基于波动率与收益率负相关的量化投资模型
上海财经大学 汪吴薛陈
摘要:本文在回顾过往各类经典量化模型的基础上另辟蹊径，着重 前提假设仍然是围绕经济学或金融学原理而展开的。
探讨了"同一股票在不同时间的时交波动卒与时变收益率的关革"这一 例如，B-S 模型与二叉树模型提供了金融产品定价的新思路，因而
问题。在经过实证检验后，发现同一标的波动率与收益率呈负相关，即 也衍生出了所谓的以选择权为基础之投资组合保险策略(option-based
"高风险#高收益"!在构建基于波动率调控仓位的模型时，本文并不像
一些经典模型那样复杂，而是力求简洁明了，采取单变量模型策略。在
实证检验的过程中，模型选取上证综指为标的，经过模型优化，在六年
的模拟操作中共取得了 32仍4的绝对收益，相对指数的累计超额收益率
近 10例1"模型的收益卒分布与夏普指数也远远好于同期的上证综指。
因此，对于厌恶风险的投资者来说，就可以利用这种现象构造出方差小
但收益也不低的组合。本文第二部分回顾了过往各类经典量化模型并
作了相应的评价，第二部分重点论述了我们提出的理论与模型，第四部
分别总结了我们的结论。
关键词:波动卒与收益卒负相关量化投资择时能力
引言
随着股权分置改革的顺利完成以及机构投资者规模的不断壮大，
我国上市公司的质量稳步提高，投资者结构渐趋合理，投资理念趋于理
性，价值投资观念深入人心并逐渐占据了主导地位。价值投资认为任何
一种投资对象都有一种可以称之为"内在价值"的周定基准，且这种内
在价值可以通过宏观经济分析、行业分析与公司分析而获得;内在价值
决定市场价格，市场价格围绕内在价值波动，二者之间的差距最终会被
市场所纠正。因此，价值投资的核心策略就是"买人价值被低估者，卖出
价值被高估者"。
本文在回顾过往各类经典量化模型的基础上，另辟蹊径，着重探讨
了"同一股票在不同时间的时变波动率与附变收益率的关系"这一问
题。在构建模型时，我们并不像一些经典模型那样复杂，而是力求简洁
明了，采取单变量模型策略。在实证检验的过程中，我们的模型以上证
综指为标的，在六年的模拟操作中共取得了近 100%的累计超额收益
率。
一、经典量化投资模型综述与评价
目前，由于计算的复杂程度和对速度的要求，量化投资的交易过程
通常是由电脑自动来完成的，可在某些方面电脑依然不可能替代人脑。
投资若要取得成功，就需要顶尖的大脑来罗织数据、发现规律、编制最
快最好的电脑程序;此外，量化投资所使用的模型在用了一段时间之后
就会慢慢失效，因为越来越多的"山寨版"会出现，闵而需要不断发现新
的模型以走在这场军备竞赛的前列，而此时需要的就是配备精良、高速
运作的人脑。由此可见，模型在量化投资的整个体系中居于核心地位。
近几十年来，西方理论界与实务界均诞生了不少量化投资模型，大力推
动了量化投资的发展，这其中又大致可分为三大类:传统的基于经济学
意义的模型 (structural model) 、现代的基于数学、统计学意义以及计算
机原理的模型 (statistical model) 、程序化交易模型。以下就这三者分别
予以介绍。
(-H事钝筒.L-f侵略学意义~~翼型
这种模型虽然用到了一些数学与统计学的工具，但其核心思想与
66 黯橙界 MOllf哆 Chin捻
portfolio insurance , OBPI) ，如欧式保护性卖权 (protective put)策略、复制
性卖权 (synthetic put)策略和一些持仓策略-一买入持有 (buy-and
hold) 策略、停损 (stop-loss) 策略、固定比例投资组合保险 (constant
proportion portfolio insurance , CPPI)策略、时间不变性组合保障 (time
invariant portfolio protection , TIPP)策略、回定组合(constant mix)策略与
GARP(Growth at a Reasonable Price)策略等。
(二)现代崎 .L-f i生学、鲍付学意义以及计算~4. 曲曲棍型
与上述模型相比，这种模型"量化"的倾向愈加明Jm.-曾是化甚至
忽略经济学或金融学背景，基本上只是依赖先进灼数学、统计学工具与
IT 技术构建模型，进而确定投资策略。模型中应用的具体方法主要包
括参数法、回归分析、时间序列分析、被值理论、马尔科夫链、历史模拟
法、蒙特卡罗模拟法等等。
(三)程感化交晶模型
随着金融市场的日益复杂化，越来越多的复杂交易策略被设计出
来，这些交易策略很难通过传统的手工方式执行，于是程序化交易应运
而生。程序化交易是指按照预先编制的指令通过计算机程序来完成交
易的方式，可以分为决策产生和决策执行两个层面2前者是指以各种实
时/历史数据为输入通过事先设计好的算法计算得出交易决策的过程，
而后者是指利用计算机算法来优化交易订单执行的过程;也可以从交
易频率的角度，分为高频交易和非高频交易。程序化交易使得复杂的量
化交易策略得以实施，优化交易指令的执行，解放人力使之把精力更多
地集中到投资策略的研究上，最重要的是能克服人性的种种弱点与障
碍从而保证绝对的"客观性"与"纪律性"。然而，这种交易方式也引起了
诸多争议，如对速度的过高要求会造成市场的不公平、巨大的交易量可
能会增加市场的波动性、容易产生链式反应、为了盈利可能会制造人为
的价格而降低市场的有效性等等。
以上罗列了不少经典量化投资模型，它们对下文我们自己提出的
新模型起到了引导与启迪的作用。
二、我们的基于量化投资的超额收益率与波动率羡慕的新模型
上述经典量化模型均能取得成功的一个共同原因在于它们都把握
住了"数据一信息 知识"这三者阔的关系并将其应用于实际。举个例
子 :"66"是数据 ;"66 个人"引入了一定的背景，就成了信息 z把 "66 个
人"当成一个子集，将元数的该子集汇总起来加以分析，就演变为了一
种知识，即社会学。同理，以上的经典模型将过去的相关信息汇总后加
以提炼与加工，顺着 "3∞0-3∞0 点-30∞点以来的走势"这个思路，最
终得到的成果不仅包含过去与现在，还能暗含将来的内容，无疑实现了
一个飞跃。我们的模型尽管不复杂，但也遵循了上述的思路，肉此对实
际的投资决策也必定会起到一定的指导意义。
(-)Ì!t i可趣的提出
传统观点认为"高风险的股票应提供高收益勺其实，准确地说，应
该是平均波动率高的股票应比平均波动率低的股票的妖期收益率高。
投资理财
传统视角: 本文视角:
不 l，jJ 月;(~号 liiJI时期波动卒
JJ收益的关系 跚跚跚跚'
[,iJ 股票不 II;J时期波动本与
收益的关系
股票，并用卖出所得偿还融资额(设这段时间内的连续
复利计无风险利率为民股指的到期收益率为 y)。容易
得出，融资方预期收益的现值=[K-(斟酌叮e_yt。若此时
波动率上升，则看跌期权价格上升，P 增大，显然预期
收益率会下降(见图 4) 。l到 1: 传统视角与本文讪!ffJ
(三)实证松接
股价下跌 翩翩翩晦 公司杠杆程度lt{lJJn 翩翩翩翩' 波动系上升
我们在 Excel 中建立模型，进行实证分析以检验
我们的结论。样本指数选取
i皮zlJ本
上升
股价
，，-g失
因2riJ能的.fiH企解释(1)
f员n月术来
波动j率 L升
必J业;收放卒
UI
佟I:~ IIJ 能的 JIJl论自平平手 (2 )
较受市场关注的上证综指，样本时区为 2∞5111
4-2010/1 2/31 以尽力剔除股权分置可能带来的不利
影响。我们选取的数据是当日的收盘点位(数据来源于 Wind 资讯) ，而
在计算其 N 日收益率与 N 日标准差时考虑到实际的操作，便将此"N
日"定义为当天以前的 N 日且不包括当天(实际上从效果而言前后各
N/2 天〉前 N 天〉后 N 天)。当然，由于存在 N 日的时间跨度，因此也会
涉及到 20051114 之前的少量数据。
1 、波动率与指数走势对比
首先我们绘制了样本时区内波动率与指数的走势对比图(分别取
N=30 ,
50 ， 100 ，见网 5 阁 7)。从阁中我们可以直观地看出此二者的走势
的确是负相关的。
2、回归分析
接着我们运用一元线性回归分析进行进一步的定
量研究。我们分别讨论了
当)tJJf见金mL: 未来砚金流的f则在:
以下三种情况: (1)单日收益率与 N 日标准差分
析(N=IO ， 30); (2)N 日移动平均收益率与 N 日标准差
分析(N=50 ， 100); (3)N 臼累计收益率与 N 日标准差分
析(N=50 ， 100) 。最终得到的分析结果如下(见表 1←表
fli 入资金购买股票 Lj )t}]
权的资f!j=0
n月十时J 仪扣除负债后再边
HY出现
=[K_(S+P)ert)e-vt
佟14 íiJ能的王理论自丰籽(:3)
显然，这个结论针对的是不同股票的长期收益率之间的关系，也仅适用
于此种情况。
然而，现在我们要提出一个与以上问题看似雷同实则截然不同的
全新的问题:同一股票不同时间的波动率与收益率有什么样的关系?换
言之，同→股票的时变波动率与时变收益率存在何种联系?经过我们的
分析，我们认为此二者之间是呈负相关的关系(恰与传统观点相反)。以
下我们先给出自认为可能的理论解释，随后建模进行实证分析，力图从
指数的历史走势对比中验证我们的结论(见阁 1) 。
(二)可能简理抢解释
附公司的 w阳AC叮?仨王R且扣R，，(1川(υl 廿E击?L仨:言汗卅讪z♂♂《内R且R， (B灭叫性吼(悍低B，川、
司 f债竞券、股票的市场价值，R比H 代表公司的债权资本成本率，R凡5 代表公司
的股权资本成本率，t. 代表公司所得税税率 )λ，可知股价下跌会导致
WACC 上升'即公司的杠杆程度增加，则显然波动率会上升(见阁 2匀)。
(2)波动率上升会导致人们预期未来波动率也会上升，则其必要收
益率(即贴现率)也会上升。由 DDM (Dividend Discounting Model ，股利
贴现模型)，易得此时股价会下跌。这种现象称为"波动率反馈"(见图
3) 。
(3)我们可以假设这样的一个情景:融资方买入现价分别为 s 和 P
的股票以及该股票的看跌期权，期权费用为 p，然后以元风险和j率 r 借
人 (S+P)的资金予以支付，过了一段时间 t 后行权，以行权价 K 卖出该
3) 。
由表 1一表 3 可以看出，波动率与指数的确是负
相关，且从整体上而言，在拟合效果方面有 "N 日移动
平均收益率>N 日累计收益率〉单日收益率且 N 越大效果越好。不
过，仔细观察阁 6、图 7 后却发现在 2007 年年初J至 2008 年第一季度这
波大牛市期间(以下简称"异常时期")5α100 日波动率与收益率之间几
乎不存在负相关关系，甚至呈现出一定的正相关;造成这种现象的原因
可能是由于 N 取得过大，产生了钝化效应。针对这种特殊情况，以下我
们将在仓位的控制上一步步地予以优化，力争即使面对以上所述状况
仍能取得尽可能大的累计超额收益(以 N=50 为例)。
(由)构是模型
我们仍然选取较具代表性的上证综指作为样本对象，样本区间也
依旧选取股权分置改革后的 20051114-2010/12/31 ， 在模拟中不考虑交
易费用，市场冲击等因素的影响。
1 、连续调整仓位策略下的模型
第一步，我们考虑最一般的情况:连续化仓位，即此时波动率具有
较少的粘性，对指数的变动较为敏感。
在经计算所得的非零 50 日标准差中选出最大值 maxl 和最小值
minl ，则当日模拟仓位比例 hl=(m缸1- 当日标准差 )/(m田I-minl)
*100')岛，相应的当日模拟指数点位=前一日模拟点位 *[I+hl* 当日指数
实际收益率+(l-hl)* 日元风险收益率 rll)(令首日模拟点位二首日实际
点位;取年复合元风险收益率=% ，设一年内总计有 250 个交易日，
则 rll=%/250= 1%)。由此得到的实际点位、模拟点位以及累计
超额收益的关系对比如阁 8 所示，从中我们可明显看出在那段异常时
飞i. 'h;n:\ 财经界 67
、船步阶川斗咱时牺幡将以制蹋"""绵脚酬嘟嘟蛐酣酣
期累计超额收益的确如前所述是负的，因为模拟升势远远滞后
于实际升势;此外，正常情况下即使存在超额收益，却也非常有
限。
在该方法下六年来模型的最终点位为 3142 点，共取得
%的超额收益率。
由于指数的走势中可能包含许多"噪音"，而连续调整仓位
的策略中没能很好地剔除这些"噪音从而导致超额收益不够
理想，6 年来还不到 30%。
2、离散调整仓位策略下的模型
第二步，我们考虑离散化仓位，即此时波动率具有粘性，这
样可以有效规避"噪音"的影响。为此我们按时间顺序将样本区
间分成依次的 28 组，每组 50 个交易日(最后不足 50个的多余部
分舍去)，再对每组数据的 50 日标准差取算术平均代替原数据，
使得每组中的波动率为→定值。随后挑出新的波动率序列中的
最大值 m田2 和最小值 min2. 采用第一步中的方法算出此时的
日模拟仓位比例 h2 和日模拟指数点位(详见图 9)。结果我们发
现较第一种情况而言，尽管异常时期的劣势依旧，但正常情况下
的累计超额收益已有一定的提高，一般能稳定在 50%-1∞%之
间。
在该方法下六年来模型的最终点位为 3514 点，共取得
%的超额收益率。
3、优化离散模型
既然离散化仓位的效果优于连续化仓位，那么后续的改进
工作便以离散化仓位为基础。为了尽量弥补异常时期的劣势，我
们旨在设法使仓位比例相对于波动率具有更大的弹性与跳跃
度，即在剔除"噪音"的影响下使得仓位对于波动率的变化更为
敏感。
经过一番尝试，我们有了两种方案(各数据均一一对应) :
(1 )h3=h21/2, (2)h4=cos[(I-h2)* 节呵。我们按之前所述方法得到
了新的日模拟仓位比例和日模拟指数点位(详见阁 10、阁 11) ,
并得出了如下结论:方案(1)在正常情况下的累计超额收益与一
般性的离散化仓位差不多，但异常时期的劣势却大幅缩小 z方案
(2)在异常时期的劣势与方案(1)差不多，但正常情况下的累计
超额收益更高，在 1∞%左右。由此可见，以余弦函数为支撑的离
散化仓位是我们的最优方案。
在该方法下六年来模型的最终点位为 3659 点，共取得
%的超额收益率。
在该方法下六年来模型的最终点位为 4024 点，共取得
%的超额收益率。
4、实证效果分析
从图 11 中可以发现该模型在指数下降时具有较强的避险
功能，正是基于此种避险的效应才取得了如此之高的超额收益
率;此外，该模型的走势与上证综指相比也显得更为稳健。
最后，为了进一步判断方案的有效性，我们分别计算了基于
余弦函数的上证综指六年模拟单日收益率分布(见图 12)和上证
综指六年实际单日收益率分布(见阁 13)并作了对比，发现二者
的相似程度非常高，而且我们的以余弦函数为支撑的离散化仓
位控制模型在收益率分布上具有更小的标准差，且具有更高的
夏普指数，更加证明了该模型的有效性。
总体来看，本文论述的模型在收益率分布上标准差更小，IlP
具有更高的夏普指数，且与上证综指的收益率分布相比出现极
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近6年指如0日;波动率与其点位的走势对比
投资理财
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投资理财
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变 6 6 2 9
。 9 6 1
由于该模型的仓位水平是基于波动率分布来调控的，
且以六年内 50 日标准差的最大值与最小值作为上下限，
故该模型具有很强的自相关性，且在实际操作中存在一定
的滞后性。
另外，在实证模拟中未考虑市场摩擦、冲击系数、流动
性不足的可能性，故据此实际操作的效果与理论模拟出的
效果存在一定的偏差。
该模型也与其他量化模型有所不同，适用范围可能较
小，仅适用于股票市场。
由于期权期贷市场存在零和博弈效应、波动旦在与期权
价值正相关、期权的收益呈非线性等原因，故不适用;对于
债券市场而言，由于全国银行间债券市场与证交所债券市
场存在市场分割、部分债券流动性不足、波动率变化不明
显等原肉，故该模型亦不适用于债券。
结论
我们不仅通过实证分析验证了先前我们的猜测一一
同一股票的时变波动率与时变收益率皇负相关关系一一一
的正确性，而且一步步构造出了以此规律为核心、以余弦
国数为支撑的离散化仓位控制模型，其以上证综指为投资
标的，不考虑选股能力而仅依靠择时能力，在 6 年内取得
了近 1009岛的超额收益率。该模型应该能有助于机构投资
者更好地研判大市与战胜市场。
纵观全文，我们得出了以下结论:
(1)单只股票在不同时期的波动率与收益率呈负相关关
系。
(2)基于波动率与收益率负相关关系建立的仓位模型
里，离散化调整仓位策略更有效地剔除了"噪音"带来的
干扰，其模拟的效果也优于连续化调整仓位策略。
端值的概率更小，风格也更为稳健。虽然该模型的偏度与峰值和上证综 (3)在剔除了"噪音"的干扰后，仓位对于波动率的变化
指相比，更偏离正态分布，但由于两者收益率分布的均值与方差都不 越敏感，其取得的累计超额收益率也越高。
间，故偏度与峰值仅作参考，不能作为对比收益率分布效果的依据。 (4)整个模型的风格较为稳健，具有极强的避险功能，且收益率分布
(五)棋型的缺陷 的标准差比上证综指更小，具有更高的夏普指数。
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投资理财
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--上证综指收盘价(泊--开平方根扩大仓位调整策略一叫累计超额收益
阁 10 rJl )1"1'打拟两数导 tH扩大化仓位的实 ìli 佼拟
(5)本文所构建的模型具有自相关性，在实际操作中可能存在一定
的滞后效应，且不适用于债券与衍生品市场。
参考文献:
[1]中国证券业协会.SAC 证券业从业资格考试统编教材 (20. 10)之
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由余强函数导出扩大化仓位的实证模拟 ;
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