影子价格
影
子
价
格
对偶最优解的经济含义――影子价格
代表着当第i个右端常数增加一个
单位时，最优目标函数值的相应增量。
其含义是在目前已给定的情况下，最
优目标值随资源数量变化的变化率；
其经济含义是为约束条件所付出的代
价。
当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1
就是影子价格向量。
影
子
价
格
举
例
A B C 拥有量
工 时 1 1 1 3
材 料 1 4 7 9
单件利润 2 3 3
影
子
价
格
举
例
y*1=5/3, y*2=1/3
即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。
分析：
1. y1=5/3说明在现有的资源限量的条件下，
增加一个单位第一种资源可以给企业带来5/3元
的利润；如果要出售该资源，其价格至少在成本
价上加5/3元。
如果y1为0，则表示增加第一种资源不会增加利
润，因为第一种资源还 没有用完。
影
子
价
格
影子价格是根据资源在生产中
作出的贡献而作出的估价，这
种估价不是资源的市场价格。
它反映了在最优经济结构中，
在资源得到最优配置前提下，
资源的边际使用价值。
单纯形表中松弛变量所对应的
检验数的相反数是在该经济结
构中的影子价格，也可以说对
偶问题的最优解向量是结构中
的影子价格。
影
子
价
格
的
基
本
性
质
定理1：在某项经济活动中，在资源
得到最优配置条件下，
此定理的经济意义：
（1）若生产一个单位第j种产品按消耗
资源的影子价格计算的支出等于销售
一个单位该产品所得收入，则可生产
此产品。
（2）如果生产一个单位的第j种产品按
所消耗资源的影子价格计算的支出大
于销售一个单位该产品得到的收入，
则不宜生产此产品。
影
子
价
格
定理2：在某项经济活动中，在资源得到
最优配置条件下，
（1）若第种资源供大于求，即
则该项资源的影子价格为0
（2）若第种资源供求平衡，即
则该项资源的影子价格大于等于0。
| 影子价格越大，说明这种资源越是相对紧
缺（根据影子价格确定资源采购,当市场
价格低于影子价格，就买进资源，当市场
价格高于影子价格，就卖出资源）
| 影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺
| 如果最优生产计划下某种资源有剩余，这
种资源的影子价格一定等于0
影
子
价
格
举
例
A B C 拥有量
工 时 1 1 1 3
材 料 1 4 7 9
单件利润 2 3 3
y*1=5/3, y*2=1/3
即工时的影子价格为5/3
，材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价
格低于1/3，则企业可以
购进材料来扩大生产，反
之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
影
子
价
格
的
特
点
和市场价格的比较
市场价格 影子价格
商品的价值的货币
表现
资源最优利用时的边际
价值
随着市场的供求情
况和有关方针，政
策的变化而变化。
随着经济结构的变化而
变化，同一资源在不同
的经济结构中影子价格
不同。
它的制定含定价者
的主观因素
它的形成完全由经济结
构的客观条件确定。
它的制定是个比较
复杂的过程，不存
在统一的计算公式。
它的计算是比较容易的。
用单纯形法求得
影
子
价
格
的
特
点
继续比较
任何一种商品的
市场价格都不可
能为0
影子价格可以为0
，当资源过剩是，
其影子价格为0
市场价格为已知
数，相对比较稳
定。
影子价格则有赖于
资源利用情况，是
未知数。因企业生
产任务，产品的结
构等情况发生变化，
资源的影子价格也
随之改变。
灵敏度分析
灵
敏
度
分
析
在生产计划问题的一般形式中，A代
表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，
而C代表企业产品的市场状况，在这些因
素不变的情况下企业的最优生产计划和最
大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
在实际生产过程中，上述三类因素均是
在不断变化的，如果按照初始的状况制订
了最佳的生产计划，而在计划实施前或实
施中上述状况发生了改变，则决策者所关
心的是目前所执行的计划还是不是最优，
如果不是应该如何修订原来的最优计划。
灵
敏
度
分
析
更进一步，为了防止在各类状
况发生时，来不及随时对其变
化作出反应，即所谓“计划不
如变化快”，企业应当预先了
解，当各项因素变化时，应当
作出什么样的反应。
灵
敏
度
分
析
设线性规划问题：
maxZ=CX
. AX=b
A代表企业技术状况
b 代表企业资源状况
C代表企业产品市场状况（利润)
这些因素不 变的情况下，企业最
优生产计划和最大利润由线性规划
的最优解和最优值决定。
灵
敏
度
分
析
最优化后分析，可归为以下两类问题：
1）当系数A，b，C发生改变时，目前
最优基是否还最优？
2） 为保持目前最优基还是最优，系
数A，b，C的允许变化范围是什么？
假设每次只有一种系数变化
灵敏度分析包括以下五种：
①目标系数C变化
基变量系数发生变化；
非基变量系数发生变化；
②右端常数b变化
③增加一个变量
④增加一个约束
⑤技术系数A发生变化
灵
敏
度
分
析
CB X
B
cj CB CN
xj
b XBT XNT
CBT XB B-1b B-1B B-1N
－Ｚ - CB B-1b CB- CB B-1B CN- CB B-1N
若B是最优基，则最优表形式如下
灵敏度分析总是在最优表上进行
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 X5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 X5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 X5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
3-2*（-1）-3*2=-1
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
价值系数CN发生改变
C3
C3-4
如果C3>4,则目前解不再是最优解,应该用单纯形方
法继续求解,否则解不变。即对于C3而言,使最优
解不变的条件是C3≤4。
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 5 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 ∞
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 1
－Ｚ -8 0 0 1 -5/3 -1/3
价值系数CN发生改变
2 x1 2 1 1/2 0 7/6 -1/6
5 x3 1 0 1/2 1 -1/6 1/6
－Ｚ -9 0 0 -3/2 -1/2
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
价值系数CB发生改变
C1-3
C1
C1
1-4/3C1 1/3C1-1
C1-3 ≤0, 1-4/3C1≤0, 1/3C1-1≤0
¾ ≤C1≤3
若C1<3/4 则x4进基，x1出基
若3< C1 则x3或x5进基，x2出基
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 1/2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
1/2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 3/4
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 ∞
－Ｚ -13/2 0 0 -5/2 1/3 -5/6
价值系数CB发生改变
0 x4 3/4 3/4 0 -3/4 1 -1/4
3 x2 9/4 1/4 1 7/4 0 1/4
－Ｚ -27/4 -1/4 0 -9/4 0 -3/4
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 4 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
4 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 ∞
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 3/2
－Ｚ -10 0 0 1 -13/3 1/3
价值系数CB发生改变
4 X1 3 1 1 1 1 0
0 X5 6 0 3 6 -1 1
－Ｚ -12 0 -1 -1 -4 0
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
b1
4b1/3-3
3-b1/3
9/4≤b1 ≤9
-3-5b1/3
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 2 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 -1/3 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 7/3 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -19/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
右端常数b发生改变
0 X5 1 -3 0 3 -4 1
3 X2 2 1 1 1 1 0
－Ｚ -6 -1 0 0 -3 0
最小比值 1 1
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 12 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 13 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 -1 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -23 0 0 -1 -5/3 -1/3
右端常数b发生改变
2 X1 9 1 4 7 0 1
0 X4 3 0 -3 -6 1 -1
－Ｚ -18 0 -5 -11 0 -2
最小比值 5
灵
敏
度
分
析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
b2
4-b2/3
b2/3-1
3≤b2 ≤12
-b2/3-5
灵
敏
度
分
析
增加一个变量
若企业在计划期内，有新的产品可
以生产，则在知道新产品的单位利
润，单件资源消耗量时，可以在最
优表中补充一列，其中的前m行可
以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验
数行也可以由与其它列相同的方法
计算得到。若检验数非正，则原最
优解仍为最优，原生产计划不变，
不生产这种新产品；否则，当检验
数为正时，则应以该变量进基，作
单纯形迭代，从而找出新的最优解。
灵
敏
度
分
析
例2－11
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 3/5
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 6
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
5
x6
2
3
x6
5/3
1/3
2/3
5 x6 3/5 3/5 0 -3/5 4/5 -1/5 1
3 x2 9/5 -1/5 1 11/5 -3/5 2/5 0
－Ｚ -42/5 -2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
灵
敏
度
分
析
增加一个约束
在企业的生产过程中，经常有一些突发
事件产生，造成原本不紧缺的某种资源
变成为紧缺资源，对生产计划造成影响，
所以需要增加约束条件。
1）若把目前的最优解代入新增加的约束，
能满足约束条件，则说明该增加的约束
对最优解不构成影响，即不影响最优生
产计划的实施。
2)若当前最优解不满足新增加的约束，则
应把新的约束添到原问题的最优表内新
的一行中去，用对偶单纯形方法来进行
迭代，求出新的最优解。
灵
敏
度
分
析
例2－12
增加约束
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
0 x6 5 2 2 1 0 0
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
0 x6 5 2 2 1 0 0
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3
0
x6
0
0
1
0
0
1
0
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 3 1 1 1 1 0
0 x5 9 1 4 7 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3
灵
敏
度
分
析
例2－12
增加约束
C
B
XB
cj 2 3 3 0 0 0
xj
b
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 0
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 0
0 x6 5 2 2 1 0 0 1
2 x1 1 1 0 -1 4/3 -1/3 0
3 x2 2 0 1 2 -1/3 1/3 0
0 x6 -1 0 0 -1 -2 0 1
－Ｚ -8 0 0 -1 -5/3 -1/3 0
最小比值 1 5/6
灵
敏
度
分
析
A中元素改变
如果N中数据改变，可以用增加一个变
量来处理
如果B中元素改变，则情况较复杂，一
般需要修改问题后重新求解
