第五章 时间序列的指数平滑预测技术
本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，
初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指
数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法
之间的关系，比例模型的指数平滑法。
常用模型的指数平滑法
基本公式与预测方程
利用时间序列前 t 期的观察值 x1 , x2 ,…, xt 预测第 t＋1 期的值 xt
＋1 时，设赋予第 i 期的权重为 wt＋1－I (i=1,2…t), w1>w2 >… >wt ,计算
诸观察值的加权平均：
并取第 t+1 期预测值为
这就是所谓加权平均法。
加权平均法的缺点：
(1)权重不易确定
(2)要记忆的数据太多
(3)计算较繁权重不易确定
自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，
即第 t 期，第 t-1 期…的权重依次为
由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于 1。我们使这一条
件当 t 趋近∞时成立，即使得
各期权重依次为
t...
t...tt
t
xxx
W
21
1121
tt Wx̂ 1
)10,0,...(,, 2
12 ...
上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据
多和计算繁两个缺点。为此，我们考虑 t 充分大时的情形，这时得
到:
将滞后一期拿出：
得到即:
上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出
的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。Tt 称为 T
的(实际上也是 x 的)第 t 期的指数平滑值。
指数平滑法的预测方程是：
即把第 t 期的指数平滑值作为第 t+1 期的预测值。指数平滑法
的基本做法用公式的形式表述出来就是：
新的估计值=平滑常数×利用当前期资料的估计值+(1－平滑常数) ×只利用历
史资料的估计值
指数平滑法优点：既继承加权平均法重视近期数据的思想，又
能克服以上三个缺点。
例 5-1 某经济变量前 5 期的观察值是 5，6，4，6，3
取 T1=5 进行预测。
利用公式（5-5）和（5-6）逐期计算：
解题过程：
,
221 )1()1( tttt xxxT
...tttt x)(x)(xT 32211 11
ttt xTT 1)1(
1)1( ttt TxT
ttt x̂)(xx̂ 11
tt Tx̂ 1
96496425804201
25255806201
55
4233
3122
21
.x̂....T)(xT
.x̂...T)(xT
x̂T
,...)(),(, 211
把计算结果列入下表 中：
表 指数平均法预测
1 5 5
2 6 5
3 4
4 6
5 3
6
平滑常数对预测结果的影响
越小，对数据的平滑能力越强，但对数据变化的敏感性越
差， 越大，对数据的平滑能力越差，但对数据变化的敏感性越强。
例 5-2 时间序列前 10 期的观察值由表 中 列给出，试分
别以 为平滑常数进行预测，取初值 T1=5。
经计算，把各预测值都列入表 中。
表 用不同的 进行指数平滑预测
1 5
2 4
3 6
4 7
5 3
6 2
7 5
8 6
9 3
10 7
11
73444734441685803201
16851685964806201
6455
5344
.x̂....T)(xT
.x̂....T)(xT
t tx tT tx̂
tx
905010 .,.,.
t tx tx̂. 时的10 tx. 时的50 tx. 时的90
图 5-1 平滑常数对预测值的影响
基本公式的显式形式
反复利用公式(5-5),可以得到
初值对预测值的影响及其选择
初值只是对前若干期的预测值产生较大影响，随着 t 的增大，
它对预测值的影响越来越小。
例 5-3 时间序列前 12 期的观察值如表 中 列所示。取
试分别用初值 T1=2, T1=7 进行预测。
表 用不同的初值进行指数平滑预测
1 2
2 5 2 7
3 7
4 4
5 6
6 5
7 3
8 5
9 3
10 2
11 6
12 5
13
1
1
2
2
1
2
2
1
21
1
)1()1()1(
)1()1(
)1()1(
)1(
TXXx
TXx
TXx
TxT
tt
tt
ttt
ttt
ttt
tx
,
t tx )T(x̂t 21 )T(x̂t 71
1 tt x̂x̂
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
实际观察值
T1=2预测值
T1=7预测值
我们对初值的选取提出以下建议：
(1)如果只有一期数据，没有任何其它任何信息，不妨取
T1=x1。
(2)如果已有若干期数据了，可以取 T1 为前几期数据的平均值。
如果数据很多，可以用前一半数据的平均值取初值，用后一半数据
平滑。
(3)如果在应用指数平滑法预测之前，已用其它方法作过预测，
可把用其它方法得到的第 1 期的预测值作为指数平滑法的初值。
(4)对初值的选取，也可以采用专家估计的办法。(5)用逆平滑
法取初值。所谓逆平滑法就是：先选定一个初值 T1，用指数平滑
法逐期平滑，直到数据的最后一期；然后再用所得预测值作为初值，
由后向前逐期平滑，直到第 1 期。用这时所得的预测值作为真正预
测时正式的初值。
(5)如果数据不多，对α的选取信心不足，可以采取观望态度，
也就是说，前几期预测结果暂时不要用于决策，等看到预测值可以
相信的迹象时再用。
(6)如对初值的选取把握不大，开始时可选取较大的α 以减轻预
测值对初值的依赖；过一段时间后，再把α的值降下来。
基本公式的误差校正形式
下面公式称为指数平滑法的误差校正式。
或写成:
习题：
1. 下列时间序列中，哪些适合于用简单指数平滑法预测？
(1) 100 110 105 103 95 97 98 100 103 105;
(2) 15 16 18 23 22 28 29 35 33 38;
(3) 100 95 80 93 75 60 59 62 55 54;(4)
100 150 100 150 100 150 100 150 100 150.
1 ˆˆ ttt exx
tt
ttt
tttt
eT
TeT
TexT
1
11
1
)1()(
)1()ˆ(
2. 用简单指数平滑法对下面的时间序列进行预测，取α=，
T1=x1，并计算 MSE 及 MAPE。
1 1010 1010 -
2 1000
3 1005
4 1015
5 1022
6 1021
7
3.用简单指数平滑法预测，取α=，利用误差校正式填写下表中的
空白处：
10 29
11
12
13
4.对第 1 题(1)中的时间序列，取初值 T1=100，分别用α= 和
作简单指数平滑预测，并在同一直角坐标系中把实际观察值和两种
预测值都画出来，分别以折线连结。这两条预测线中，哪一个波动
较小，哪一个对数据变化更加敏感？
本节需要注意的问题：本节讲的指数平滑法只适合常数模型，
为了和以后要讲的其它模型的指数平滑法相区别，本节讲的常数模
型的指数平滑法为简单指数平滑法。
线性模型的指数平滑法
本节所要研究的是线性模型，即
这里，t 表示当前期，Tt 表示第 t 期(当前期)的趋势值。
b=Tt－Tt-1 称为趋势增量，它表示每过一个时期趋势值的增加
量。
t tx tT tx̂
t tx tx̂ tb
)()(
)(
乘法模式或
加法模式
Tttt
Tttt
RbTx
RbTx
霍尔特指数平滑法
(1)基本公式与方程
预测方程:
其中各符号的意义:
当前期 预测超前期数(或称预测步长)
利用第 期或前 期数据对第 期或第 期趋势的估计。
利用前 期或前 期数据对趋势增量 的估计
第 期的实际观察值
利用前 期数据对 期的预测值
平滑常数
利用公式(5-14)和(5-15)计算时,除两个平滑常数外需先指定
两个初值 和
例 5-4 时间序列前 4 期的观察值为 2，4，3，6 取α=，
=,T1=2, b1=7，用霍尔特方法对第 2 期-第 4 期作步长 =1 的追
溯预测，并对第 5 期至第 7 期分别作步长的预测。
反复利用公式(5-14)-(5-16),得
详细结果列于表 中，为了对第 5 期—第 7 期作预测，
16)-(52,1ˆ ，ttt bTx
：t ：
：， 1tt TT t 1t t 1t
：， 1tt bb t 1t b
：tx t
：tx̂ t t
：， 10 ，
1T 。1b
0601801)(
)()(1
56182025805362
)-()(
)()(1
42202042
3344
3344
334
2233
2233
223
.b)(TTb
.bT)(xT
...bTx̂
..b)(TTb
bT)(xT
...bTx̂
3095831060180249431445 ...bTx̂
3697632060180249432446 ...bTx̂
15)-(5)1()(
14)-(5)()1(
11
11
tttt
tttt
bTTb
bTxT
)-()(
)()(1
202
02
1122
1122
112
11
.b)(TTb
bT)(xT
bTx̂
bT
表 霍尔特方法预测
1 2 2 0
2 4 2
3 3
4 6
5
6
7
(2)关于初值的研究
例 5-5 我国 1978-1987 年间各年的棉布产量如表 5-5 中
所示(单位:亿米),试预测 1988 年的产量。
画出散点图（图 5-4）。从图中看出，这些点大致分布在一条直线
的附近。取α=， =。
表 5-5 我国棉布产量的预测
T
1（1978 年）
2
3
4
5
6
7
8
9
10(1987 年)
11(1988 年)
MSE=,MAPE=%
(3)误差校正式
上式是由公式(5-16)得出下一步预测误差。
4302833060180249433447 ...bTx̂
T tx tT tb tx̂
tx
tx tT tb tx̂
20)-(5
)(1)(
15)-(5
19)-(5
))((1)(
14)-(5
ˆ
1
1111
11
11111
1111
11
11
tt
tttttt
ttt
ttttttt
tttttt
tttt
tttttt
eb
bTebTb
ebT
bTbTebT
bTebTT
ebTx
bTxxxe
中此式代入公式再将
中，将此式代入
故
公式(5-19)(5-20)便是霍尔特法的误差校正式。
布朗二次指数平滑法
1、基本公式与预测方程
布朗二次指数平滑法就是为了弥补这种缺陷的一种方法.所谓二次
指数平滑法,就是对一次指数平滑后的序列再作一次指数平滑,使序
列反映出线性趋势,建立线性方程进行预测的方法。
2、误差校正式
布朗适应性平滑法
例5-7 对 2，4，3，6 四个数据，用布朗适应性平滑法，取
r=,T1=2,b1=0.
利用公式逐期计算
详细结果见表 。
表 布朗适应性平滑法预测
r
1 2 2 0
2 4 2 2
3 3
4 6
5
6
7
各种方法间的关系
1、 应性平滑法与二次指数平滑法的等价性
2、 应性平滑法与二次指数平滑法都是霍尔特指数平滑法的特
殊情形
tx tT tb tx̂ te
6042
420203822
202
02
333
2
t)112
2)1112
112
11
3
2
2
..x̂xe
...bTx̂
.bb
bTT
bTx̂
bT
r(
r(
比例模型的指数平滑法
缪尔指数平滑法
例 5-8 时间序列前 5 期的观察值为：,,,,
试用缪尔指数平滑法预测第 6 期和第 7 期的值。取α=，
=,T1=, r1=1。利用公式逐期计算：
详细结果见表 。
表 缪尔指数平滑法预测
1 1
2
3
4
5
6
7
这里,预测值比实际值低得较多,主要原因是 r 的初值取为 r1=1 太低,
而且 = 较小，数据个数又太少。
线性化
目前，缪尔指数平滑法应用还不十分普遍，因为比例模型（乘
法模式）可以通过简单的变换转化为线性模型，然后利用线性模
型的预测方法预测。
例 5-10 利用例 5-9 中的数据，采用比例模型，再线性化，预测
我国 1988 年客运总量。
首先把 10 个原始数据分别取对数，得出 的 10 个观察值。
用霍尔特方法。取α=， =。初值用与上例类似的办法选取
（即用公式（5-18），k=5）:
tt tT tr tx̂
tt Inxx
242200091242
000011950
22
242
050
22122
122
22
r)1
1
2
1122
12
11
3
12
1
...rTx̂
..
.
.
.
.r)(xT
..
Tx̂
(r
r
t
x
详细计算见表 。 故 1988 年我国客运总量预测
值为 （万人）。
MSE=×109
MAPE=%
表 比例模型线性化方法
t
1（1978 年）
2
3
4
5
6
7
8
9
10(1987 年)
11(1988 年)
13770
5
649412337713
1 .
..
b
374121377026494121 ...T
,.x̂ 75121311
93772175121311
.ex̂
tt Inxx tT tb tx
