学生
从多方位、多角度去思考、探索解决问题的途径。我是这样做的：方法（一），过一个顶点，
利用对角线将五边形分成三个三角形，则三个三角形的内角和就等于这个五边形的内角和；
方法（二）在这个五边形内确定一个点，过这一点，连接五边形的五个顶点，将得到五个三
角形。五个三角形的内角和减去中间五个内角的和（即一个周角），就等于五边形的内角和：
方法（三），在五边形的一边上确定一个点，连接另外三个顶点，将得到四个三角形。四个
三角形的内角和减去四个内角的和（即一个平角），就等于五边形的内角和。
对于同一问题，从不同的角度进行分析处理往往会导出许多不同的解法，引导学生用多
种思路解题，既能使学生灵活地运用知识，形成立体的思维网络；又能通过比较，选择最合
理、最简捷的思路，培养学生思维的灵活性。
4、探索问题的隐含条件，培养学生思维的深刻性
在教学中，经常发现有的学生由于没有注意挖掘出题目中的隐含条件，而造成不会做或
半途而废。因而在习题讲评时，教师要善于引导学生对问题的深入分析和深刻理解，帮助学
生挖掘出隐含的条件，使之明朗化。
如：如：等腰三角形的腰与底边的长是方程 X2-6X+8=0的根，则三角形的周长是多少？
学生解答：解方程得 X1= 2，X2=4，则三角形的边长可能为2，2，4或4，4，2。故所求的
周长为8或10。师生共同分析：三角形的三边要符合“两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边”。所以2，2，4不能组成三角形，应舍去。因此，三角形的三边应为4，4，2，则其周
长应为10。
经常这样引导学生去思考，探索问题,对提高学生思维的深刻性和发现问题的能力有很
大的作用。
5、探索问题的错误解法,培养学生思维的批判性
学生在积极探索课堂教学时必然会暴露一些问题或错误,教师要及时引导学生剖析这些
错误,并找出问题的症结所在,增强防止错误的能力，有利于培养学生思维的批判性。同时，
学生解题过程中出现的片面性和表面性，教师不应加于嘲笑、斥责，相反地应注意及时鼓励、
引导、启发，这正是发展思维批判性的反映。
如:解方程2X(X-3)=5(X-3)。学生解答：方程两边同除以(X-3)，得2X=5，所以，X=。
这个解答看似无懈可击，但这时教师提问学生：我们学习得一元二次方程的根应有两个，这
里为什么只有一个根呢？在场的同学们立刻议论起来，经过师生的共同讨论，最后学生找到
其原因：方程两边同除以因式(X-3)，忽视了因式(X-3)可能等于零，违背了等式的基本性质，
造成漏解。方程2X(X-3)=5(X-3)是一个一元二次方程，若有解，则有两个实数解才正确。教
师提示，此方程用因式分解法解比较简单。学生立刻重新解答这个方程，整理，得，
2X(X-3)-5(X-3)=0，提取公因式，得 (X-3)(2X-5)= 0，即 X-3=0或2X-5= 0，解得方程的根应
为 X1=3，X2=。
又如:已知 x 1、x2是方程 x 2-（k－2）X＋k2＋3k＋5=0的两个实根，则 x12 + x22 的
最大值是（）
(A)17 (B)18 (C)19 (D) 20
有一大部分学生都选 C。讲评时，我请一个同学上台板演，其选 C 的理由板演如下：
由题意得：x1 + x2= k–2， x1·x 2 = k2 +3k+5
∴x12 + x 22=( x1 + x 2)2 -2 x1·x2
=(k-2) 2 -2(k +3k+5)
=- k 2-10k-6
=-(k+5)2 +19
∴当 k=-5时，x1 + x2有最大值19。
这个解答看似无懈可击，这时提问学生：（1）题中“x1 ， x 2是方程的两根”这一条件
是否用上？（2）方程有两实根意味着什么？经此敲击，错解的学生茅塞顿开，立即领悟到
题中隐含着∴≥0！由此应先求得 k 的取值范围是：一4≤k≤ - ，显然只有当 k=-4时；x1 +
x 2才能达到它的最大值18。学生经历了上面的剖析后,对方程有两个实根会有深刻的认识,比
教师单独为学生改正的效果要好得多。
数学教学的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是要优化学生的思想品质，培
养学生各方面的能力。在教学的每个环节中，教师应通过启迪和引导，使学生主动参与到探
索知识的形成过程中去，只有这样，学生的思维能力才能得到有效的培养和开发，使我们培
养的学生真正成为社会发展所需要的栋梁。
培养学生思维能力的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最根本的一条，就是要调
动学生学习数学的积极性，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，使学生变学为思。当然，
良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持
不懈,持之以恒，就必定会有所成效。
浅谈数学的发散性思维的培养方法
作者:匿名 提供人:徐贻林 阅读:221 评论:0 时间:2008-10-25 16:44:01 【大 中 小】
思维有多种特性，如积极性、求异性、广阔性、联想性等，他在教学中有意识地抓住这
些特性进行练习与培养，既可提高学生的发散思维能力，又是提高小学数学教学质量的重要
一环。
一、激发求知欲，练习思维的积极性
思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的
积极性是培养发散思维的极其重要的基矗在教学中，教师要十分注重激起学生强烈的学习爱
好和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考。例如：在二年级《乘法
初步熟悉》一课中，教师可先出示几道连加算式让学生改写为乘法算式。由于有乘法意义已
经把握，虽然是二年级小学生，仍能较顺畅地完成了上述练习。而后，教师又出示３＋３＋３＋
３＋２，让学生思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢？经过学生的讨论与教师及时
予以点拨，学生列出了３＋３＋３＋３＋２＝３×５－１＝３×４＋２＝２×７……虽然课堂
费时多，但这样的练习却有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。我们在数学教学中还经
常利用“障碍性引入”、“冲突性引入”、“问题性引入”、“趣味性引入”等，以激发学生对新知识、
新方法的探知思维活动，这将有利于激发学生的学习动机和求知欲。在学生不断地解决知与
不知的矛盾过程中，还要善于引导他们一环接一环地发现问题、思考问题、解决问题。例如，
在学习“直线”的熟悉时，学生列举了生活中见过的直线，例如：一条笔直的公路、一根电线、
一支铅笔等，从而使学生在学习时始终处于兴奋状态，这样有利于思维活动的积极开展与深
入探寻。
二、转换角度思考，练习思维的求异性
发散思维活动的展开，重要的一点是要能改变已习惯了的思维方式，而从多方位多角度——
即从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这也就是思维的求异性。从认知心理学
的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已
有的思维方式，也就是说学生个体的思维方式往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。
所以要培养与发展小学生的抽象思维能力，必须十分注重培养思维求异性，使学生在练习中
逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力。例如，四则运算之间是有其内在联系的。
减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，
加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。
如24—6可以连续减多少个6等于0？应要求学生变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道
题可以看作24里包含几个6，问题就迎刃而解了。这样的练习，既防止了片面、孤立、静止看
问题，使学生对所学知识进一步把握，从中进一步理解与把握了数学知识之间的内在联系，
又进行了求异性思维练习。在教学中，我们还经常发现一部分学生只习惯于顺向思维，而不
习惯于逆向思维。在应用题教学中，在引导学生分析题意时，一方面可以从问题入手，推导
出解题的思路；另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。更重要的是，教
师要十分注重在题目的设置上进行正逆向的变式练习。如：二年级数学中又这样一题练习：
（1）牛16只，羊比牛多8只，羊几只？（2）牛16只，羊24只，羊比牛多多少只？这两道题目
有相似的地方，但意思是完全不同的，经过多次实践，我领悟到：从低年级开始就重视正逆
向思维的对比练习，将有利于学生突破已有的思维方式。
三、一题多解、变式引伸，练习思维的广阔性
思维的广阔性是发散思维的又一特征。
思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一
题多变的练习，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开
拓解题思路，在此基础上让学生通过多次练习，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在
教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求
明确、题型多变的练习题。要让学生通过练习不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不
断发展。要通过多次的渐进式的拓展练习，使学生进入广阔思维的佳境。
四、转化思想，练习思维的联想性
联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼，
由表及里。通过广阔思维的练习，学生的思维可达到一定广度，而通过联想思维的练习，学
生的思维可达到一定深度。例如有些题目，从叙述的事情上看，不是工程问题，但题目特点
确与工程问题相同，因此可用工程问题的解题思路去分析、解答。让学生进行多种解题思路
的讨论时，有的解法需要学生用数学转化思想，才能使解题思路简捷，既达到一题多解的效
果，又练习了思路转化的思想。“转化思想”作为一种重要的数学思想，在小学数学中有着广
泛的应用。在应用题解题中，用转化方法，迁移深化，由此及彼，有利于学生联想思维的练
习。
总之，在数学教学中多进行发散性思维的练习，不仅要让学生多把握解题方法，更重要的是
要培养学生灵活多变的解题思维，从而达到培养能力、发展智力的目的。
