ARCH 与 GARCH 模型例
1. 自回归条件异方差模型
问题的提出
对异方差误差分布的修正能够导致更加有效的参数估计。例如在回归方程
（）
中的 的方差可能与 成正比，在这种情况下，我们可以使用加权最小二乘法，即令方
程的两边同时除以变量 ，然后用普通最小二乘法估计变化后的回归方程
（）
在有些应用场合下，可以认为误差项是随时间变化的并且依赖于过去的误差大小。通货
膨胀以及股票市场收益都属于这种情形。在这些实际应用中，常常有大的误差与小的误差成
群出现的情形，换句话说，存在着一种特殊的异方差形式，回归误差的方差依赖于过去不久
误差的变化程度。
一个被广泛采用以解决这类异方差模型是由 Robert Engle 研究发展出来的，他认为用一
个自回归条件异方差模型（Autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为 ARCH
模型）会提高有效性。
定义
一般的，公式（1）中随机误差项 的方差 可以依赖于任意多个滞后变化量
（i=1,2,…p），记作 ARCH（p）
（）
注意：
（1） 为了保证在给定 条件下， ，就必须要求 （ ）；
（2） 要保证误差序列 的平稳性，系数必须满足： 。
检验
-Pagan 检验
在同方差的假设下条件下：
SSR/2~X2(1)
tttt xxy 33221
t x t
2
2
x t2
*
2
3
32
2
1
2
1
t
t
t
tt
t
x
x
xx
y
t
2
t it
22
22
2
110
2
.......
ptpttt
it
2 02 t 0 p,,1,0
t 121 p
根据 OLS 处理结果，可根据下式计算检验的统计量 SSR/2
查自由度为 1 时的 分布表，找出给定显著性水平 条件下临界值，比较检验统计量与临
界值的大小，以确定接受还是拒绝模型同方差的零假设
拉格朗日乘子检验法（ＬＭ）
已经讨论过两种假设检验法：F 检验（Wald 检验）法(第 5 章)和似然比检验法。Wald
检验从无限制条件模型开始，检验给模型加上限制条件(即一些回归参数等于 0)是否显著地
减弱了回归模型的解释能力。根据 Wald 检验的观点，原假设由有限制条件模型给定，而备
择假设由无条件模型给定。在线性回归模型情况下，显著性由 F 检验来评估。似然比检验
法检验的也是关于由有条件模型给定的原假设，但是这一检验却是用 分布完成的。由于
似然比(LR)检验法的基础是极大似然原则，因此它是很有吸引力的检验法。
拉格朗日乘数(LM)检验由有限制条件模型限定的原假设出发，检验向备择假设方向的
变化能否显著地提高有限制条件模型的解释能力。拉格朗日乘数检验法以有条件极大化技术
为基础，其中拉格朗日乘数是用来估计限制条件对参数极大似然估计的影响程度的。令
为无条件模型参数的极大似然估计， 为有条件模型参数的极大似然估计。目标是在限制
条件 = 下求 lnL( )的极大，这就等价于求下式的极大
lnL( )－ （ － ）
其中 是拉格朗日乘数。很明显，限制条件成立时这个函数达到极大值。拉格朗日乘数
度量的是限制条件的边际“价值”： 越大，限制条件对 lnL( )的极大值影响就越大。
要想明白其中的道理，注意到极大化的一阶偏导数条件之一是
所以 是似然函数的斜率。如果限制条件成立的原假设不能被拒绝，则有条件的参数会与无
条件的参数很接近，而且 的值会较小。但是，如果限制条件显著地不成立，则加上限制条
件的损失，也就是 ，就会更大。因此，基于 大小的拉格朗日乘数检验法有时就称为计
数检验（score test）。
拉格朗日乘数检验法可以很容易地用于考虑是否在回归模型中加入另外的解释变量的
特殊情况。假如已经估计了有条件模型
()
而且正在考虑可能加入另外 q 个变量中的部分或全部变量的无条件模型
()
关于 q 个变量中每一个变量的系数都是零的假设的拉格朗日乘数检验首先计算有条件模型
SSESSR
SSR
SST
SSR
R
2
2
2
UR
R
UR R UR
UR UR R
UR
UK
Lln
RqKqk XXY 221
RUkkqKqk XXXY 221
(10—17)的残差。特别地，
如： ()
然后考虑将这些残差对无条件模型中的所有解释变量进行回归
如果所有这些另外加上的变量都是“无关紧要”的，则当我们从有条件模型变到无条件模型时，
q 个多出来的变量的系数应当为 0。然而，如果无条件模型中多包含的变量中有些对 r 有决
定性影响的话，我们认为它们的系数应当是统计上显著的，因此方程()的估计会很好地
拟合数据。
拉格朗日乘数检验法依赖于回归方程()的显著性检验。特别地拉格朗日乘数检验统
计量
LM=NR20 （）
服从自由度为 q(限制条件个数)的 分布。N 为样本容量， 是回归方程(10-19)的 。
如果计算出的检验统计值大于 分布的临界值，我们就拒绝有条件模型成立的原假设。
拒绝原假设就是认为有些另外的变量应当被包含在模型之中。对模型()的 t 统计量的研
究能够表明应该选择哪些变量，但是没有什么公认的评价方法。
拉格朗日乘数检验法常常用来对异方差进行检验，就是 White 检验。为了略为深化这里
的讨论，假设估计了一个线性回归模型，但是担心误差项方差是否是两个外生变量 x 和 z 的
函数。White 建议异方差由下面的误差项方差的函数所确定：
()
不存在异方差的原假设为方程(10-21)中的系数满足 。为了用
White 检验，用原始模型的残差平方和作为 的估计。按照拉格朗日乘数检验法，用方程
()的回归计算 NR2，它应当服从自由度为 5 的 分布，其中数 5 是原假设中限制条件
的个数。
实际操作：对最小平方估计的残差平方进行辅助回归，用 的滞后项的平方 和
常数项作回归，然后按辅助回归结果显示的 R2 计算 LM 统计量。在异方差的原假设 H0:
的前提下，NR2 具有渐近 分布，当 NR2 大于 分布的临
界值时，接受模型随机误差项中存在 ARCH 的影响作用。
方差模型中的 p+1 个参数的参数估计
极大似然估计法
广义最小平方法
步骤：
qkqkR XXY ˆˆˆˆ 221
kkR XX 221ˆ
2 20R
2R
2
XZZXZX 2
2
4
2
3210
2
054321
2
2
2
te
22
,1 ptt ee
021 p p2 p2
（1） OLS 估计原模型，估计参数 ，得到模型残差 et；
（2） 用 对 ， …， 和常数项作回归，得到系数的估计 ，
以及 的拟合值 ；
（3） 用拟合值 估计原模型随机项 的方差 ，以及原模型参数 的广义最小平
方估计值。
、GARCH 模型
1986 年，波勒斯勒夫（Bollerslev）提出了条件方差函数（2）的拓展形式，即广义 ARCH
模型——GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity），这被证明是
对实际工作的开展非常有价值的一步。GARCH 模型的条件方差表达如下 ：
（）
为保证条件方差 ，要求
（）
用 GARCH（p, q）来表示阶数为 p 和 q 的 GARCH 过程。
相对于 ARCH，GARCH 模型的优点在于：可以用较为简单的 GARCH 模型来代表一个
高阶 ARCH 模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易。其原因是：常常有理由认
为 的方差依赖于很多时刻之前的变化量，但这样的话，我们必须估计很多参数，而这一
点很难做到。我们能意识到方程（3）不过是 的分布滞后模型，我们就能够用一个或两
个 的滞后值代替许多 的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型（generalized
autoregressive conditional heteroscedasticity model，简计为 GARCH 模型），GARCH 模型也可
以用极大似然估计法进行估计。
最简单的 GARCH 模型是 GARCH（1，1）模型为：
（）
误差项的方差现有三个组成部分：一个常数项，前一时刻的变化项（ARCH 项），以及前一
2
te
2
1te
2
2te
2
pte p ,,, 10
2
te
2ˆte
2ˆte t
2
t
p
j
jtj
q
i
itit
1
2
1
2
0
2
0t
pj
qi
j
i
,,1,0
,,1,0
00
t
2
t
2
t t
2
11
2
110
2
ttt
时刻的方差（GARCH 项）。因为其实质上是一个几何滞后模型，所以只要 小于 1，可以
把（）式改写为
（）
换句话说，此刻的方差以几何下降的权重依赖于过去所有的误差变化量。
一般情况下，我们可以有任意多个 ARCH 项和 GARCH 项，GARCH（p，q）模型表示
为：
（）
最后，等式（6）还可以进一步推广，可以包括一个或多个外生或预定变量作为误差项
方差的其他决定因素。例如， 是一个外生变量，我们可以把它作为下列 GARCH（1，
1）模型的一部分：
（）
但是，往 的方程中添加外生或预定变量时必须小心。如果 取负值，可能会造成
方差对于某些观测值取负值。
、(G)ARCH－M 模型
由恩格尔（Engle）、利立安（Lilien）和罗宾斯（Robins）提出的 ARCH-M（ARCH-in-mean）
模型提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法，正如我们可以在描述 的方程右边
添加外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程（1）的右边添加 或标准差 。比如，
如果回归的目的是要解释股票或债券等金融资产的收益，我们就可以这样做，其原因在于人
们认为金融资产的收益应当与其风险成正比。例如，我们可以认为某股票指数（如 S&P500
指数）的票面收益（ ）依赖于一个常数项、通货膨胀率以及条件方差：
（）
然后我们可以把 的方差看成是一个（）式那样的 GARCH（p，q）过程。这种
类型的模型被称为 ARCH－M（ARCH－in－mean）模型。
例 1.长期利率的 GARCH 模型应用（计量经济模型与经济预测 P180,例 ）
我们将为 AAA 企业债券利率建模，建立它与短期无风险利率（三个月国债利率）的现
值和过去值以及工业生产指数和批发价格通货膨胀率之间的关系。图 1 显示的是 1960 年～
1996 年初的 AAA 企业债券利率和三个月国债利率。从图 1 可以看到，企业债券利率一般都
高于国债利率，而且短期利率的波动比国债要小。企业债券反映的是对国债利率未来值的期
望（因此它应当比国债利率的波动小），而且包含了反映违约可能性的较小风险溢价。
1
2
1
1
11
1
02
1 jtj
j
t
22
22
2
11
22
22
2
110
2
..............
qtqttptpttt
x t3
x tttt 31
2
11
2
110
2
2
t x t3
2
t
2
t t
returnt
ttttreturn
2
321 inf
2
t
图 ：3 个月国债利率和 AAA 企业债券利率
我们将 AAA 企业债券（RAAA）对国债利率的现值和滞后值（R3），工业生产指数的
现值和滞后值（IP），所有商品生产者价格指数的增长率（GPW），以及 AAA 企业债券利率
的滞后值做回归（滞后因变量的加入是模型成为几何下降的滞后结构，使其它解释变量的短
期波动变得平滑）。经过一些试验以后，选择下面用普通最小二乘估计法得到的方程：
s＝ DW＝ 对数似然值＝ （*）
55 60 65 70 75 80 85 90 95
Residual Actual Fitted
333 21 RRRRAAA tttt
RAAAGPWIPIP tttt 11
R
图 ：最小二乘估计的计算结果
图 显示的是该回归的残差。我们注意到波动的“成群”现象，波动在一些较长的时
间内会非常小（例如 1962 年～1967 年），在其他一些较长的时间内会非常大（例如 1980 年～
1988 年）。这些情况都说明其误差项具有条件异方差。因此可以考虑使用 ARCH 或 GARCH
模型表示。
图 ：AAA 企业债券回归残差
为探索这样做的可能性，用一个简单 GARCH（1，1）模型表示误差项的方差，并对方
程（*）重新回归，得到以下的结果：
s＝ DW＝ 对数似然值＝ （**）
55 60 65 70 75 80 85 90 95
RAAA Residuals
333 21 RRRRAAA tttt
RAAAGPWIPIP tttt 11
R
图 ：GARCH（1，1）的计算结果
注意到采用了误差项方差的 GARCH 表达式对所有的系数估计几乎没有什么影响。另外，
GARCH 方程中只有一个系数是统计显著的。还应该注意到，回归的标准误差增大了（从
到 ）。这并不意味着模型没有解释利率，他只说明一个事实，即用普通最
小二乘估计有异方差误差的方程时，估计的标准误差是有偏的。
为了对异方差的形式做进一步的探讨，我们在前面的 GARCH 模型中加入了一个外生变
量。保持 GARCH（1，1）结构，但是在该方程中加入 3 个月国债利率的滞后变化量，该模
型的估计结果如下：
s＝ DW＝ 对数似然值＝
(***)
333 21 RRRRAAA tttt
RAAAGPWIPIP tttt 11
R
3 个月国债利率滞后值的变化对回归误差项方差的变化有显著的解释作用。此外，ARCH
项和 GARCH 项系数现在都是高度统计显著的。最后在回归方程中一些系数的大小有了虽然
微小但是仍能注意到的变化，许多 t 统计值都变大了。
例 2．股票收益（计量经济模型与经济预测 P178,例 ）
众所周知，股票收益不仅依赖于其风险的大小，而且还受到其他很多因数影响，比如贴
现率的变化以及批发价格的通胀率等。本文我们将研究 S&P500 股票指数的月收益，来分析
股票收益的其他影响因数。
在回归模型中我们引入理论上应当减少股票收益的两个变量：3 个月国债利率的变化△
R3t ，以批发价格通胀率 GPWt。因为股票价格应该反映期望未来收益的贴现值，因此贴现
率（此例中就是国债利率）的增加应当减少现值，所以我们期望在做回归时，国债利率变化
的系数为负。另外，批发价格通胀率能够减少税后资产收益，所以我们期望它与股票收益是
负相关的。
为了说明不同的问题，在此文中我们使用了四个模型，首先我们用 Citibase 关于 S&P500
指数的数据（FSPCOM）和 S&P500 指数产生的红利（FSDXP）计算月收益 RETURNSP，
RETURNSPt=(FSPCOMt-FSPCOMt-1)/FSPCOMt-1+
首先，我们做一个简单的最小二乘估计，使用 软件进行计算，得到回归结果
如下：（注：我们使用 DDD 代表△R3t）
Dependent Variable: RETURNSP
Method: Least Squares
Date: 04/09/04 Time: 10:02
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
DDD
GPW
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
由上表，我们得到普通最小二乘估计的回归方程为：
RETURNSPt=△
R^2= s= DW= 对数似然值：
我们注意到，上面的计算结果中 R^2=，其值比较小，说明股票收益波动很大，
这些收益的方差很少能被我们所引入的变量所解释，这是因为我们只引入了两个变量，股票
收益的另一影响因数即风险没有包括进来，但△R3t 和 GPWt 的系数具有我们所期望的符号，
且都是统计显著的。
上图为上述回归的残差，这里也存在着波动的“成群”现象。
其次，我们做一个 GARCH(1，1)模型，即误差项中包含前一时刻的变化量（ARCH 项）
以及前一时刻的方差（GARCH 项）。计算结果如下：
Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:04
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 13 iterations
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C
DDD
GPW
Variance Equation
C -05
ARCH(1)
GARCH(1)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
得到回归方程为：
65 70 75 80 85 90 95
RET URNSP Res iduals
RETURNSPt=△
σ^2=+(εt-1)^2+(σt-1)^2
R^2= s= DW= 对数似然值：
从上表结果中，我们看到 ARCH 和 GARCH 项的系数的都是统计显著的。虽然与第一
种方法比较回归方程中的系数有很大变化，但是仍然具有我们所期望的负号，而且统计上是
显著的。而且，我们还注意到，与上面的方法比较，回归的 R^2 减小了，这是因为普通最
小二乘法会使 R^2 达到最大，在 GARCH 模型中对异方差的修正导致 R^2 有所下降。
我们知道持有股票的期望收益应当能够补偿投资人的股票风险，即认为股票的收益应
当与其风险成正比，所以我们在模型中加入误差项本身的方差或标准差。于是这就是下面所
要做的 GARCH-M 模型。
Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:05
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 13 iterations
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
SQR(GARCH)
C
DDD
GPW
Variance Equation
C -05
ARCH(1)
GARCH(1)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
因此得到回归方程为：
RETURNSPt= △+σt
σ^2=+(εt-1)^2+(σt-1)^2
R^2= s= DW= 对数似然值：
从回归方程可看出，虽然标准误差项σt 在统计上勉强显著，但其系数据有我们期望的符
号。
最后我们考虑一个更加复杂的模型，GARCH(4,2)模型，其中仍然包含条件标准误差项，
其计算结果如下：
Dependent Variable: RETURNSP
Method: ML - ARCH
Date: 04/09/04 Time: 10:06
Sample(adjusted): 1960:02 1996:02
Included observations: 433 after adjusting endpoints
Convergence not achieved after 100 iterations
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
SQR(GARCH)
C
DDD
GPW
Variance Equation
C
ARCH(1)
ARCH(2)
ARCH(3)
ARCH(4)
GARCH(1)
GARCH(2)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
得到回归方程为：
RETURNSPt= △+σt
σ ^2=+( ε t-1)^2+( ε t-2)^( ε t-3)^2+( ε t-4)^( σ
t-1)^2+(σt-2)^2
R^2= s= DW= 对数似然值：
我们注意到，回归方程中条件标准误差系数的数值比上一种方法得出的结果稍微减小，
但现在却是统计显著的，而且，第一个和第四个 ARCH 项和两个 GARCH 项都是统计显著
的。
在本例所介绍的模型中，解释变量对因变量的解释程度都比较小，所以对于股票收益
的预测作用不大，但是，它却表明收益确实不仅依赖于风险，而且正如我们所预期的，它还
依赖于利率的变化和通货膨胀。
例 3：对我国深市股票收益率的 ARMA 模型及 GARCH 模型的拟合分析及比较
例 平稳性分析及检验
在时间序列分析中，平稳时间序列是一类重要的随机序列。平稳时间序列的
定义有两种：宽平稳和严平稳。时间序列{ }是严平稳的，如果{ }的分布随时
间的平移而不变；时间序列{ }是严平稳的，如果{ }有有穷的二阶矩，且均值
与自协方差随时间的平移而不变。如{ }为正态序列，那么{ }为严平稳与宽平
稳是相互等价的，因此，经济时间序列分析中序列的平稳性分析常指宽平稳。平
稳时间序列可以由它的均值 方差 ，自相关系数 Pk 和偏自相关系数Фkk 的特
征描述，而非平稳过程参数的估计非常困难，因此，分析时间序列时首先检验其
是否平稳，若非平稳则通过检验其非平稳类型，用差分或 Box-Cox 非线性变换
的方法使均值和方差非平稳转换为平稳时间序列，在构造出模型做进一步的分析
对时间序列平稳性的检验方法主要有自相关函数检验法和单位根的 ADF 检
验法。理论上，如果一个随机过程是随机的，它的任何大于零的滞后自相关系数
都会是零，也就是说，它的样本自相关系数近似的服从以零为均值，1/n 为方差
的正态分布。
另一种方法是单位根的 ADF 检验。假设{ }服从有单位根的 AR(p)自回归
过程，若特征方程Ф（B）的根落在单位圆上，就说该序列非平稳。
本文以我国深市 的大盘收盘指数为原始数据，分析图如下：
图 1： 的线性图
从图中可以初步判断该序列含一个时间的趋势项，均值随时间的改变而改变，
是非平稳的。同时，观察样本的自相关图（该图略），发现自相关系数缓慢的下
降，一阶偏自相关系数显著的不为零，可见是典型的非平稳性时间序列，需要进
行非平稳转换。对该序列做精确的平稳性 ADF 检验，其中含有趋势项及位移项，
但仍然不能拒绝非平稳的零假设，三种检验都支持了{ }非平稳的假设，故需要
对其进行平稳性变换再进行分析。单位根的 ADF 检验结果如下：（表 1）
表 1： 的 ADF 检验结果：
ty ty
ty ty
ty ty
2
ty
ty
ty
ty
ADF Test tatistic 1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
在金融分析中常常将股价或股指的对数差分值作为收益率的指标，本文也采
取这一方法，进而分析变换后的平稳时间序列{ }，变换如下：
对变换后的序列{ }再做平稳性的 ADF 检验，该检验拒绝了非平稳假设，
是一个平稳性的随机序列，检验值如下：（表 2）
表 2： 的 ADF 检验结果：
ADF Test Statistic 1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
例 模型的建立及检验
一个时间序列可以有多种方法建立它的模型，较常用的是 ARIMA 模型。该
模型用变量自身的滞后值及随机误差作为解释变量，而不引进外生变量。若{ }
经过 d 次差分后为平稳序列，则：
其中：
当 d=q=0 时，ARIMA(p,d,q)模型也称为 p-阶自回归模型，记为 AR(p)。
AR(p)模型即为：
当{ }的特征方程的所有的根都在单位圆以外时，{ }为一平稳过程，此时，
自相关函数呈混合指数衰减或呈拖尾型；而偏自相关函数滞后 p 阶后截尾。
当 d=p=0 时，ARIMA(p,d,q)模型也称为滑动平均模型，记为 MA(q)。 MA(q)
模型为：
当{ }服从 MA(q)时，它的自相关系数是滞后 q 阶截尾的，而偏自相关系数
呈混合指数衰减。由此可以初步判断随机序列服从的模型。
ARMA(p,q)模型包含了 AR(p)过程和 MA(q)过程的特征，自协方差函数和偏
自相关函都呈拖尾型，它的具体识别需要技巧，常用“试错法”，即从低阶到高阶
逐个取（p,q）的值来试，直到找到一个最优的模型。
tz
1
ln
t
t
t y
y
z
tz
tz
tz
tqt
d
p aBzBB )()1)((
p
pp BBBB
2
211( ）
q
qq BBBB
2
211)(
tptpttt azzzz 2211
tz tz
qtqtttt aaaaz 2211
tz
首先观察{ }的样本自相关系数图及偏自相关系数图（图 2）的特征，发现
滞后七期、八期的相关系数与偏相关系数都较接近临界值，经过试拟合，最后用
由赤池准则 AIC(Akaike’s information criterion)和 Schwartz 的 SBC 准则筛选得拟
合的模型如下：（表 3）
图 2: 的样本自相关系数与偏自相关图
表 3： 的拟合模型
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
AR(1)
MA(2)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Durbin-Watson stat
此时，可以接受估计系数为零的原假设。同时，虽然 DW 统计量接近于 2，
但不可以接受残差服从正态分布的原假设，还需要再检验该模型的残差的正态分
布假设，做 Q-Q 图，发现残差虽然相关不显著，但不完全服从正态分布，这会
给该模型的参数估计和预测的精确性带来很多的麻烦，也会对该模型的可靠信提
出怀疑。见图 3：
图 3：残差 Q-Q 图
tz
tz
tz
再进一步检验残差，发现残差平方之间存在着序列相关，这是残差中存在
ARCH 效应或 GARCH 效应的检验方法之一，故，需要再对残差做 ARCH 效应
的 LM 检验。残差平方的自相关图于偏自相关图见图 4：
图 4：残差平方的自相关系数和偏自相关系数图
因此，可以认为在对我国股市收益率的分布拟合中，ARMA 模型不是最理想的。
模型的拟合及预测
ARCH 模型的主要思想即时刻 的 的方差 依赖于时刻 的平方误差
的大小，即依赖于 。ARCH 模型的一个推广是 GARCH 模型，其中 在时间
刻 的条件方差 不仅依赖于过去的平方干扰，而且还依赖于过去的条件方差。
在经济学的许多领域，特别是金融学中应用最广的是 GARCH(1,1),尽管其形式简
单。GARCH(1,1)的模型如下：
= +
= + +
其中， 服从标准正态分布。对序列是否服从 ARCH 或 GARCH 分布的常
用检验方法有 LM 检验法和 F-统计量检验法。如果检验统计量显著大于临界值，
则接受备则假设即有 ARCH 或 GARCH 效应，需要对它进行方程的拟合。
由于{ }的 ARMA 模型中的系数显著的为零，且残差的平方存在自相关，
故，可以直接对序列{ }做 ARCH 效应检验。分别作滞后一阶至四阶的 ARCH
t tu
2
t 1t
2
1tu tu
t 2t
tz tu
2
t 0
2
11 tu
2
12 t
tu
tz
tz
的 LM 检验，检验结果发现 F-统计量以概率零大于临界值，LM 值也远远大于
临界值，拒绝原假设，这两种检验都有力的支持了残差中有 ARCH 或 GARCH
效应存在，且比较明显，，说明该序列是序列相关的。又考虑到原模型的拟合并
不十分合适，故用 ARCH 模型对其再进行拟合
表 4：ARCH LM 检验结果
ARCH(1) F-statistic
LM
Probability
ARCH(2) F-statistic
LM
Probability
ARCH(3) F-statistic
LM
Probability
ARCH(4) F-statistic
LM
Probability
经过检验可以用 ARCH 模型来拟合该序列，拟合结果如下:
（1）ARCH(1)模型的拟合检验中发现 R2 与校正的 R2 都为负，这是一种比
较特殊的情况，回归系数不显著为零，可以接受该模型，同时，赤池信息准则与
施瓦兹信息准则都较小，DW 统计量也接近于 2，残差不自相关并且对残差进一
步的检验发现残差近似的服从正态分布，故可以认为该模型的拟合程度较好。拟
合的模型和残差检验见表 5 和图 6：
表 5：ARCH(1)模型拟合结果
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -06
ARCH(1)
R-squared Mean dependent var
AdjustedR-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squaredresid Schwarz criterion
Log likelihood Durbin-Watson stat
（2）GARCH(1，1)
LM 统计量较大也可以拟合 GARCH 模型，且金融数据中很多都可以用该
模型拟合，故本文对序列 也做 GARCH(1,1)模型的拟合，以便与 ARCH(1)模型
的拟合效果做比较，比较发现 GARCH(1,1)模型的新加的系数显著的不为零，对
回归残差和剩余残差的影响不大，但是降低了赤池信息准则与施瓦兹信息准则的
值，对该模型的残差进行检验，也通过了正态分布的假设检验。故该模型的拟合
是有意义的。模型的拟合结果见表 6：
图 6：ARCH(1)拟合模型的残差的正态性检验
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表 6：GARCH(1,1)模型的拟合及检验
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C -06 -06
ARCH(1)
GARCH(1)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Durbin-Watson stat
（3）预测
用已经拟合的模型做预测，预测得图形如下：
图 7：GARCH(1,1)模型的预测图
