!现代管理科学!!""#年第 $%期
一!引言
当今!随着我国证券市场的不断成长!股民与机构不
再满足投资于单调的少数几个股票!俗话说"不要把鸡蛋
放在一个篮子里#就是这个道理$ 在 !"#$ 年!马柯维茨和
威廉%夏普提出的投资组合的理论则是现代投资组合理论
的基础!之后许多的专家不断地深入研究!提出了许多的
改进模型!在这些当中风险证券的评价指标有两个&投资
收益率均值和收益率方差!然而这些基于风险最小化的投
资组合决策模型虽然在一定程度分散了非系统风险!然而
往往不能全面权衡组合收益与风险之间的关系!并且时常
出现比单个投资的最小收益率还要低的情况$因此本文运
用差异系数思想来分析!并通过主成分分析的方法综合考
虑各个证券的风险和收益率!采用收益率的协方差阵的特
征根刻画投资的风险%然后用差异系数分析%使得单位的风
险对应的收益极大化的投资组合指标!作为投资决策的依
据%并运用了一个例子作为实证研究$
二!马柯维茨理论模型及其局限性
首先假设有 & 个风险证券进行投资!其收益率分别为
’(!’$!’!’&!用向量 ) 表示!)*(’(!’+!’!’&),!则 ) 为随机
变量-其期望收益率为 .())*(!(!!+!’!!&)$
反映各个证券的期望收益率$ 方差 "//*"/+*0(’/)为第 /
种证券的风险!协方差 "/1*"1/*234(’/!’1)(/!1*(!+!’!&)反
映了第 /种证券与第 1 种证券收益率的相互关系-5*("/1)&!&
为协方差矩阵(正定矩阵)$设 6*(7!!2!’!7&),表示证券的
投资比例向量!满足 #7/*!%则组合的投资收益率为&
8*9,6*’!7!:’$7$:!’!:’&7& (!)
期望收益率为&
.(8)*.(9,6)*!!7!:!$7$:!’!:!&7& ($)
那么投资者可以通过下面的模型确定最优投资组合&
;/&"$*6,56 (<)
.(8)*.(9,6) (=)
&
/ * !
"7/*!
该模型没有考虑卖空的情形! 即投资比例是负的情
形!然而实际上卖空在现实中是很难实现的!所以基于此
我们得到下列模型&
.(8)*.(9,6)
&
/ * !
"7/*! (>)
7#?
(=)*(>)是在允许卖空与非卖空的情形下马柯维茨的
均值+++方差模型!他们的理论意义是在确定的收益情况
下!组合风险最小的投资组合方式$ 模型(<)在给定的矩阵
5 正定的情形下!可以求得最优解,然而模型(=)即在不允
许卖空并且持有的股票数 &$$!针对这种情形!虽然有些
专家给出了一些解决办法!但由于问题的复杂!因此还没
形成定论$
三!主成分的差异系数分析
基于马柯维茨模型的局限性!他求出的解并没有直接
反映出投资组合的期望收益率 @ 与风险 " 之间的内在均
衡关系$我们引入差异系数 @A" 这个概念来分析!以差异系
数最小化的投资组合的解来决定投资比例$ 差异系数 @A"
的经济含义是投资者在单位收益率下的风险!他很好地反
映了投资组合的收益率与组合风险的均衡关系$ 我们通过
收益与风险的比值为目标函数!其最小化时的组合比例即
为所求解$ 由于这个比值可能为负!即收益率可能出现负
值的现象$ 因此我们设模型如下B
随机变量 C!他的数学期望为 . 方差为 $$!那么差异系
数为 $A.
我们目标函数为&DE’(F)".$A$$ (G)
变量 F 被称为信噪比!他是在无线电通信领域提出来
的!用来描述接收机功率的信号功率!他们两者之间的比
值即为信噪比!信噪比越大!通信效果越好$ 我们在这里用
(G)作为目标函数!他正好与差异系数成反比并且克服了
出现负值的可能$
主成分分析是数学变换的方法!通过线性变换!把一
组变量 5*(4H!4$-’!4&)转换为不相关的一组特征向量 I*
(@!!@$!’!@&)!并且在这种变换中保持变量 5 的总的方差
不变$ 同时使得 @!对应的特征值 $!具有最大的方差即代
表最大的原来 5 的方差!我们称 @!为第一主成分!相应的
基于差异系数变型的投资组合的研究
%吕声浩 罗 建
!!!!!!摘要"!"#$%&’()*+,-./0123456789:;<=>+?@ABCDEFGHH%7;IJ
KLM./+NOPQRSTUV+WX9YZ[\]’()*,-./L^+_‘aVPbcde,-./<=fg
X+h‘P\ijk&Rlmnnnolmpqrst+,-./uvPw9jkxyst+z{|b}~
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!金融证券
!"#& &
万方数据
!现代管理科学 !!""#年第 $%期
特征值 !!具有次大方差!"!称之为第二主成分!"#主成分!
特征值为 !$"!同时由于 !!#!%"!!"!"!!&$等于 ’的积#()*$%
我们得到&+,-./ 0!! #1$
$
2 0 3
""24()5#678 #6$
通过#6$我们只要从 ! 中选取 !3!!!!’!!$ 和对应的
特征向量 "3!"!!"!"$!然后通过(!$式求得 9!再由(:$判断
得到符合条件的 "$!单位化!其向量的各元素平方即为证
券的投资比例%
四!实证分析
我们任意选取 7 个股票 %: 个月的收益率和方差的数
据;
收益率的协方差为&
<=>6> ?@A 3=36@ B?@ A=C6A D>@ 3=@DB A>D D=:CB B@A
3=36@ B?@ ?=3>A :3A >=@>A BC6 D=C6? ?AC 3=C:? A::
50 A=C6A D>@ >=@>A BC6 3>=?D: 6C D=ADC ?>D ?=?36 6@A
3=@DB A>D D=C6? ?AC D=ADC ?>D C=AD: 6C6 ?=DBC >6D
D=:CB B@A 3=C:? A:: ?=?36 6@A ?=DBC >6D @=CA> 3D:
此协方差阵用 EFEE主成分分析的&
特征值及其方差贡献率&
由特征值及其方差贡献分析得; !3)!D的累计方差贡
献率为 6B=A6G8$6C8! 由主成分分析的思想我们可以选
取主成分 3 和主成分 D 特征向量代替原协方差矩阵!其对
应的特征向量为&
特征向量 "30(>=@A?!>=@:A!>=6CB!H>=?>@!>=A>:$I
特征向量 "D0JK>=3C6!K>=3@L!>=>?D!>=6?B!>=6@3MI
所以其期望收益率为 &.(0>=>33 B: .(0
>=>>C D>: 则目标变量
O303=BB3 :9K>CPOD03=>@9K>C QRS(T3!TD$0T3
因此我们选择 O3作为主成分分析结果作为综合性指
标来反映六支股票组合的绝大部分方差即风险*则由主成
份分析的六支股票的投资组合比例为& 特征向量 "3单位
化!(>=A3D 3>A!>=AA3 B6U!>=D:D B:G!>=>C@ 6G6!>=>AA C$也
即是六指股票的投资比例*所得投资组合的期望收益率为
>=>>B BD@!风险方差为 >=>>> A>D*
五!结束语
3# 通过对马柯维茨模型的改进!我们研究了在持有股
票数 &$D 且不存在卖空的情形下V 用主成分刻画投资的
风险!更直观综合地反映了证券市场的信息*
D$ 由于收益与风险呈正比!用主成分的信
噪比作为指标! 得到了不同于马柯维茨的模
型!并且避免了马柯维茨系统追求风险最小的
决策目标!同时也符合人们的决策习惯*
A$ 我们通过变化差异系数推导出 "D4#D来
建立效用函数!在主成分分析时!由于各个主
成分相互独立!我们可以通过主成分之间的线
性组合得到期望的收益 ! 即具体的投资决
策+++卖空与非卖空的投资组合比例*
G$ 然而本文的方法在客观上由于追求单
位风险的收益容易导致积极的投资策略!而忽
略绝对的风险水平*
参考文献"
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标准差 >=>D> D>3 >=>D> DCB >=>AD D@3 >=>DA >6 >=>A> 6B3
主成分 特征根 ! 方差贡献率W 方差累计贡献率8
3 D=B@? CC=66 CC=66
D 3=CBC A3=C>? 6B=A6?
A >=A63 B=:DA @C=>>B
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!金融证券
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万方数据
