第九部份 假設檢定 1.瞭解假設檢定的基本概念與型Ⅰ錯誤與型Ⅱ錯誤。 2.熟習假設檢定的步驟。 3.學習一尾與兩尾假設檢定的方法。 4.學習傳統檢定方法與P值法。 β5.瞭解值、作業特性曲線與檢定力函數。 6.瞭解母體平均數的假設檢定的方法、步驟及其應用。 7.瞭解母體比例、母體變異數的假設檢定的方法、步驟及其應用。 8.瞭解檢定時，在控制、的水準下，樣本數的選擇。 αβ一、 統計推論 假設檢定是統計推論的第二個類型。它也有很廣泛的應用。 假設檢定的意義 : 對有關母體參數的假設，利用樣本的訊息，決定___________該假設或__________該假設的統計方法。 為了解其概念，我們將從非統計假設檢定開始。 (一) 假設檢定的非統計應用 刑事審判是假設檢定的非統計的例子。 審判中陪審團必須在兩個假設中做決定。 ＞ 虛無假設(null hypothesis)為 H: _________________ 0＞對立(alternative) 或研究假設(research hypothesis)為 H: _________________ 1 在統計的術語宣判被告有罪 等同於________________________________ (rejecting the null hypothesis in favor of the alternative) 。 也就是，陪審團認為有足夠的證據做出被告有罪的結論(有足夠的證據支持對立假設)。 宣判被告無罪如同說________________________________ (not rejecting the null hypothesis in favor of the alternative)。注意陪審團並不是說被告是無罪的，只能說沒有足夠證據支持對立假設。這是為什麼我們從不說我們支持虛無假設。 (二)有兩種可能的錯誤。 (1) 型 I 錯誤(Type I error) ：發生於 ________________________________發生於當我們拒絕了一個真實的虛無假設。在刑事審判中，犯型 I 錯誤是_______________________________。 Part 9-1
(2) 型 II 錯誤(Type II error) ：被定義成不拒絕一個錯誤的虛無假設。型 II 錯誤的發生是_______________________________。 (3) 犯型 I 錯誤的機率被表示成 α (希臘字母alpha) ，它也被__________________。 犯型 II 錯誤的機率被表示成 β (希臘字母beta ) 。兩種錯誤的機率α 和 β 是＿＿＿＿＿，意思是試圖降低其中一個將會造成另外一個的增加。 (4) 在我們的刑事審判制度，＿＿＿＿＿被視為是比較嚴重的。制度的安排是將犯型 I 錯誤的機率 α 設得很小，藉由將舉證的重擔放在原告(控方必須證明被告有罪， 辯方無需證明任何事情)，陪審團只有在「證據超過合理的懷疑」時才得以宣判有罪。 (三)有兩種可能的錯誤。 1. 有兩個假設，為＿＿＿＿＿＿與＿＿＿＿＿＿。 2. 檢定的程序以假設＿＿＿＿＿開始。 3. 過程的目的是要決定是否有足夠的證據去推論對立假設是真的。 4. 有兩種可能的決策： ＞ 結論認為有足夠的證據去支持對立假設。 ＞ 結論認為無足夠的證據去支持對立假設。 5. 任何檢定皆有兩種可能的錯誤。 型 I 錯誤 (Type I error) : 拒絕一個真的虛無假設 型 II 錯誤 (Type II error): 無法拒絕一個錯誤的虛無假設 犯型 I 與型 II 錯誤的機率是P ( 型 I 錯誤) ＝______ ; P ( 型 II 錯誤) ＝ ____ 二、 假設檢定之基本概念 (一) 假設檢定(test of hypothesis) : 對母體參數作出一適當的假設，然後根據隨機抽樣之樣本，利用樣本統計量之抽樣分配來決定接受或 拒絕假設的過程。 (二) 統計假設(statistical hypothesis) : 對一個或多個母體參數的一個推測。 例1：以下為幾個統計假設的例子： (1) 中華沙拉油的平均容量大於3公升。_______ (2) 台灣電腦公司所生產的電腦之不良率小於。_____ (3) 福特汽車公司所生產的Tierra與Mondeo汽車具有相同的汽車耗油率。_______ (4) 消費者對於某餐廳服務品質之期望與認知沒有差異（即無服務品質缺口）。 _________ (5) 不同年齡層之民眾對網路電話使用意願具有差異性。 __________ Part 9-2
有兩個假設。一個被稱為______________，另一個被稱為____________。 通用的符號表示法: H0: — 「虛無假設」 H1: — 「對立」或「研究假設」 (1) 虛無假設(null hypothesis)：通常為研究者欲推翻之統計假設，即假設檢定中之主要假設，一般以 H0 表之。 (2) 對立假設(alternative hypothesis)： 假設虛無假設不成立，即虛無假設之互補假設，一般以 H1 表之。 例2：某手機業者宣稱其手機之平均待機時間為96小時，請問消費者欲檢定此手機業者之宣稱是否為真，請問該如何假設？ 根據樣本統計量所定訂拒絕範圍的不同，可將假設檢定的形式分成以下兩種： (1)單尾檢定(one-tailed tests)： 當樣本統計量僅在大於某個數值或小於某個數值之其中一種情形之下拒絕H0之檢定。若拒絕 H0為樣本統計量大於某個數值時，則此單尾檢定又稱____________； 反之若小於某個數值時，則稱____________。 α拒絕域接受域接受域拒絕域臨界值臨界值左尾檢定 右尾檢定 (2)雙尾檢定(two-tailed tests)： 當樣本統計量大於某個數值或小於某個數值均可能拒絕H0之檢定。 例3：(1) H:µ≥250&H:µ<250; __________ 01 (2) H:µ=250&H:µ≠250；__________ 01 (3) H:p≤&H:p> 。__________ 01 請問上述何者為單尾檢定之假設，何者為雙尾檢定之假設？ Part 9-3
拒絕虛無假設的範圍稱之為___________或________(critical region)。 以 H:µ=5&H:µ≠5為例：若訂定拒絕域為{x> 或 x<} ，其拒絕域與01接受域之範圍如下所示： 雙尾檢定與單尾檢定 單尾檢定雙尾檢定單尾檢定（左尾）（右尾） (三) 型 I 錯誤 當虛無假設H 為真而拒絕 H ，稱之為_____________。 00 造成型 I 錯誤的機率以α 表示，定義如下：_____________________________；α又稱為__________________， 為容許犯型I 錯誤的最大機率。 型 I 錯誤(Type I error) 發生於當我們拒絕了一個真實的虛無假設。 (四) 型 II 錯誤 當虛無假設 H非真而接受 H，稱之為_____________。 00 造成型 II 錯誤的機率以 β 表示，定義如下：_____________________________ (**) ____________稱為檢定力 (power of the test) 型 II 錯誤(Type II error) 發生於當我們不拒絕一個錯誤的虛無假設(例，沒有拒絕 H0，當它是錯誤的)。 事實 被告是無罪的 被告是有罪的 決策 (H 為真) (H 為假) 00被告宣判有罪 (拒絕 H) 0被告宣判無罪 (不拒絕 H) 0 Part 9-4
例4：一常態母體之變異數為5，今對 此母體平均數作以下之假設，H:µ=5&H:µ≠5，並決定其拒絕01域為 C={x>或x<} 。 請問以樣本個數為20之一組樣本所得之樣本平均數來檢定母體平均數所造成之型 I 錯誤之機率，α 值為何？ 例5：承例 4，若µ=6 時，求造成型 例6：承例4，若拒絕域改為{}II 錯誤之機率 β 值。C=x>6或x<4，求 α值及β 值。 檢定統計假設的兩種方法如下： (1) 臨界值法(critical value method)： 給定顯著水準α值，然後決定拒絕域後，再依所得之樣本，計算其樣本之統計量(即為檢定值)，最後再判定上述檢定值是否落在拒絕域中。 (2) P 值法(P-value method)： 在H為0真的條件下，計算由給定之樣本導致拒絕H 的最大機率。不論是單0尾或雙尾檢定，若P 值小於α值，則拒絕虛無假設H，否則便勉強接0受H。 0(五) 假設檢定步驟 (1)建立假設(虛無假設與對立假設)。 (2)選擇檢定之統計量，並給定顯著水準α值。 (3)決定檢定方法(臨界值法或P 值法)，若選擇臨界值法，則決定拒絕域。 (4)蒐集樣本並計算檢定值。 (5)下結論： 臨界值法：__________________________________________ Part 9-5
P 值法 ：___________________________________________ 第一部份練習題: (1) 參加推薦甄試是進入大學的管道之一。當參與甄試的教授群看過一個學生的申請文件並進行過口試後，就必須在下面兩項選擇中做一個決定（資料來源：實例）： H:該生具發展潛力0 H:該生不具發展潛力1「錄取該生，但日後發現他的學業表現不佳」為何種誤差？（Type Ⅰ還是TypeⅡ）；其機率表示為α還是β？ 「未錄取該生，但日後發現他在其他學校的學業表現優異」為何種誤差？（TypeⅠ還是TypeⅡ）；其機率表示為α還是β？ 「提高錄取標準」是增加___________而減少___________。（請填α或β） 「放寬錄取標準」是增加___________而減少___________。（請填α或β） (2) 針對中共軍事演習，我方必須嚴陣以待，以防其假戲真做。設有一雷達監視員，當雷達上有不明飛行物體，他必須在下兩項中做一決定： H:一切良好,只是偶然干擾而已0 H:有敵機來襲1αΙΙΙ「錯誤警報」為何種誤差？（Type or Type ）；其機率表示為（填，β）。 α「疏忽而未放警報」為 ___________ 誤差，其機率表示為___________ （ 填β,）。 αβ「寧可錯放警報」為___________ 增加而___________ 減少 （填,）。 (3) 下列各小題中，請寫出虛無假設與對立假設各為何，以及該採左尾、右尾或雙尾檢定： 交通部統計97年春節期間在除夕前使用國道高速公路的民眾中，高達%對行車路況表示滿意。為明瞭每年春節期間國道使用滿意情形，交通部於98年春節期間又進行調查，結果發現98年度滿意度為%。（資料來源：「98年春節期間高速公路用路人滿意度調查」， 2009年2月。）98年春節期間高速公路用路滿意度是不是低於97年？ 一份航空服務監督團體的報告指出，2007年全球航空公司託運「處理錯誤的行李」就有四千兩百萬件，其中超過一百萬件行李「永遠找不回來」。英國引述這份報告說，對行李遺失表現最差的是某些較廉價的航空公司。被指名之一的萊恩航空駁斥報告說法「可笑」，稱它們2007年行李遺失不到10,000件。某一消費者保護團體覺得萊恩公司說法不實，進行調查，檢視萊恩公司對消費者行李是否盡到善良保管。（資料來源：中時電子報，2009年3月19日。） 一份美國臨床實驗報告指出：喝水並不像一般觀念中認為的會排毒、減重、增加新陳代謝。 這份報告也推翻了每天喝公升的水有益健康的結果。（資料來源：「永遠擺脫過敏體質」， 2008年12月11日。）某醫學系研究生質疑此份實驗報告結果，進行人體實驗，探討此份報告結論是否有異。 因應國際原油價格的持續攀升，政府於2008年進行多次油價調整。調查結果顯示，5月油價上漲前，民眾平常從事經常性活動時所使用的交通工具以「機車」所占比例最高，駕駛或搭乘自家汽車佔%。Part 9-6
交通部調查報告指出，油價上漲後民眾改以其他交通方式從事經常性活動。（資料來源：「油價上漲對民眾使用交通工具之影響調查」， 2008年07月。）某一汽車商看了此篇報導後，立刻展開市場調查，確定油價上升對民眾使用汽車的頻率是否下降。 三、 單一母體平均數µ之假設檢定 2σ(i) 常態母體且 已知 以為檢定值，其拒絕域與P 值如下： _________________左尾檢定： H:µ≥µ&H:µ<µ 拒絕域C={z<−z} P值=P(Z<z) 00100α0右尾檢定： H:µ≤µ&H:µ>µ 拒絕域 C= P值= 0010雙尾檢定： H:µ=µ&H:µ≠µ 拒絕域C= P值= 0010 例7：某一廠商產品重量之標準差為5公克。今此廠商宣稱其產品的平均重量恰為250公克，若隨機由該公司抽取16件產品秤其重量，得其平均數為246公克，請以顯著水準 α=檢定此廠商宣稱是否為真？(假設母體具常態分配) 方法一：臨界值法 方法二：P 值法 (1) 建立(1) 建立假設 假設(同臨界值法) (2) 選擇(2) 選擇檢定之統計量(同臨界值法) 檢定之統計量 (3) 由統 計量計算P值 (3) 決定 拒絕域 (4) 以 P值結果與顯著水準 α=比較 (4) 計算 檢定值 (5) 結論 Part 9-7
(5) 結論 2(ii) 大樣本，母體變異數σ未知 : 抽2自任意母體且為大樣本時，當樣本數n>30且母體常態母體且 σ未知 以為檢定值，其拒絕域與P 值如下： _________________左尾檢定： H:µ≥µ&H:µ<µ 拒絕域C={z<−z} P值=P(Z<z) 00100α0右尾檢定： H:µ≤µ&H:µ>µ 拒絕域 C= P值= 0010雙尾檢定： H:µ=µ&H:µ≠µ 拒絕域C= P值= 0010 例8：某個工廠過去所生產之產品平均重量為25公斤，標準差4公斤，今隨機抽取該工廠產品49件作檢查，得其平均重量為27公斤，請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明顯地改變？ (α=) Part 9-8
方法一：臨界值法 方法二：P 值法 (1) 建立(1) 建立假設 假設(同臨界值法) (2) 選擇(2) 選擇檢定之統計量(同臨界值法) 檢定之統計量 (3) 由統 計量計算P值 (3) 決定 拒絕域 (4) 以 P值結果與顯著水準 α=比較 (4) 計算 檢定值 (5) 結論 (5) 結論 2(iii) 小樣本，母體變異數σ未知 : 抽2自任意母體且為小樣本時，當樣本數n<=30且母體常態母體且 σ未知 以為檢定值，其拒絕域與P 值如下： _________________左尾檢定： H:µ≥µ&H:µ<µ 拒絕域C={z<−z} P值=P(Z<z) 00100α0右尾檢定： H:µ≤µ&H:µ>µ 拒絕域 C= P值= 0010雙尾檢定： H:µ=µ&H:µ≠µ 拒絕域C= P值= 0010 Part 9-9
例9：某一廠牌行動電話宣稱其平均重量不超過78公克，今隨機抽 取此廠牌行動電話10支，得其平均重80公克，標準差4公克。請以顯著水準 α=來檢定此廠商宣稱是否為真？(假設母體具常態分配) 臨界值法 (1) 建立(4) 計算假設 檢定值 (2) 選擇檢定之統計量 (5) 結論: _________________________________ (3) 決定拒絕域 例10：承例9，若以顯著水準 α=來檢定 例11：承例9，若蒐集之隨機樣本為100個，請問在樣本此廠商宣稱，結果為何？ 平均數與變異數不變之條件下，以 α=來檢定廠商之宣稱，結果為何？ 四、 假設檢定與信賴區間之相關性 2信賴區間之假設檢定決策法則 :在常態母體且σ已知之條件下，若 x為隨機樣本x,x,,x 之平均數且顯著水準為α，則雙尾檢定： H:µ=µ&H:µ≠µ 12n0010之決策法則如下： σσ [x−z,x+z]包含µ，則受接否則H便，拒絕Hαα000nn22 Part 9-10
第二部份練習題 (1) 一醫學報告指出，歐美婦女中乳癌患者的平均死亡年齡為55歲。我國的衛生單位認為我國的乳癌患者的平均死亡年齡低於歐美國家。國內一研究機構對36位乳癌患者所作的追蹤調查發現，患者的平均死亡年齡為52歲，標準差為6歲，在顯著水準為1%之下，試分別以 臨界值法、P值法、信賴區間檢定法，檢定衛生單位的說法是否正確。 (2) 一電腦製造商宣稱其所生產的第五代電腦終端機的壽命較第四代長，已知第四代電腦終端機的平均壽命為5年，標準差為1年。假設第五代電腦終端機的壽命呈常態分配，且其標準差與第四代相同。 甲公司購買了25台第五代電腦，發現其平均壽命為年，試問在顯著水準1%下，該製造商的宣稱是否正確？ 乙公司購買了64台第五代電腦，發現其平均壽命為年，試問在顯著水準1%下，該製造商的宣稱是否正確？ 甲，乙公司檢定結果，何者較為可信？理由。 (3) 民國98年台灣地區平均溫度為度。現於日月潭隨機抽取90天日均溫，得平均值為度，標準差為度。在顯著水準為1%下，試分別以臨界值檢定法、值法檢定日月潭溫度是否較臺灣地區低？三種檢定法的結論是否一致？ (4) 一輪胎製造商宣稱其所生產的輪胎至少可行駛6萬公里。已知這種輪胎可行駛的里程數為常態分配，且母體標準差為2,600公里。今測試16個輪胎，得其平均行駛里程數為59,000公里，試問： 虛無假設與對立假設各為何？ 在1%的顯著水準下，是否要拒絕虛無假設？ 若樣本數增為49個，樣本平均數仍為59,000公里，則題2之答案是否一樣？ 續題2，若該輪胎的真正行駛里程數為59,500公里，則檢定力為多少？ (5) 某公司為犒賞員工，舉辦一日員工旅遊預計每人花費1,800元，若不一起參加者可自行參加其他旅遊活動，並以收據向公司申請實際補助（最多1,800元）。某職員調查12家旅行社單α=日行程花費，得平均數為1,309元，標準差為450元。問在時，員工自行旅行是否較參加公司旅遊便宜？ (6) 行政院主計處調查結果顯示，民國97年11月份臺灣地區製造業員工每人每月平均工作時數為小時。假設臺灣地區製造業員工每人每月的工作時數呈常態分配。 Part 9-11
現隨機抽選25位製造業員工，調查其每月的工作時數，發現平均數為161小時，標準差為21小時。當顯著水準為時，製造業員工每人每月平均工作時數是否較97年11月份少？ 現隨機抽選100位製造業員工，調查其每月的工作時數，發現平均數為161小時，標準差為21小時。當顯著水準為時，製造業員工每人每月平均工作時數是否較97年11月份少 問與的結果，何者較為可信？理由為何？ (7) 由於信用卡發行浮濫，每年每卡消費金額降低，若已知民國94年的平均消費金額約為41,000元，每月平均消費金額約為3,400元。（月平均消費金額為分組資料估算值。自98年1月隨機抽取25人的信用卡的消費金額得平均月消費金額為3,000元，標準差為500元。 試問95%信賴水準下，建立信用卡平均月消費金額的信賴區間，並說明平均月消費金額是否下降？ 在計算時，所需用到的假設為何？ 五、 單一母體比例值p之假設檢定 (i) 單一母體比例值假設檢定之決策法則：若隨機變數X 具有二項分配b(n,p)，令X 表 次試驗中n次 事件成功之次數，則以為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： _________________決策法則之P值=P(X≤xp=p) 0左尾檢定： H:p≥p&H:p<p 0010右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= 例13：若某公司宣稱其產品不良率不 高於10％，今隨機抽取該公司產品20件，發現有 3 件不良品，請問在顯著水準α=條件下，此公司之宣稱是否為真？ (ii) 大樣本時之決策法則若隨機變數 ： 具有二項分配b(n,p)，令 X表 n次試驗中事件成功之次數，則以 為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： _________________左尾檢定： H:p≥p&H:p<p 拒絕域C={z<−z} 決策法則之P值=P(Z<z) 00100α0右尾檢定： P值= Part 9-12
雙尾檢定： P值= 例14：若某候選人宣稱其支持度至少 為30%，今隨機抽取100位該選區之選民作調查，發現支持此候選人者有25位，請以顯著水準 α=來檢定此候選人之宣稱是否正確？ 承例15，若抽樣個數為1000，而樣本 中支持此候選人者有250位，其餘條件不變下，請問結果為何？ 2六、 單一母體變異數σ之假設檢定 單一母體變異數假設檢定之決策法則：以為檢定值，其假設檢定之_________________決策法則如下： 拒絕域決策法則之2222左尾檢定：H:σ≥σ&H:σ<σ 0010C=P值=2222{(1)} P() 右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= 第三部份練習題 (1) 總統大選如火如荼，今調查某候選人之支持率，假設隨機抽出樣本數1,000，其中支持者佔615位： 試估計其支持比例。 求此候選人支持率之95%的信賴區間。 α= 檢定此位候選人之支持度是否超過6成（）。 (2) 人類發展指數（Human Development Index，HDI）係聯合國開發計畫署（UNDP）自1990 年起定期編製發布，選取壽命（零歲平均餘命）、知識（成人識字率與粗在學率）及生活水準（購買力平價計算之平均每人GDP）等3 個領域統計數值衡量一國發展概況；我國1990 年HDI 排名28，2003 年進步至25 名，展現我國在整體發展上努力的成果；就單識字率來看，2003年HDI顯示我國識字率%。（資料來源：「人類發展指數（HDI）之國際比較」，行政院主Part 9-13
計處，2004年08月12日。）為驗證此此一數值，於台北縣民中抽出500位15歲以上居民，α=發現僅有10人不識字。問識字率是否高於HDI所公佈？（） (3) 台灣地區學生體能測驗的結果顯示，上學愈久，視力不良率愈高，而且近視問題逐年惡化。教育部統計處，96學年度台北市高中高職學生的視力不良率為%。（資料來源：教育部統計處，2009年2月。）現隨機抽查180位台北市高中高職學生的視力，發現有150位視力不良。 在10%顯著水準下，台北市現在高中高職學生的視力是否較96學年度時差？ 續題，若台北市現在高中高職學生的視力不良率為82%，則檢定力為多少？ (4) 現青少年性知識不足，但性態度及性行為卻愈來愈開放。1995年所做的調查發現，從未有過任何親密行為的15~19歲男性學生所佔比例為67%。（資料來源：2001年11月27日大成影劇報所登之衛生署國民健康局人口與健康調查研究中心所做的「台灣地區高中、高職及五專在校學生之性知識、性態度及危害健康行為與網路之使用」調查結果報導。）現隨機抽取500位15~19歲的男性學生做調查。若從未有過任何親密行為的人數不小於311人，則謂15~19歲男性學生的性態度及性行為不比1995年開放。 假設現在所有15~19歲男性學生中，從未有過任何親密行為者所佔比例仍為67%，試求犯型Ⅰ錯誤的機率。 假設現在所有15~19歲男性學生中，從未有過任何親密行為者所佔比例降為58%，試求犯型Ⅱ錯誤的機率。 (5) 陳教授懷疑學生家庭作業互相抄襲，因此家庭作業成績的標準差很小。根據以往的經驗，標準差約為10分，且作業成績呈常態分配。上個星期該班共有30位學生繳交作業，作業成績的標準差為6分，試問在顯著水準為5%時，這位教授的懷疑是否獲得證實？ (6) 16.某公司生產之電腦鍵盤，要求此鍵盤長度(單位：英吋)的變異數不得超過 ，今隨機抽取 20 個鍵盤，測量其長度，得到樣本變異數為 ，試在 顯著水準 α = 下，檢定法檢定鍵盤長度變異數是否達成要求。 七、 兩母體平均數之假設檢定 (一) 獨立樣本 2(i) 常態母體且變異數σ已知：若x22{x,x,,x}、{y,y,,y}為取自於已知變異數為σ及σ之兩常態母體之獨立樣12n12mxy本，且x、y分別表其樣本平均數，以分別表其樣本平均數 為檢定_________________值，則 兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下： 拒絕域決策法則之左尾檢定：H:µ−µ≥µ&H:µ−µ<µ 0xy01xy0C={z<−z} P值=P(Z<z) 0α0右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= Part 9-14
例17 ：若某公司想瞭解A、B兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過去經驗得知此兩條生產線產品重量之標準差分別為5公克及6公克，今隨機從A生產線抽取25件、B生產線抽取36件產品，得其平均重量分別為95公克、98公克。請以顯著水準 α=檢定兩生產線平均重量是否有顯著地差異。(假設兩母體均具有常態分配) 檢定值法 P 值法檢定 (ii) 常態母體、小樣本、變異數未知但22相等：若{x,x,,x}、{y,y,,y}為取自於已知變異數為σ及σ之兩常態母體12n12mxy之獨立樣本，且x、y分別表其樣本平均數，以分別表其以 為檢________________2定值，其中 s= ，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值： p________________ 拒絕域決策法則之左尾檢定：H:µ−µ≥µ&H:µ−µ<µ 0xy01xy0C={z<−z} P值=P(Z<z) 0α0右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= (iii) 常態母體、小樣本、變異數未知且不相22等：若{x,x,,x}、{y,y,,y}為取自於已知變異數為σ及σ之兩常態母體之12n12mxyPart 9-15
獨立樣本，且x、y分別表其樣本平均數，以分別表其以 為檢定________________22ssyx2(+)值，其中 ，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值： nmv=22ssyx22()()nmn−1m−1拒絕域決策法則之左尾檢定：H:µ−µ≥µ&H:µ−µ<µ 0xy01xy0C={z<−z} P值=P(Z<z) 0α0右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= 例18：若A公司 A B 行銷人員宣稱其 樣本數 8 6 產品的容量比B 樣本平均數 104 120 公司至少多10毫樣本變異數 32 50 升。今隨機從A、B兩家公司各抽取一組樣本，得其結果如下： 假設兩家公司產品的容量均具常態分配且變異數不相等，請以顯著水準α=檢定A 公司行銷人員之宣稱是否為真？ (iv) 大樣本：以分別表其以 或 為檢定值，其中，兩母體平均數假設檢定之拒________________________________絕域與P 值： 拒絕域決策法則之左尾檢定：H:µ−µ≥µ&H:µ−µ<µ 0xy01xy0C={t<−t(v)} P值=P(T<t) 0α0右尾檢定： P值= 雙尾檢定： P值= 例19：隨機調查100位公立大學和100位私 立大學社會新鮮人之起薪，得其平均起薪分 別為公立大學28000元及私立大學27500 元，標準差均為3000，請問根據以上資料檢定公立大學和私立大學社會新鮮人之平均起薪是否有顯著差異？(顯著水準 α= ) Part 9-16
(二) 成對樣本 2令(x,y),(x,y),,(x,y)為一組成對樣本，且 d、s分別表成對樣本資料差 1122nnd之平均數與變異數，則兩母體平均數假設檢定之檢定值如下： 2(1)若母體為常態、σ 已知：Z 檢定之檢定值 Dd_____________2 (2) 若樣本為小樣本、σ 未知：T 檢定之檢定值 D_____________ (3)若樣本為大樣本、 已知：Z 檢定之檢定值 _____________2 (4)若樣本為大樣本、σ 未知：Z 檢定之檢定值 D_____________例20：公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身10 公斤，今隨機抽取15 位該公司瘦身者做測 量，發現其三個月瘦身前後之體重如下： ７０ ７０ ８２ ７６ ６６ ７６ ６２ ６８ 前 ６８ ６２ ７２ ７０ ４８ ６６ ５８ ４２ 後 差 ７２ ５４ ６０ ９２ ５８ ６５ ７４ 前 ５４ ６２ ５７ ６０ ６２ ６５ ６４ 後 差 以顯著水準α=並假設瘦身前後體重差具常態分配來檢定此公司之宣稱是否為真？ 第四部份練習題 樣本數 平均收入 標準差 (1) 政府單位想知道A與B家庭平均收入的 差異，已知兩母體變異數不相等，抽查的A市 35 401,800 20,000 結果如下：B市 40 388,000 22,000 在顯著水準為%時，檢定兩市之家庭平均收入有無差異？ 若有差異，則求其差異的99%信賴區間。 (2) 某國中舉行段考，自三年1班抽出名學生，測驗得歷史成績平均數為分，標準1285差為分。自2班抽出16名學生，測驗得其成績平均數為分，標準差為分。 9-17
自班抽出名學生，測驗得其成績平均數為分，標準差為分。假設各班的成績320897均呈常態分配，且標準差均相等，試在之顯著水準下，檢定： 1、兩班學生之歷史段考成績是否有顯著之差異。 2 班有個學生宣稱：該班此次段考歷史平均成績至少高於班分，試檢定其聲稱是315否正確。 (3) 一飲料公司推出兩種汽水，一種樣本數 平均含糖量 標準差 是普通汽水，一種是低糖汽水，該普通汽水 80 公司宣稱低糖汽水的含糖量比普通低糖汽水 50 汽水的含糖量少4公克。某人喝過這兩種汽水後，覺得甜度都差不多，故懷疑該公司有欺騙消費者之嫌。經其向消基會檢舉後，消基會抽查的結果如下： 若母體變異數相等，在顯著水準為2％時，檢定該公司是否有欺騙消費者之嫌？ 若母體變異數不等，在顯著水準為2％時，檢定該公司是否有欺騙消費者之嫌？ (4) 觀察位病人經服用藥物後體內免疫細胞指數增加情形得下列資料： 8病 人 1 2 3 4 5 6 7 8 未服用 服 用 請檢定此藥物是否能有效增加免疫細胞。 (5) 根據調查，女性多從事於商業、金融保險及不動產業、工商服務業。女性月薪接近多少呢？下表為一小規模的調查結平均月薪標準差 產業別 樣本數 果：假設女性在各產業的月薪均呈（萬元） （萬元） 常態分配，且標準差均相等，試在商業 15 之顯著水準下，請檢定： 金融保險及不16 動產業 女性在工商服務業及商業的平工商服務業 10 均月薪是否有顯著差異。 女性從事金融保險及不動產業的平均月薪是否至少比商業高2萬元以上。 (6) 某人力銀行調查也發現，雖然時代在進步，但性別 樣本數 平均月薪 標準差 「重男輕女」的觀念卻沒有改變，同樣的條件之男 196 51, 5, 下，男性的薪水會比女性高出五千到一萬元不等。下表為一小規模的調查結果： 女 196 41, 7, 若男、女性的母體變異數不等，在顯著水準為5％時，檢定男性平均月薪是否高於女性五千元以上？ Part 9-18
來台觀光主因 樣本數 平均人數 標準差 (7) 由主要市場觀察，吸引日風光景色 100 本、香港.澳門旅客來台觀光菜餚 100 主因為「菜餚」；其餘主因皆台灣民情風俗100 為「風光景色」。下表為一小和文化 規模的調查結果： 若風光景色和菜餚的母體變異數不等，在顯著水準為5%時，檢定因風光景色來台之觀光客是否多於因菜餚來台觀光人數15人以上？ 若來台觀光主因是菜餚及台灣民情風俗和文化的母體變異數相等，在顯著水準為5%時，檢定菜餚及台灣民情風俗和文化觀光客人數是否相同？ (8) 觀察台灣地區15歲以上人口做50以家事、照顧家人及教養子女的情形，年齡 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 上 無論平時或假日，女性參與率都在 1998年 75％以上。為了解隨時代變遷之下， 2002年 女性社經地位逐漸上升，而男性分擔家事的比率是否也在改變，進行調查，將20歲以上區分成七個年齡層。表為1998年與2002年20歲以上台灣男性平均調理家務時數（單位：分鐘）。假設各年齡層男性在1998年與2002年平均調理家務時數的差異為常態分配。在1%的顯著水準下，檢定隨女性社經地位上升，男性調理家務時數是否增加？ 八、 兩母體比例值之假設檢定 (i) 兩母體比例值之假設檢定(大樣本)：若兩獨立隨機變X~b(n,p)數 ， Y~b(m,p)，且 x、y 分別表兩隨機變數在n及n xyxy次試驗中事件成功之次數，以為檢定值(視虛無假設H 而定) 其中0_____________xyx+yˆˆˆp= 、 p=且p= ，則其決策法則如下： xynnn+nxyxy拒絕域C= 決策法則 左尾檢定：H:µ−µ≥µ&H:µ−µ<µ 0xy01xy0當z<−z k=0 時{}P(Z<z) 00α00當 k≠0 時{z<−z} P(Z<z) 0kα0k右尾檢定： 當 k=0 時 當 k≠0 時 雙尾檢定： 當 k=0 時 當 k≠0 時 Part 9-19
例21：為了估計行動電話在鄉村與都市的普 及率是否有顯著的差異，某研究單位於鄉村與 都市中各抽樣1000位民眾進行調查，發現鄉 村中有800位，都市中有900位擁有行動電話，試問以此資料是否可判定兩者之間有顯著差異？(α=) 九、 兩母體變異數之假設檢定 (i) 兩母體變異數假設檢定之決策法則: 若{x,x,,x}、{y,y,,y} 分別取自於兩常態母體之隨12n12m22機樣本，且s、s為其樣本變異數在兩母體變異數之假設檢定中，以 xy_____________為檢定值，則其檢定之決策法則如下 拒絕域決策法則之 22σσxxP值=P(F<f) 左尾檢定：H:≥k&H:<k 00122σσC={f<f(n−1,m−1)} yy01−α1或 {f<} 0f(m−1,n−1)α右尾檢定： 雙尾檢定： 例22：若某公司由A、B兩條不同的生產線分 別抽出16及10件產品作檢查，發現A、B兩 條生產線之樣本變異數分別為16及50，請以 顯著水準α=檢定此兩條生產線所生產之產品變異數是否有顯著地差異？(假設兩母體均具有常態分配) Part 9-20
第五部份練習題 (1) 品管圈（quality circles）是參與管理的最重要的實踐。所謂品管圈就是大約由位員工所8~10組成的工作團體。團員們定期聚會討論品質上的問南 北 題、調查問題的起因、提出可行方案，並採取矯正措贊成 40 120 施。今設福特汽車廠為了解此種制度的可行性，分別反對 60 80 在南北工廠抽出位員工，並詢問其意見，200、100得資料如表 。試檢定南北區員工對品管圈制度之意見是否相同（α=）？ (2) X理論和Y理論是管理控制的重要理論，其差別在於對人性的基本假設的不同。X理論認為員工視工作為一種懲罰，且對工作毫無抱 1 2 3 4 5 6 7 8 負，喜歡逃避責任，所以有效管理必須靠86 82 84 83 84 83 85 87 Ι 指揮、高壓、威脅等手段。但理論假設Y83 81 84 72 79 85 78 86 ΙΙ 人視工作為生活的一部份，如果管理適當，他們願意學習且主動承擔責任，所以管理者應提供一個具充份彈性的工作環境使員工尋求自我成長。大道公司總經理為了解何種理論較有效，隨機選擇了位員工分成Ι、ΙΙ組，其16中Ι組施以X理論的環境；ΙΙ組給予Y理論的環境，然後在年終給予員工績效評分如下： 檢定兩種管理方式之效果有否差異（α=）？ µ−µ 建立之信賴區間。 95%12(3) 有甲、乙兩牌電池，各抽個測得其使用時間10平均壽命（小時） 標準差（小時） 資料如下表（設使用時間呈常態分配）。試在甲 160 12 顯著水準α=之下，比較甲乙兩牌電池之平乙 120 10 均壽命，是否有差異？請先檢定甲、乙兩種電池壽命的變異數是否相等。 (4) 環保支出代表國家對環境品質重視的程度，除部 門 別 樣本數 平均環保支出 標準差 可作為環保政策釐定的參考外，亦可編製綠色政府 61 國民所得帳之參考，近年來政府及民間對環保產業 121 支出統計逐漸重視。下表為政府部門及民間產業部門97年環保支出調查結果：(單位：億元) 。 在α=下，檢定政府部門環保支出變異數是否大於產業部門？（F=） 60,120, 在α=下，檢定政府及產業部門在環保支出上是否有差異？ (5) 自二個常態母體分別獨立隨機抽取樣本數為15的二個獨樣本數 樣本變異數 立樣本如下： I 16 19 II 16 18 22 試檢定H:σ>σ，α=。 試求P值。 112Part 9-21
(6) 女性是否比男性容易手腳冰冷？針對25位男性和22位女性所做的測量結果如表。假設男性和女性的掌心溫度分配為常態。 性 別 樣本數 掌心平均溫度 標準差 男 性 25 女 性 21 在α=下，檢定男性和女性的掌心溫度的變異數是否有差異？ 在α=下，檢定男性和女性的掌心溫度是否有差異？ (7) 對每個人而言，生命的意義是種主觀的性別 樣本數 平均分數 標準差 感受，所以對生命有無意義的感受亦不男性 135 盡相同。隨機抽查250位15歲以上國女性 民，並針對個人生命意義感受度進行調115 查。共有25個問題，每一個問題的回答都分成四個分數為4、3、2、1（1代表非常不滿意；4代表非常滿意）。不同性別國民對於生命意義感受度之摘要如下表。試回答下列各題： 建立一個男性對於生命意義感受度平均分數與女性對於生命意義感受度平均分數差的95%之信賴區間。 利用 的結果說明不同性別顧對於生命意義感受度是否存在差異？ (8) 是就業人口還是非就業人口比較會定期接受身體健康檢查？為了研究國人對於個人的保健觀念，一群由醫生與公共衛生專家所組成的調查小組獨立隨機抽取自就業人口和非就業人口，共2,200人的樣本進行調查。在1200個就業人口中，有672人在過去的一年之中會定期接受身體健康檢查。另一方面，在1,000個非就業人口中，有680人在過去的一年之中會定期接受身體健康檢查。試問：。 調查小組所關心的參數為何？ 請建立可用來檢驗就業人口中會定期接受身體健康檢查的比例與非就業人口中會定期接受身體健康檢查的比例差的虛無假設與對立假設？ 請計算本題假設檢定的檢定統計量。 在α=之下，計算本題假設檢定的拒絕域。 Part 9-22
