八年级上册数学（沪科版）
第 14 章 全等三角形
三角形全等的判定
第 6 课时 全等三角形的判定方法
的综合运用
1. 理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问
题；（重点）
2. 经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进
行合情推理；（难点）
3. 培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．
（难点）
问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学
习了哪些方法？
(1)“SAS”：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)“ASA”：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
(3)“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等；
(4)“AAS”：两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；
(5)“HL”：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
问题2 全等三角形有什么性质？
(1) 全等三角形对应角相等、对应边相等；
(2) 全等三角形的面积、等.
思考：结合全等三角形的性质及全等三角形的判定，
你能说说如何证明两条线段(或角)相等？
例1 如图，已知 BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要
使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为
_____________________________ (答案不唯一)．或∠A＝∠DAC＝DC或∠B＝∠E
选用合适的方法证明三角形全等1
解析：根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一
边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以
添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等．
若根据“SAS”判定时，则可以添加 AC＝DC；
若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B＝∠E；
若根据“AAS”判定时，则可以添加∠A＝∠D.
(1) 已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用
AAS 或 ASA 判定全等；添加边的条件时只能添加
夹这个角的边，用 SAS 判定全等．若添加另一边即
这个角的对边，符合 SSA 的情形，不一定能判定三
角形全等；
方法归纳
(2) 添加条件时，应结合判定图形和五种方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意除直角三角形
外不能是 SSA.
例2 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC
上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE.
D C
A B
E
F
1
2
证明：在△ABC 和△CDA 中，
AB = CD ，(已知)
BC = DA， (已知)
CA = AC，(公共边)
∴△ABC≌△CDA .(SSS)
∴∠1 = ∠2. (全等三角形的对应角相等)
多次运用三角形全等的判定2
BC = DA，(已知)
∠1 =∠2，(已证)
CF = AE，(已知)
∴ △BCF≌△DAE .(SAS)
∴ BF = DE.(全等三角形的对应边相等)
在△BCF 和△DAE 中 D C
A B
E
F
1
2
例3 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′. AD、A′D′ 分
别是△ABC 和△A′B′C′ 的高.求证：AD＝ A′D′ .
A
B CD
A′
B′ C′D′
证明 ∵△ABC≌△A′B′C′，(已知)
∴ AB = A'B'，∠B =∠B'.
（全等三角形对应边相等、对应角相等）
∵AD，A′D′分别是△ABC ，△A′B′C′的高，(已知)
∴∠ADB =∠A'D'B' = 90°. (垂直的定义)
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∠B =∠B'，（已证）
∠ABD =∠A'B'D'，（已证）
AB = A'B'，（已证）
∴△ABD≌△A'B'D'(AAS).
A
B CDA′
B′ C′D′
∴ AD = A'D'.（等式的性质）
另证（借助“面积法”来证明）：
∵△ABC≌△A'B'C'，（已知）
∴BC = B'C'，S△ABC= S△A'B'C'
(全等三角形的对应边相等、面积相等)
∴ AD = A'D'.（全等三角形对应边相等相等）
A
B CD
A′
B′ C′D′
解：相等．理由如下：在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD
，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE 和△ABE 中，
AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS). ∴DE＝BE.
例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC
，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 某著名企
业的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明
过程；若不相等，请说明理由．
本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考
查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，
先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再
根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去
证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等
三角形一种证明方法使用．
方法归纳
C
M N
A B
D
例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA
，CB 的中点，求证：DM = DN.
在△ACD 与△BCD 中
CA = CB (已知)
AD = BD (已知)
CD = CD (公共边)
∴△ACD≌△BCD(SSS).
证明：连接 CD，如图所示.
∴∠A = ∠B.
又∵ M，N 分别是 CA，CB 的中点，∴ AM = BN.
在△AMD 与△BND 中，
AM = BN (已证)，
∠A =∠B (已证)，
AD = BD (已知)，
∴△AMD≌△BND (SAS).
∴ DM = DN.
C
M N
A B
D
1.如图，已知 AC = DB，∠ACB =∠DBC，则有
△ABC≌△ ，理由是 ，
且有∠ABC =∠ ，AB = ；
A
B C
D
DCB SAS
DCB DC
2. 已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，
求证：BD = CD.
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD
=∠CAD.在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
∠BAD
=∠CADAD = AD
∴△ABD≌△ACD (SAS).
(已知)，
(已证)，
(已证)，
∴ BD = CD.
B C
A
D
已知：如图，AB = AC，BD = CD，
求证： ∠BAD = ∠CAD.
证明：
∴∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
AB = AC
BD = CD
AD = AD
(已知)，
(公共边)，
(已知)，
B C
A
D
变式1
已知：如图，AB = AC，BD = CD，E 为 AD 上一
点，求证： BE = CE.
B C
A
D
∴ ∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
BD = CD
AD = AD
(已知)，
(公共边)，
(已知)，
∴ BE = CE.
在△ABE 和△ACE 中，
AB = AC
∠BAD =∠CAD
AE = AE
(已知），
(公共边)
，
(已证)，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴△ABE≌△ACE(SAS).
变式2
E
3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD
交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD 和△AOE 中，
∴△AOD≌△AOE(AAS).
∴ OD＝OE.
∠ADO＝∠AEO
，∠1＝∠2，
OA＝OA
，
∠BDO＝∠CEO
，
∠BOD＝∠COE，
OD＝OE
，
在△BOD 和△COE 中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴ OB＝OC.
判定三
角形全
等的思
路
已知
两边
已知一
边一角
已知
两角
找夹角
(SAS)找另一边(SSS)
找任一角(AAS)边为角
的对边
边为角
的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角
(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
